专题01 期中真题百练通关（23大常考题型：平面向量+三角函数与解三角形）（期中复习专项训练）高一数学下学期北师大版

专题01 期中真题百练通关（23大常考题型） 题型1 扇形的弧长与面积 题型13 正切三角函数的图像与性质 题型2 同角公式的和差积的关系 题型14 平面向量的线性运算 题型3 同角公式的弦化切 题型15 平面向量的基本定理求参数 题型4 诱导公式与同角公式综合 题型16 平面向量的共线定理及推论 题型5 正余弦三角函数的值域与最值 题型17 平面向量的数量积运算与最值 题型6 正余弦三角函数的单调性及求参数范围 题型18 平面向量数量积求模长夹角投影 题型7 正余弦三角函数的奇偶性及求参数范围 题型19 平面向量的数量积坐标运算 题型8 正余弦三角函数的对称性及求参数范围 题型20 正余弦定理求边长与角度 题型9 正余弦三角函数的性质综合 题型21 正余弦定理判断三角形形状与解的个数 题型10 正余弦三角函数图像的变换 题型22 正余弦定理求周长或面积 题型11 正余弦三角函数由图像求解析式 题型23 正余弦定理求周长面积的最值与范围 题型12 正余弦三角函数方程与不等式综合 题型一 扇形的弧长与面积 1．(24-25高一下·云南玉溪玉溪师范学院附属中学·期中)在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 3．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________. 题型二 同角公式的和差积的关系 4．【多选题】(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·重庆渝北中学校·)已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 6．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)已知，，则________． 题型三 同角公式的弦化切 7．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·河南安阳第一中学·)已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 题型四 诱导公式与同角公式综合 10．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 11．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)化简求各式的值： (1) (2)已知角的终边经过点，计算：． 12．(23-24高一下·辽宁大连滨城高中联盟)在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 题型五 正余弦三角函数的值域与最值 13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________． 14．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____. 15．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)函数的最小值为______. 题型六 正余弦三角函数的单调性及求参数范围 16．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 17．(24-25高一下·福建泉州·期中)已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型七 正余弦三角函数的奇偶性及求参数范围 19．(24-25高一下·四川眉山东坡区高中学校级·期中)已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是___________. 20．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型八 正余弦三角函数的对称性及求参数范围 22．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知函数，若，且，则的取值范围为______． 23．(24-25高一下·广西部分学校·)已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 24．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，_____． 题型九 正余弦三角函数的性质综合 25．(23-24高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为______. 26．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是___________. 27．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 题型十 正余弦三角函数图像的变换 28．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 29．【多选题】(22-23高一下·江西吉安永丰县第二中学·期中)若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 30．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 题型十一 正余弦三角函数由图像求解析式 31．(24-25高一下·河南天一大联考·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______． 32．【多选题】(25-26高一上·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 33．【多选题】(22-23高一下·江西吉安永丰县第二中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 题型十二 正余弦三角函数方程与不等式综合 34．(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 35．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 36．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数的部分图象如图所示，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 题型十三 正切三角函数的图像与性质 37．【多选题】(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 38．(23-24高一下·江西部分高中学校·)已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 39．(22-23高一上·重庆育才中学校·期末)已知函数满足且与的最小正周期相同． (1)求的值及g(x)的单调区间； (2)若在区间上恰好有2022个零点，求的取值范围． 题型十四 平面向量的线性运算 40．(24-25高一下·河南名校期中)已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 41．