专项突破4 平行四边形中的折叠问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

(2)当顶角是锐角时，如图2. .x=12..WB=12. 在Rt△ACD中，AD=√AC2-CD2=√52-32=4， 综上所述，NB的长为12或13. .BD=AB-AD=5-4=1. 13.解：(1)2【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= ∴.在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√1+32=√/10. 10 cm,AC=6 cm, 综上可知，这个等腰三角形底边的长为3√0或√10 .根据勾股定理，得BC=√AB-AC=√102-6=8(cm). 11.解：分两种情况讨论： .当，点P运动到BC的中点时，BP=。BC=4cm. 2 (1)如图1，在锐角三角形ABC中，AB=10,AC=2√10， .∴.t=4÷2=2 边BC上的高AD=6. (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4, 在Rt△ABD中，AB=10,AD=6, .4s内，点P在线段BC上 由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=102- 如图1，连接AP. 62=64, 图1 BP=AP=2t cm,BC=8 cm, .BD=8 .PC=(8-2t)cm. 图 在Rt△ACD中，AC=2W10,AD=6, .PC2+AC2=AP2, 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=(2√10)2-62=4， ..CD=2,BC=BD+DC=8+2=10 (8-2)2+62=(2)2,解得1=25 (2)如图2，在钝角三角形ABC中，AB=10,AC=2√10， ·BP=2x2525 84(cm). 边BC上的高AD=6. (3)①当LAPB=90时，点P和点C重合，t=8÷2=4; 在Rt△ABD中，AB=10,AD=6, ②当∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上，如 由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=102- 图2. 62=64, 图2 BP=2t cm,BC=8 cm, .BD=8. .PC=(2t-8)cm. 在Rt△ACD中，AC=2√10，AD=6, 在Rt△ACP中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=(2√10)2-62=4， AP2=AC2+PC2=62+(2t-8)2, 图2 .CD=2. 在Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(2t)2-102, 故BC=BD-CD=8-2=6. 综上所述，边BC的长为10或6. 62+(2-8)2=(2)2-102,解得t=4 25 12.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： 综上所述，的值是4或学 AM=1.5,MN=2.5,NB=2, .AM2+NB2 =MN2. 14.证明：，MN⊥AB, ∴.以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形 .在Rt△AMN和Rt△BMN中，AW2=AM-MW2,NB2= .点M,N是线段AB的勾股分割点. BM2-MN. (2)12或13【解析】设NB=x.AB=30,AM=5, .AN2-BN2=AM2-BM2 .MN=AB-AM-NB=25-x. 在Rt△ACM中，AM2-CM2=AC2. 分析可知AM不可能是直角三角形的斜边 :AM是△ABC的中线， 若NB是直角三角形的斜边，则NB2=AM+MN2. ∴.CM=BM. .x2=52+(25-x)2..x=13..NB=13. .AN2-BN2=AM2-BM2=AM2-CM2=AC2. 若MW是直角三角形的斜边，则MN2=AM+NB2. 15.解：(1)如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线 .（25-x)2=52+x2. 段SF就是蜘蛛走的最短路线。 ·72· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 (2)分两种情况讨论： ①将长方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在同一 GN 平面内，如图2，连接AC1,则最短路程就是线段AC 图1 的长 ∠SNF=90,FN=18-2=16(cm),SN=2×60= 1 在Rt△4CC,中，AC1=√AC+CC,7=√(5+5)2+6=√136(cm). ②将长方体的“上面”向上翻转，使它与“前面”在同一 30(cm), 平面内，如图3，连接AC1,则最短路程就是线段AC ∴.SF=√SW+FW=√302+16=34(cm), 的长。 ∴.蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm. 在Rt△ABC1中，AC1=√AB2+BC=√52+(5+6)7= (2)把平面ABB1A1和平面BCC,B1展开到同一平面， 如图2，设昆虫甲从顶点C,沿棱C,C向顶点C爬行的 √/146(cm). 同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，捕捉到 √146>W√136，√136=2√34， 昆虫甲需x. ∴.蚂蚁需要爬行的最短路程为2√34cm. :长方体的棱长AB=BC=6cm, A B1 C (3)将长方体按下列三种方式展开： AA=CC=14 cm,AF=1.x=x(cm), 第一种：如图4， C,F=1·x=x(cm), AD=5+3=8(cm),BD=6(cm), B .'CF=(14-x)cm,AC=12 cm. 图2 .AB=√AD2+BD2=√82+6=10(cm); :∠ACF=90°， 85 .x2=122+(14-x)2,解得x= “昆虫乙至少需要：才能箱捉到昆虫甲， 6 图4 图5 图6 16.小斗分析：(1)将正方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在同 第二种：如图5， 一平面内，连接AC1,两点之间线段最短，AC,是最短路径，利用 .BE=5+6=11(cm),AE=3cm, 勾股定理求AC,即可；(2)分两种情况讨论：①将长方体的“右 面”向外翻转，使它与“前面”在同一平面内，连接AC1,两点之间 .AB=√BE+AE=√/112+32=√130(cm); 线段最短，AC,是最短路径，利用勾股定理求AC1;②将长方体的 第三种：如图6， “上面”向上翻转，使它与“前面”在同一平面内，连接AC1,两点 .BC=3+6=9(cm),AC=5cm, 之间线段最短，AC,是最短路径，利用勾股定理求AC·比较这两 .AB=√BC2+AC=√92+52=√106(cm). 种方式下AC,的长短，确定最短的即可.(3)将长方体按三种方 式展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可. 10<√106<√130 解：(1)将正方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在 ∴.蚂蚁需要爬行的最短路程是10cm. 同一平面内，如图1，连接AC,则最短路程就是线段 专项突破四平行四边形的折叠问题 AC,的长 1.B2.A3.12 在Rt△ACC1中，AC,=√AC+CC=√(5+5)2+5=55(cm), 4 【解析】四边形ABCD是平行四边形，∠C=a, 即蚂蚁需要爬行的最短路程为5V5cm. ∴.∠BAD=∠C=a,BC∥AD,CD∥AB. :点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点 B'恰好落在边DC上， .∠AB'E=∠B=180°-∠BAD=180°-a,∠B'AE=∠BAE. 图2 图3 将△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点D'恰好落在 AE上， 由(1)，得四边形BECD是平行四边形， .∠B'AD=∠B'AE=∠BAE= ∠BAD=g ∴.BD∥CE.∴∠ECB=∠DBC.∴.∠DBC=∠FCB. 3 ∴.GB=CG .∠BAB'=∠BAD-∠B'AD= a 2a 33 FG+CG=CF=1 CH.FG+B-c .:∠CB'E+∠AB'E+∠BAB'=180°， 8.D ∠0BB+180-a+g-180∠c8E=号 2a 9.82.5°，52.5°或37.5°【解析】.四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BAD=90°. 5.证明：：四边形ABCD是平行四边形 AD∥CB,AB∥CD. 由折叠，得LPAB=∠PMB= 2∠BAB ∴.∠ABD=∠CDB.∴. 、1∠ABD=之∠C②空 如图1，∠BAB'=15 由折叠，得∠DBB=∠ABB=号LABD,∠BDP=∠CDF ∠PAB=×15°=7.5°， 2 ∴.∠APB=90°-∠PAB=82.5° CDB, 如图2，∠DAB'=15°，且点B'与，点B在直线AD同侧. .∠DBE=∠BDF.∴.BEDF ·∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°， 又ED∥FB,.四边形BEDF是平行四边形 ∠PAB=}x75°=37.50， 2 6.(1)解：75°【解析】：四边形ABCD是“和谐四边 .∠APB=90°-∠PAB=52.5°. 形”，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=135°， 如图3，∠DAB'=15°，且点B'与，点B在直线AD异侧. ∠M=LD=∠C=x(360-135)=759 '∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°， (2)证明：：四边形DEBF为平行四边形， 1 .