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型十五 平面向量的基本定理求参数 43．(25-26高一·江苏如东一中、宿迁一高、项里高中、洋河如东、徐州中学·)如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 44．(25-26高一下·天津双菱中学·期中)已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 45．(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)如图，在四边形中， 是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 题型十六 平面向量的共线定理及推论 46．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ）    A．2 B．8 C．9 D．18 47．【多选题】(23-24高一下·山东实验中学·)在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 48．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为___________. 题型十七 平面向量的数量积运算与最值 49．(25-26高一·河北石家庄第二十四中学·期中)如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. (1)如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； (2)如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 50．(25-26高一下·河北廊坊第七中学·期中)已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 51．【多选题】(25-26高一下·湖北荆州中学·期中)著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 题型十八 平面向量数量积求模长夹角投影 52．【多选题】(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 53．【多选题】(24-25高一下·浙江五湖联盟·期中)若，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 54．【多选题】(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．的最大值为 题型十九 平面向量的数量积坐标运算 55．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 56．【多选题】(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 57．【多选题】(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，则的值为 D．若，则 题型二十 正余弦定理求边长与角度 58．(24-25高一下·云南昆明·期中)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 59．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 60．(23-24高一下·湖北武汉部分学校·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设满足，其面积为. (1)求的值； (2)当D为AB中点时，求CD的长. 题型二十一 正余弦定理判断三角形形状与解的个数 61．【多选题】(24-25高一下·云南昆明·期中)在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 62．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 63．【多选题】(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 题型二十二 正余弦定理求周长或面积 64．(25-26高一下·上海曹杨第二中学·)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 65．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 66．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 题型二十三 正余弦定理求周长面积的最值与范围 67．(24-25高一下·广东深圳·期中)的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且． (1)若，求面积的最大值； (2)若，当取得最小值时，求的值． 68．(24-25高一下·山西部分重点中学·期中)已知锐角中，内角的对边分别为，，，为外接圆的圆心. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求和面积之差的最大值. 69．(24-25高一下·陕西榆林多校·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 一、单选题 1．已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数，若函数的部分图像如图所示，则关于函数下列结论正确的是（   ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位长度得到 4．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 5．下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 6．如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 7．设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 三、解答题 8．（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 9．已知，函数，其中． (1)设，求的取值范围，并把表示为的函数； (2)求函数的最大值（可以用表示）； (3)若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 10．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 11．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 12．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（23大常考题型） 题型1 扇形的弧长与面积 题型13 正切三角函数的图像与性质 题型2 同角公式的和差积的关系 题型14 平面向量的线性运算 题型3 同角公式的弦化切 题型15 平面向量的基本定理求参数 题型4 诱导公式与同角公式综合 题型16 平面向量的共线定理及推论 题型5 正余弦三角函数的值域与最值 题型17 平面向量的数量积运算与最值 题型6 正余弦三角函数的单调性及求参数范围 题型18 平面向量数量积求模长夹角投影 题型7 正余弦三角函数的奇偶性及求参数范围 题型19 平面向量的数量积坐标运算 题型8 正余弦三角函数的对称性及求参数范围 题型20 正余弦定理求边长与角度 题型9 正余弦三角函数的性质综合 题型21 正余弦定理判断三角形形状与解的个数 题型10 正余弦三角函数图像的变换 题型22 正余弦定理求周长或面积 题型11 正余弦三角函数由图像求解析式 题型23 正余弦定理求周长面积的最值与范围 题型12 正余弦三角函数方程与不等式综合 题型一 扇形的弧长与面积 1．(24-25高一下·云南玉溪玉溪师范学院附属中学·期中)在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 由正三角形性质可算得其高，也即扇形半径，由扇形面积公式可算得答案. 【详解】由题意，当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 该扇形所对的圆心角为，而边长为的正三角形的高为， 由扇形面积公式可得该扇形面积为. 故选：B. 2．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)折扇，又称“怀袖雅物”．如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面（扇环ABCD）的面积为__________． 【答案】 【分析】利用扇形的面积公式可得扇形和扇形的面积，扇面的面积为两个扇形面积的差. 【详解】设，已知扇形的面积，扇形的面积，所以扇面的面积为. 故答案为：. 3．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________. 【答案】 【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可. 【详解】扇形的半径，它的圆心角为， 所以扇形面积，所以 故它的圆心角等弧度， 故答案为： 题型二 同角公式的和差积的关系 4．【多选题】(25-26高一上·河南安阳天一大联考·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 5．(25-26高一上·重庆渝北中学校·)已知角，且满足是方程（为常数）的两个根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）先判断的符号，然后由，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）因为是方程（为常数）的两个根， 所以， 由， 得，解得； （2）由（1）得， 又，， 所以，所以， 所以. 6．(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)已知，，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，对代数式进行平方，代入数值计算即可. 【详解】因为，所以，所以， . 故答案为：. 题型三 同角公式的弦化切 7．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的关系化简求解． 【详解】， 解得． 故选：D． 8．(25-26高一上·河南安阳第一中学·)已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 9．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由 . 故选：C 题型四 诱导公式与同角公式综合 10．(25-26高一上·广东深圳宝安中学·期中)已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由角终边过点，得到，代入求值； （2）化简求得，代入利用诱导公式化简求值； （3）由求得，代入求值. 【详解】（1）的终边过点； （2） ； （3）因为，所以，即， 从而， 因为，所以，因此， 从而，故 11．(24-25高一下·北京第五十七中学·期中)化简求各式的值： (1) (2)已知角的终边经过点，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的函数值，结合对数的概念及运算性质即可化简求值； （2）先根据正弦函数的定义得，然后利用诱导公式把原式化成计算即可. 【详解】（1） . （2）因为角的终边经过点， 所以， 故 . 12．(23-24高一下·辽宁大连滨城高中联盟)在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解； （2）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得， 所以， 所以 ； （2）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以 所以 . 题型五 正余弦三角函数的值域与最值 13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________． 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域. 【详解】因为，根据正弦函数的性质可知， 即函数的值域为， 故答案为：. 14．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____. 【答案】2 【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可. 【详解】由，则 ，故， 所以的最大值为2. 故答案为：2 15．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)函数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 题型六 正余弦三角函数的单调性及求参数范围 16．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期中)已知直线是函数图像的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦函数性质求得最小正周期为，进而求出，然后利用正弦函数的单调性求解单调区间即可. 【详解】因为直线是函数图像的任意两条对称轴， 且的最小值为， 所以，即（），所以， 所以， 令，得， 所以函数的单调区间为. 故选：D 17．(24-25高一下·福建泉州·期中)已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件确定对应最大值，，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 可知：对应最大值，也即，， 由，且都在区间内， 所以由对称性可知：， 所以， 所以，即， 所以，，又， 取可得：， 所以， 故选：C 18．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，，则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得，又，所以. 故选：C. 题型七 正余弦三角函数的奇偶性及求参数范围 19．(24-25高一下·四川眉山东坡区高中学校级·期中)已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是___________. 