∠PAB=×105°=52.5°. 2 ∴.∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180. .∠APB=90°-∠PAB=37.5° 由折叠，得∠E=∠DAE=∠F=∠DCF 综上所述，∠APB的度数可以是82.5°，52.5°或37.5°. :∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+ ∠EBF=180°， .∠DAB=∠DCB=∠ABC. .四边形ABCD是“和谐四边形”， B 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 图1 图2 图3 .AB∥CD,AB=CD. 10.√2【解析】如图，过点F分别作FG⊥BC于点G, 延长AB至点E,使得BE=AB, FH⊥CD于点H. ∴.BE∥CD,BE=CD. CF平分∠BCD,∴.HF=FG. .四边形BECD是平行四边形 四边形ABCD为矩形， (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=2,∠ABC=∠BCD=90°. .AB∥CD.∠CDF=∠HAF. ,四边形HCGF是正方形 F是线段AD的中点，AF=DF ∴.CH=HF=FG. 又.∠DFC=∠AFH,∴.△DFC≌△AFH(ASA). 由折叠，得BF=AB=2,∠FBE=∠ABE=30°， CK-FCF-c :.LFBC=30..FG=BF=1.:.HF=CH=FC=1. 2 由翻折，得∠ECB=∠FCB. .DH=CD-CH=1..DF=√D+HF2=√2， 14.(1)证明：.四边形ABMN是矩形， ∴.∠DAB=∠ABC=90 2 【解析】：四边形ABCD是矩形， :将矩形纸片ABMN沿着过点A的直线折叠，使点B ∴.AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∠ABC=90°. 落在边AW上的点D处，折痕与边BM交于点C, EF∥BD,∴.∠CEF=LCBD,∠FEM=∠EMB. .∠ADC=∠ABC=90°，AD=AB. 由翻折，得∠CEF=∠FEM,MF=CF,CE=ME. ∴.∠DAB=∠ABC=∠ADC=90° ∴.∠EMB=∠EBM.∴.CE=ME=BE. .四边形ABCD是矩形 :AD∥BC,∴.∠ADM=∠EBM. 又，AD=AB,四边形ABCD是正方形 .·∠AMD=∠EMB,.∠ADM=∠AMD .∠BCD=90°. .AD=AM.设BE=ME=x, 如图1，过点E分别作EG⊥BC于 AD=AM=2x,AE=AM+EM=3x. 点G,EH⊥CD于点H, G AD 2x2 则∠EGC=∠EHC=∠BCD=90°， 图1 .AB=√AE-BE=22x. DC 22x 2 .四边形EGCH是矩形. 12.证明：(1)：四边形ABCD是矩形， .∠HEG=90°. .AD=BC,∠B=∠D=90°，AB∥CD. 又.EF⊥DE, .∠EAH=∠FCG. ∴.∠DEH+∠FEH=∠FEG+∠FEH=90°. 由折叠，得AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°， ∴.∠DEH=LFEG. ∠AGF=∠D=90. :四边形ABCD是正方形， .CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°..AH=CG. ∴.∠ACB=∠ACD=45°.∴EG=EH. 「LEAH=∠FCG, 「LEHD=LEGF=90°， 在△AEH和△CFG中，AH=CG, 在△DEH和△FEG中，{EH=EG, ∠AHE=∠CGF, L∠DEH=∠FEG, .△AEH≌△CFG(ASA). ∴.△DEH≌△FEG(ASA).∴.DE=EF (2)由(1)，知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG, (2)①证明：：四边形DEFG是平行四边形， .EH∥FG,EH=FG,.四边形EGFH为平行四边形. ∠DEF=90°， 13.(1)证明：由折叠，得∠BEC=∠BEF,FE=CE. ∴四边形DEFG是矩形. :FG∥CD,.∠FGE=∠CEB.∴.LFGE=∠FEG. 由(1)，知DE=EF,.四边形DEFG是正方形. .FG=FE.∴.FG=EC. .DE=DG,∠EDG=90°. 又.FG∥CE,.四边形CEFG是平行四边形. 由(1)，知∠ADC=90°，四边形ABCD是正方形， 又.CE=FE,.四边形CEFG是菱形. ∴.∠ADC=∠EDG=90°，DA=DC,∠DAE=45°. (2)解：矩形ABCD中，AB=6,AD=10,BC=BF, ∴.∠ADC-LEDC=∠EDG-∠EDC. .∠ADE=∠CDG ·.∠BAF=90°，AD=BC=BF=10. DA=DC. .AF=VBF2-AB2 =8..'.DF=AD-AF=2. 