【答案】6 【分析】根据正弦型函数的奇偶性得到，，，，进而有，再由区间无最小值得到，即得的范围，分类讨论并验证，即可得解. 【详解】由为奇函数，则，， 由为偶函数，则，， 所以，即，， 且，即，，又，则， 在上，，即在上没有最小值， 所以且，故， 当，则； 当时，则， 结合，， 当时， ，则为偶函数，不符， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； 当时， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； ，则为偶函数，不符； 当时， ，则为偶函数，不符； 即，故最大值为6. 故答案为：6. 20．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数奇偶性可得，据此可得答案. 【详解】因为奇函数， 则，则. 故选：D 21．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知既不是奇函数也不是偶函数，若为奇函数，为偶函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分析计算得解. 【详解】依题意，且，函数的最小正周期， 令满足, 且（）,则， 由，得五点作图法的最左边端点为， 由是奇函数，得， 由是偶函数，得, 当时，，，此时； 当时，，，此时, 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标. 题型八 正余弦三角函数的对称性及求参数范围 22．(24-25高一下·广东广东五校联考·)已知函数，若，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意得或，整理得，，由此即可得解. 【详解】由题意等价于， 所以或， 解得，或， 所以，， 故所求范围为. 故答案为：. 23．(24-25高一下·广西部分学校·)已知函数，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】因为，则， 则对称中心为，则， 可得，解得， 且， 可知：，解得的最小值为， 故选：C. 24．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特回民区·期中)记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，_____． 【答案】 【分析】由，可得，由函数的图象关于点对称，可得，即可得解析式，可得答案. 【详解】由题可得，则. 因的图象关于点对称，则， 则， 则. 结合，可知时，最小为4，则， 则 . 故答案为： 题型九 正余弦三角函数的性质综合 25．(23-24高一下·辽宁大连育明高级中学·期中)已知函数（，，），对任意实数x都有，，且在上单调，则的最大值为______. 【答案】15 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故答案为：15 26．(23-24高一下·北京中关村中学·期中)在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②③. 【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④. 【详解】①中，因为，所以，， 又因为在区间上有且仅有3个对称中心， 则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知， 所以，解得，所以①正确； ②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确； ③中，因为，所以，， 又由①知，，所以， 而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确； ④中，当时，，由①知，需使， 而当时，在上有2条对称轴， 而当时,在上有3条对称轴，故④不正确. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦型函数的性质应用，属于较难题.解题的关键在于一般要将辐角看成整体角，先求得其范围，再结合余弦函数的图象进行一一判断即得. 27．(24-25高一下·辽宁多校联盟·期中)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【答案】D 【分析】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 题型十 正余弦三角函数图像的变换 28．(25-26高一上·江苏建湖高级中学·期中)将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 29．【多选题】(22-23高一下·江西吉安永丰县第二中学·期中)若函数，为了得到函数的图象，下面有四种变换：①先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度；②先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；③先向右平移个单位长度，再横坐标伸长为原来的2倍；④先横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度.则只需将的图象（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AC 【分析】先利用诱导公式将转换成正弦函数的形式，然后根据伸缩和平移变换即可得到答案. 【详解】由于函数， 为了得到函数的图象，则只需将的图象，先横坐标伸长为原来的2倍得到，再向右平移个单位长度得到图象，即①正确； 或先将的图象向右平移个单位长度得到的图象，再横坐标伸长为原来的2倍得到图象，即③正确； 故选：AC. 30．(24-25高一下·北京延庆区·期中)已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可； （2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可； （3）根据整体代入法求的单调递减区间即可； （4）根据确定的范围，解出的范围即可. 【详解】（1）由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． （2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． （3）因为 所以 所以的单调递减区间为． （4）因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． 题型十一 正余弦三角函数由图像求解析式 31．(24-25高一下·河南天一大联考·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______． 【答案】 【分析】根据函数图象求得的值，图象向左平移即可求得的解析式，代入求值即可. 【详解】因为，在函数图象上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知，， 根据，解得.再代入代入， 得，，因为，所以， 所以函数解析式为，将的图象向左平移个单位长度得： ，. 故答案为： 32．【多选题】(25-26高一上·江西宜春丰城第九中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上为增函数 D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】AC 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】由图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 因，则的图象关于点对称，A正确； 因，则的图象不关于对称，B不正确； 因，则，所以在上为增函数，C正确； 的图象向右平移个单位长度，得到是偶函数，D不正确. 故选：AC 33．【多选题】(22-23高一下·江西吉安永丰县第二中学·期中)已知函数的部分图象如图所示，其中，，将的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据图象求出函数的解析式，再由函数图象的平移得出. 【详解】设函数的最小正周期为T. 由题图及，利用勾股定理得，则，. 又由，得，且，得. 所以， 则. 故选：AD 题型十二 正余弦三角函数方程与不等式综合 34．(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合到五点法作图方法求出函数的解析式. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）设，将问题转化为一元二次不等式在恒成立求解. 【详解】（1）观察图象，得的最小正周期，解得， 由，得，则，而，则， 所以的解析式. （2）由，得， 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值， 所以在上的值域为. （3）设，由（2）知，， 依题意，，恒成立， 当，即时，在上递增，，不成立； 当，即时，在上递减，， 解得，因此； 当，即时，， 解得，因此， 所以的取值范围. 35．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； (3)对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) 0 x 0 2 0 0 (2) (3) 【分析】（1）根据“五点法”作图可对表格补全，写出解析式； （2）根据平移得到，再把对称中心代入可求即可得到最小值； （3）根据题意得到的值域，再进行换元转化为二次函数恒成立性问题，利用二次函数根的分布可求m的取值范围. 【详解】（1）表格补全如下 0 x 0 2 0 0 （2）将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到， 又图象的一个对称中心为， 所以，解得， 因为，所以的最小值为. （3），，， ，即在上恒成立，所以 解得， 所以m的取值范围. 36．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)已知函数的部分图象如图所示，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的图象，求得，且最小正周期，得到，再由，求得，即可得到的解析式； （2）由中，令且，转化为，得到方程组的值有且仅有四个，令，得到必有两个相异零点，作出直线与和的图象，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且最小正周期， 所以，所以， 又由，且点在图象的上升部分，且， 所以，所以. （2）解：在中，令，且，则， 因为，所以， 当时，满足方程组的值有且仅有四个， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，可得必有两个相异零点， 由直线与和，的图象分别有两个交点， 作出直线与和的图象，如图所示， 由图象可得，，即在区间上有两个相异零点， 则满足，解得解得， 所以的取值范围是. 题型十三 正切三角函数的图像与性质 37．【多选题】(24-25高一下·四川成都金苹果锦城第一中学·期中)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 【答案】AD 【分析】由周期公式可判断A；根据复合函数的单调性可判断B；根据整体代换法求解可判断C；由正切函数性质可判断D. 【详解】对A，由周期公式得，正确； 对B，由令，因为函数无单调递减区间，且函数为增函数， 所以无单调递减区间，错误； 对C，由，得， 所以的对称中心为，错误； 对D，由，得， 所以的定义域为，正确. 故选：AD 38．(23-24高一下·江西部分高中学校·)已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4. (1)求的定义域（用区间表示）； (2)若是定义在上的函数，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件和图象首先求出，再根据正切函数的性质求解即可. （2）首先对不等式进行变形，分两个区间进行讨论，结合函数的单调性，范围和特殊值求解即可. 【详解】（1）根据题意可得，解得，则. 由， 得，即的定义域为. （2）由（1）得，其定义域为. 关于的不等式即，即. 当时，，则， 因为，所以成立. 当时，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以. 综上，关于的不等式的解集为. 39．(22-23高一上·重庆育才中学校·期末)已知函数满足且与的最小正周期相同． (1)求的值及g(x)的单调区间； (2)若在区间上恰好有2022个零点，求的取值范围． 【答案】(1)，g(x)的单调递增区间为，无减区间 (2) 【分析】（1）由题知，函数关于点对称，进而根据三角函数性质求得，的单调区间； （2）由题知，其最小正周期为，进而结合题意得 【详解】（1）解：因为函数与 的最小正周期相同， 所以，，解得， 所以， 令，解得， 所以，g(x)的单调递增区间为，无减区间； 因为函数满足， 所以，函数关于点对称， 所以，即， 因为，所以， 综上，，g(x)的单调递增区间为，无减区间 （2）解：由（1）知，故， 所以的最小正周期为 因为在区间上恰好有2022个零点， 所以，区间内至少有个周期，至多（不能取到） 所以，即， 所以，的取值范围是 题型十四 平面向量的线性运算 40．(24-25高一下·河南名校期中)已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，结合图像即可求解. 【详解】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 41．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知P为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形，如图所示， 所以 ， 故选：A. 42．(24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·)已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 题型十五 平面向量的基本定理求参数 43．(25-26高一·江苏如东一中、宿迁一高、项里高中、洋河如东、徐州中学·)如图,在中,,,与相交于点,若（）,则__________. 【答案】 【分析】设，，用分别表示，即可得到关于的方程组，进而根据与的关系，即可求得结果. 【详解】设，， 则； 设，， 则； 又不共线，故，解得，则. 44．