在△DEA与△DGC中， ∠ADE=∠CDG, 设EF=x,则CE=x,DE=6-x. DE=DG, ∠FDE=90°，.22+(6-x)2=x2, ∴.△DEA≌△DGC(SAS).∴.∠DCG=∠DAE=45°. 解得：=9cB=9 =3 ②解：CE+AE=2DE2.理由如下： .在正方形ABCD中，AD=CD,∠ACD=45°，∠ADC=90°， ·四边形CEFG的面积=CE·DF=10x2=20 ×2= 31 31 .在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=√AD+CD2= 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·73· √2CD. :四边形ABCD是菱形， ·CD= AC-(AE+CE). .AD//BC,AD=AB. 2 由折叠，得GE=DE=3. 如图2，过点E作EH⊥CD于点H, EG⊥BC,.∠BGE=∠CGE=90°. 则△EHC为等腰直角三角形. .∠GEH=∠CGE=90..四边形BGEH是矩形. ∴.EH=CH. .∴.HE=BG=2,BH=GE=3. 在Rt△ECH中， .AH=HE+DE-AD=2+3-AB=5-AB. 同理可得CH=H=巨。 图2 ..BH2+AH =AB2, ·3+(5-AB)2=AB,解得AB=17 m=m-0m(40-R 19.证明：由折叠，得EB=EM,∴.∠EBM=∠EMB. 在Rt△DEH中，由勾股定理，得DE2=DH+EH .∠AEM=∠EBM+∠EMB=2∠EBM. 8-停6)广+受c) 在菱形ABCD中，∠EBF=2LEBM,AD∥BC. LAEM=∠EBF.∴.EM∥BF.∴.AD∥EM. .CE2+AE2=2DE2. 同理可得AE∥MG..四边形AEMG是平行四边形. 15.D 20.(1)证明：四边形ABCD是菱形，.∠ABD=∠ADB. 16.A【解析】由折叠，得EF垂直平分PB. 由折叠，得∠ABE=∠FBE,∠AEB=∠FEB. 如图，设BP,EF相交于点O, ∴.∠EFD=∠FBE+∠FEB=LABE+∠AEB= 则∠B0E=∠B0F=90°，B0=P0. (180°-∠A)=∠ABD+∠ADB=2∠ABD. 四边形ABCD是菱形，.∠EBO=LFBO. (2)解：如图，过点A作AH⊥BE于点H,过点E作 又，B0=B0,∠BOE=∠BOF, EK⊥FD于点K. .△BOE≌△BOF(ASA).∴.OE=OF. 由E是AD的中点及折叠， 1 SAPOE=2OP·0E,S△B0P= 2 得AE=DE=EF=2X8=4 20B·0F,APO=SABD 0 EK⊥FD,.∠FEK=∠DEK, B F K=K0=D=6=3 1 1 S所影称分=S△BCD=2S美形M8CD: .EK=√EF2-FK=√42-32=√7. AC=10,BD=24, ·.·∠AEB=∠FEB,∠FEK=∠DEK,∠AEB+∠FEB+ S发#uBCn=2AC·BD=2×10x24=120, ∠FEK+∠DEK=180°， .S阴影部分=60. .2∠FEB+2∠FEK=180°..∴.∠FEB+∠FEK=90°. 17.85°【解析】：四边形ABCD为菱形， ∠BEK=90°..EK⊥BE. .AB=AD,∠BAD=∠C=110°. AH⊥BE,.AH∥EK.∴.∠HAE=∠DEK 由折叠，得AB'=AB,∠B'AE=∠BAE=50° :LAHE=∠EKD=90°，AE=ED, .AD=AB',∠DAB'=∠BAD-∠BAE-∠B'AE=10 .△AHE≌△EKD(AAS)..AH=EK=√7. LABD=∠A0B=7×(180-10)=8s .BH=√AB2-Af=√82-(V7)2=√57， HE=√AE2-AH=√42-(7)2=3. 18.?【解析】如图，过点B作BH L DA交DA的延长线 .BE=BH+HE=√57+3. 于点H,则∠H=90°. 2L.D【解析】：四边形ABCD是正方形， ·74· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ∠BMC=∠DAC=45,0A=0C=2A4C 如图，连接EG ·:四边形ABCD是正方形， 由折叠，得A0⊥EF,AG=G0,∠E0A=∠EA0=45°， .∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=DA=2. ∠F0A=∠FA0=45°，AE=0E,AF=F0. :E是边BC的中点， ∴.AE∥0F,AF∥OE,∠EOF=90. .BE=CE=1. .四边形AEOF是正方形. 由折叠，得∠1=∠C=90°，FE=CE=1=BE,DF=DC=2. 1 EF=AO=2AC,GO-AG=20A-AC. .∠2=90°=∠B. 2 又.EG=EG, 1 3 .∴.CG=C0+OG= 24C+1AC=- 1 4 AC. 4 .Rt△EBG≌Rt△EFG(HL)..BG=FG 1 (2)设BG=FG=t,则AG=2-t,DG=2+t. BF ZAC 2 在Rt△AGD中，AG2+AD2=DG2, C℃34C3 (2-02+2=(2*)月，解得1=分BG-= 22.B【解析】如图，设AC与BD交于点0. 由(1)，知Rt△EBG≌Rt△EFG. 四边形ABCD是正方形， .SAERG=S△BEFG .∠BCD=90°，AC⊥BD,∠DBC=∠BDC=45°. Smmre-25Am-2X BE BG=1x1 2∠DBC=22.5, 2 2-2 由折叠，得∠FBE=∠CBE= 26.(1)证明：：四边形ABCD为正方形， CE=EF,∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE. ∴.∠ABC=90°，AD∥BC. ∴.∠0GB=90°-∠FBE=67.5°=∠CGE .∠APB=∠PBC. ∠CEG=90°-∠CBE=67.5°. 由折叠，得∠EPH=∠EBC=90°，PE=BE. ∴.∠CEG=LCGE..CG=CE=EF. .∠EPB=∠EBP. 在Rt△DEF中，DE=2√2，∠FDE=45°， ∴.∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠BPH=∠PBC. .EF=DF=2,∴.CG=2. .∠APB=∠BPH. 23.3 (2)证明：如图，过点B作BQ⊥PH,垂足为Q. 24.(-1.5,5)【解析】如图，设正方形ABCD的边长为a, 由(1)知，∠APB=∠BPH. CD与y轴相交于点G,则四边形BOGC是矩形. 「∠A=∠BQP=90°， ∴.OG=BC=a,CG=B0,∠EGF=90°. 在△ABP与△QBP中，{ ∠APB=∠OPB, 由折叠的性质，得AF=AD=a,FE=DE. BP=BP, 点B的坐标为（1,0)，点F的坐标为(0,3)， ,.△ABP≌△QBP(AAS). ∴.B0=1,F0=3. .AP=QP,BA=BQ. ∴.A0=AB-B0=a-1. 又：AB=BC,∴.BC=BQ. 在Rt△A0F中，A02+F02=AF2, 又.∠C=∠BQH=90°， .(a-1)2+32=a2,解得a=5. .△BCH和△BQH都是直角三角形. .FG=0G-OF=2,GE=CD-CG-DE=4-DE. (BH=BH. 在Rt△BCH与Rt△BQH中， ·在Rt△EGF中，GE2+FG2=EF2, BC=BQ, .（4-DE)2+22=DE2,解得DE=2.5. ..Rt△BCH≌Rt△BOH(HL). .GE=1.5..点E的坐标为(-1.5,5). ..CH=QH..AP+HC=PQ+QH=PH 25.解：(1)BG=FG.理由如下： (3)解：如图，由(2)知，PQ=AP=1, .PD=3. 设QH=HC=x,则PH=x+1,DH=4-x. 此时，Sx=DC·AD=24C·Dp, 在Rt△PDH中，PD+D=PH, 即2×4x3方×5·DP,解得DP-号 1 即32+(4-x)2=(x+1)2,解得x=2.4. .PH=3.4. 一线段EF的最小值为2 专项突破五特殊平行四边形的动点问题 1.5√5-5【解析】如图，连接AC,AM. 5,4或5【解析】如图1，△PCD是等腰三角形，且 :在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=5,BC=10, PD=CD,过，点D作DE⊥AC于点E,则∠CED=90°， .AC=√52+102=55. PE=CE.四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, 由对称，得AM=AB=5. ∴.∠ADC=90°，CD=AB=6. 由三角形三边关系， .AC=√CD2+AD2=√62+82=10. 得CM≥AC-AM, S-X1DEX6x8DE- 1 4 当且仅当A,M,C三，点共线时取等号， 即CM≥AC-AM=55-5. PE-CE-/CD-DE--) .线段MC的最小值为5W5-5. 181814 .AP=AC-PE-CE=10- 2.5【解析】如图，连接BD,BF 55-5 :在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=8,AD=6, 当△PCD是等腰三角形，且CP=CD=6时， .BD=√AB2+AD2=10. 有AP=AC-CP=10-6=4. G为BE的中点，H为EF的中点， 如图2，△PCD是等腰三角形，且DP=CP. .GH为△BEF的中位线. ∠PDA+∠PDC=90°，∠PAD+∠PCD=90°， .BF=2GH.当BF取得最大值时， 且∠PDC=∠PCD GH取得最大值， ÷.∠PDA=LPAD.AP=DP=CP=2AC=5, :F是边CD上的动点， .当点F与，点D重合时，BF取得最大值，最大值为10 综上所述，AP的长为4 4或5. .GH的最大值为5. 号 小斗提示：连接DP.利用勾股定理求出AC;判断出四边形 DEPF是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=DP,再根据垂线 段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面 图2 积公式列出方程求解 5.