(25-26高一下·天津双菱中学·期中)已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 【答案】 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，所以. 45．(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)如图，在四边形中， 是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合是的中点，即可求解； （2）由（1），得到，，结合三点共线得出向量的线性关系，列式即可求解. 【详解】（1）因为是的中点，由向量的线性运算法则， 可得：， . （2）由三点共线，， 又因为，，所以， 所以 由三点共线，所以 所以. 题型十六 平面向量的共线定理及推论 46．(24-25高一下·四川南充高级中学·期中)如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（    ）    A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据三点共线结论知，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，三点共线，则，， 则， 当且仅当，结合，即，时等号成立. 故选：C. 47．【多选题】(23-24高一下·山东实验中学·)在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 因为为线段上一点， 所以， 而点线段上面，所以，故A错，B对， 由基本不等式得，解得，等号成立当且仅当，C对， ，等号成立当且仅当，D对. 故选：BCD. 48．(23-24高一下·江苏南京师范大学附属中学·期中)在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据三点共线可得 ，进而通过向量运算得到，与已知联系，可得；而 ，进而利用均值不等式求得最小值. 【详解】因为点是边上（不包含端点），所以,即 ,即, 所以,又已知， 所以，，所以，又由得，； ， 当，时取等号. 故答案为：. 题型十七 平面向量的数量积运算与最值 49．(25-26高一·河北石家庄第二十四中学·期中)如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点. (1)如图1，延长交于点Q. （i）若，求的值； （ⅱ）若，，，求的余弦值； (2)如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2). 【分析】（1）（i）结合图象根据向量线性运算法则可得，设，根据向量共线定理的推论可求，再结合平面向量基本定理求结论； （ⅱ）结合（i）由数量积的运算律求，，再根据向量夹角公式求结论； （2）设，，结合向量共线推论可得，根据数量积的定义求的表达式，结合二次函数性质求结论. 【详解】（1）（i）因为是上靠近点的三等分点，所以， 所以， 因为是的中点，所以， 设，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，即， 所以， 所以，，. （ⅱ） ， ， ， . （2）设，， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当时，，， 即的取值范围是. 50．(25-26高一下·河北廊坊第七中学·期中)已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由条件结合向量共线定理证明三点共线，建立平面直角坐标系，求表达式，再求其最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 根据向量共线定理，三点共线， 设的中点为，以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为， 因此的最小值为. 51．【多选题】(25-26高一下·湖北荆州中学·期中)著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A用表示，代入数量积公式；选项B用表示，代入数量积公式；选项C由求出，代入模长公式计算；选项D根据欧拉线定理得到. 【详解】因为是的重心，， 又， ，选项A正确； 因为是的外心， ，， ， 选项B错误； 若，， 可得， ， 则，选项C正确； 根据已知条件，，即， ， 所以，选项D正确. 题型十八 平面向量数量积求模长夹角投影 52．【多选题】(24-25高一下·江苏南京协同体十校·期中)已知向量和满足，，，下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】AC 【分析】将已知等式两边平方可判断A；根据垂直向量的数量积为0可判断B；利用性质计算可判断C；由向量夹角公式直接计算可判断D. 【详解】， 将，的代入，可得，故A正确； ，故B错误； ，故，C正确. 设与的夹角为，则， 故，又，故，D错误. 故选：AC. 53．【多选题】(24-25高一下·浙江五湖联盟·期中)若，与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，根据数量积的定义即可判断；对于B，，即可判断；对于C，判断是否为0即可；对于D，计算即可. 【详解】对于选项A，，所以A正确； 对于选项B，， 则，所以B正确； 对于选项C，，所以，C正确； 对于选项D，因为， 所以， 因为两向量夹角范围是，所以，所以D错误. 故选：ABC 54．【多选题】(24-25高一下·辽宁沈阳郊联体·期中)已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 又在上的投影向量为，故B正确； 则，故C正确； 由可设，则， 所以， 又因为， 所以，所以， 当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：BCD. 题型十九 平面向量的数量积坐标运算 55．【多选题】(23-24高一下·广东清远第二中学等三校联考·期中)已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 56．【多选题】(24-25高一下·重庆渝北中学校·期中)已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则实数的值为 C．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 57．【多选题】(24-25高一下·福建厦门第一中学·期中)已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，则的值为 D．若，则 【答案】AC 【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得且， 所以当且时与的夹角为锐角，故B错误； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，由题意得，. 因为，所以，解得， 当时，，， 此时，，，故D错误. 故选：AC. 题型二十 正余弦定理求边长与角度 58．(24-25高一下·云南昆明·期中)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的值； (3)若点D满足，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两个平面向量互相垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）由三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量数量积运算性质，对已知等式两边同时平方进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是锐角三角形， 所以，因此， 所以由； （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理得， ； （3）由 . 59．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）利用三角形的面积关系解出即可 【详解】（1）在中，由正弦定理及得：， 化简可得：， 由余弦定理得， 又，所以 （2） 是的角平分线，则， 由可得 因为，，即有， 故. 60．(23-24高一下·湖北武汉部分学校·期中)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设满足，其面积为. (1)求的值； (2)当D为AB中点时，求CD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理化角为边得，然后利用余弦定理求解即可. （2）结合角及三角形的面积求得，由正弦定理得，再利用同角三角函数基本关系得，最后由余弦定理列方程求解CD的长. 【详解】（1）因为满足， 所以由正弦定理得， 设， 利用余弦定理. （2）由于，所以，所以， 又，所以，解得（负值舍去）. 所以， D为AB的中点，如图所示：    由正弦定理，即，解得， 因为，所以， 所以， 利用余弦定理， 解得. 题型二十一 正余弦定理判断三角形形状与解的个数 61．【多选题】(24-25高一下·云南昆明·期中)在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（   ） A．若，，则的外接圆的面积为 B．若，，，则有两解 C．若，则是锐角三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AD 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作 于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 62．【多选题】(24-25高一下·福建厦门松柏中学·期中)对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 【答案】AD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 63．【多选题】(24-25高一下·辽宁大连大连育明高级中学·期中)已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，且有两解，则b的取值范围是 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】AB 【分析】对于A，利用三角形三边关系定理和正弦定理易判断；对于B，结合图形由即得；对于C，利用余弦定理化角为边，分解因式后得出两种情况即可判断；对于D，利用同角的三角函数关系式将其化为正弦，再利用余弦定理只能判断角为锐角，却判断不了三角形的形状， 【详解】对于A，在中，由可得，再由正弦定理，可得，因，即得，故A正确； 对于B，因，且有两解，则有，即，故B正确； 对于C，由和余弦定理，，化简得， 即得或，故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由可得，化简得， 由正弦定理，得，再由余弦定理，得，即角为锐角，但不能确定其他角的范围，故D错误. 故选：AB. 题型二十二 正余弦定理求周长或面积 64．(25-26高一下·上海曹杨第二中学·)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 65．(23-24高一下·福建同安第一中学·期中)在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）在中利用余弦定理求出的长，结合是边上的三等分点分情况进行计算即可. 【详解】（1） ， . 在中，， ， ， ，又（三角形内角）， ， 又， . （2）如图，在中，，，， 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）. 是边上的三等分点， 或. 当时， ； 当时，. 故的面积为或. 66．(24-25高一下·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 题型二十三 正余弦定理求周长面积的最值与范围 67．(24-25高一下·广东深圳·期中)的内角所对的边分别为所在平面内有一点满足，且． (1)若，求面积的最大值； (2)若，当取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：设，根据平面向量的线性运算可得，进而结合平面向量的数量积运算律及基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可； 方法二：根据余弦定理，结合可得，进而根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用余弦定理可得，，进而可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：设，因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以面积的最大值为． 方法二：因为， 所以， 因为，所以， 所以， 即， 所以， 所以， 因为， 所以 所以， 因为， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 因为， 所以面积的最大值为． （2）因为，所以， 在中，利用余弦定理得，， 即， 同理，在中利用余弦定理得， ， 所以 ， 因为， 所以当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值，即取最小值，即取得最小值， 此时，． 68．(24-25高一下·山西部分重点中学·期中)已知锐角中，内角的对边分别为，，，为外接圆的圆心. (1)求； (2)求的取值范围； (3)求和面积之差的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用辅助角公式，即可求解； （2）根据条件及（1）中结果，利用正弦定理得，再结合条件得，利用正切函数的性质，即可求解； （3）利用正弦定理及三角形面积公得到，令，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理及，得. 因为，所以，则， 所以，得到， 又，则，所以，得到. （2）由正弦定理， 得. 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 即的取值范围为. （3）设外接圆的半径为，则， 且，即. 因为，， 所以， ， 所以， 由（2）知， 令，则， 所以当时，取得最大值. 69．(24-25高一下·陕西榆林多校·期中)已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由余弦定理结合重要不等式求解面积的最大值即可. 【详解】（1），， ， ，又，，即， 又，. （2），，，， ，当且仅当时等号成立， . 