解：(1)，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=14cm,点P 【解析】如图，连接DP 从点D出发向点A运动，点Q从点B出发向点C运动， :在矩形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，AB=4,BC=3, 点P,Q的速度都是1c/s,点P,Q运动的时间为ts, ∴.AD=BC=3,CD=AB=4,AC=√AB2+BC2=5 .'BQ=t cm,AP=(14-t)cm. ,四边形ABQP是矩形， PE⊥AD,PF⊥CD,∠EDF=90°， .BQ=AP,即t=14-t,解得t=7. .四边形DEPF是矩形.∴.EF=DP. 答：当t=7时，四边形ABQP是矩形 由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段 (2).AP=CQ=(14-t)cm,AP//CQ, DP的值最小，即线段EF的值最小， .四边形AQCP是平行四边形. 四边形AQCP是菱形，AQ=CQ, 即v0=4=,解得-24 .∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF, 即∠EDF=∠CDB=60. 答：当：-时，四边形40Cr是菱形 .△EDF是等边三角形..EF=DE. 当DE最小时，EF最小 （3)当1-24时，c0=14-:7em 74 由垂线段最短可知，当点E与点G重合时，DE最小，即 296 EF最小，最小值为DG的长. .C菱形A0cp=4CQ= cm, DC1AB,∠ADG=∠90-LA=30°，AG=2AD=1. 5e-0,AB=72i0-79em)。 .DG=√AD-AG=√3..EF的最小值为3. 62W3【解析】如图，过点B作BH⊥CD于点H. 98,5皮空解标：回边衫CD是支形， 四边形ABCD是菱形， ∴.BC=AB=4,∠C=∠A=60°. EH WC-BA.AGLBD.OB-D.AO-AC. 2 ∴.∠CBH=90°-60°=30°. AC=8,BD=6,∴0B=3,A0=4. CH=2 BC=2. .AB=√0B2+0A2=5. .BH=√BC2-C=√J42-22=23. 当PA=AB时，AP=5; BE≥BH,.BE的最小值为2√3. 当PB=AB时，BC=BA,.PB=BC, 7.2【解析】如图，连接AP, .点P与点C重合..PA=AC=8; FD 当AP=PB时，如图，设PA=x,则PB=x,OP=4-x. PB2=0P2+0B2,x2=(4-x)2+32. EB 点AP百培上将花，4P的长为8,5成 . 8 菱形ABCD的周长是24cm,面积是12cm2, 10.解：(1)45【解析】四边形ABCD是菱形，∠A= .AB=AD=×24=6(cm), 4 90°，.∠BCD=∠A=90°，BC=CD. 又.∠CBN=∠CDM,BN=DM, S+SADAB PE+2AD PF=6 cm'. ∴.△BCW≌△DCM(SAS). 1 :2×6PE+2×6PF=6.PE+PF=2cm ∴.CN=CM,∠BCN=∠DCM. ∠BCN+∠PCN=90°， 8.60°3【解析】如图，连接BD,过，点D作DG⊥AB于 .∠DCM+∠PCN=90°. 点G. .△CMN是等腰直角三角形 :四边形ABCD是菱形，AB=2, ∴.∠CMN=45. ∴.AB=AD=BC=CD=2,∠A=∠C,AD∥BC. (2)MW=√3MC.理由如下： 又∠ADC=12°， 同理(1)可证△BCW≌△DCM(SAS), .∠A=∠C=180°-120°=60°， ∴.CN=CM,∠BCN=∠DCM. ,△ABD,△BCD都是等边三角形. 四边形ABCD是菱形， .CD=BD,∠ABD=∠CDB=60°=∠C .∠BCD=∠A=120°. 又BE=CF, ∴.∠BCN+∠PCN=120. .△BDE≌△CDF(SAS). ∴.∠DCM+∠PCN=120°. ∴DE=DF,∠BDE=∠CDF ·∠CMN=∠CNMM=2×(180°-120°)=30°， 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·75·专项突破四 平行四边形的折叠问题 类型一平行四边形的折叠问题 1.如图，在口ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F,若 ∠B=52°，∠DAE=20°，则∠AED'的大小为 ( A.110° B.108° C.1059 D.100° 中咖 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在口ABCD中，点E在边AD上，将口ABCD沿CE翻折，使点D的对应点F落在边AB上.若 ∠DCE=45°，BC=5,CD=4,则AF的长为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处，B'C与AD相交于点E,此时 △CDE恰为等边三角形.若AB=6cm,则AD= cm. 4.如图，在口ABCD中，点E在边BC上.将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'恰好落