面积的最大值为. 一、单选题 1．已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性可得周期性，即可作出两函数图象，根据图象交点个数即可求解. 【详解】由于是定义域为的奇函数，故，故， 所以，当时，， 又由，可得， 故是周期函数，且周期为4， 当时，，则， 又，所以时， 当时，，则， 又由，得到，所以当时，， 当时，，则， 所以当时，， 故 在同一坐标系中，作出的图象如下, 又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点， 由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点， 故选：A 2．已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数的最大值求，再利用代入法，结合余弦函数的单调性，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，则， 且，所以， 所以， 当，则， 若函数在单调递减，则，得， 所以的最大值为. 故选：B 二、多选题 3．已知函数，若函数的部分图像如图所示，则关于函数下列结论正确的是（   ） A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图像可由函数的图像向左平移个单位长度得到 【答案】AC 【分析】由三角函数的图像与性质，求得和，再结合正弦型函数的性质，以及三角函数的图像变换，即可求解. 【详解】由函数的图像， 可得函数的最大值为，满足，所以， 又因为函数的图像过点，可得，即， 因为，所以，所以且， 对于A，令，可得， 令，可得，所以的图像关于直线对称，所以A正确； 对于B，当时，可得， 所以不是函数图像的对称中心，所以B错误； 对于C，由，可得，因为函数在上为单调递增函数， 所以在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数，可得， 将其图像向左平移个单位长度，可得，所以D错误. 4．已知函数，则（    ） A．的值域为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．在上有2个零点 【答案】AD 【分析】由题可化简.对于A，由化简式及三角函数值域知识可判断选项正误；对于B，通过特殊值验证可判断选项正误；对于C，由题可得在区间上的解析式，据此可得单调区间；对于D，由题可得在上的解析式，据此可得零点. 【详解】 ； 又，； ，，. 则，. 对于A，，， ，. 其中，则，故A正确； 对于B，注意到，， 则B错误； 对于C，， 则在上单调递增，在上单调递减，故C错误. 对于D，， 则，即有2个零点，故D正确. 故选：AD 5．下列说法中不正确的是（    ） A．若，则，且四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则与共线 C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】AD 【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D. 【详解】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且， 但四点不能构成平行四边形，A错误； 对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确； 对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误. 故选：AD 6．如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，（，），则下列说法正确的是（   ） A． B．点为的重心 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得. 【详解】对于A：由有，故A错误； 对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点， 即为的重心，故B正确； 对于C：由，又三点共线，即，故C正确； 对于D：设中点为，则有，又，即， 所以，在中有，又为重心，所以，故D正确. 故选：BCD. 7．设点P在所在平面内，且点G、H、O、I分别为该三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABD 【分析】对A，取的中点，根据重心的性质化简判断即可；对B，根据垂心的性质推导可得，再设，根据可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可；对C，化简可得，再两边平方化简即可；对D，根据条件推导即可． 【详解】对A，取的中点，因为是的重心，有， 所以，，即， 又因为，所以，故A正确； 对B，因为为的垂心，则，即， 即，则， 同理，，所以， 设， 因为，所以， 即，则，所以， 因为，所以， 所以，则 ，故B正确； 对C，若且，则， 两边同时平方可得：， 所以，即，故C错误； 对D，因为为的内心，， 故 ，即， 故点的轨迹为垂直于的直线，又平分，因此是的中垂线， 是以为底边的等腰三角形，故D正确． 三、解答题 8．（1）已知角终边上一点，求、的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）、；（2） 【分析】（1）根据题意可得，结合任意角三角函数的定义运算求解即可； （2）根据题意利用诱导公式结合齐次式问题运算求解即可. 【详解】（1）因为角终边上一点，则， 所以、； （2）因为， 所以 . 9．已知，函数，其中． (1)设，求的取值范围，并把表示为的函数； (2)求函数的最大值（可以用表示）； (3)若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）令，换元可得； （2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得； （3）问题转化为，分类讨论可得． 【详解】（1）解：由已知可得， 又因为，所以， 从而，所以． 又因为，所以， 因为， 所以，． （2）求函数的最大值即求，的最大值． ，对称轴为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，的最大值是； 当时，的最大值是； 当时，的最大值是． （3）由题意知函数在上的最大值， 由（2）知当时，的最大值是． 所以，即且所以 当时，的最大值是； 此时， 即，所以，此时 当时，的最大值是；即恒成立 综上所述，． 10．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】(1)， (2)，；，. 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 11．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据正切函数的定义域列式求解即可； （2）根据正切函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； （2）因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 12．已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $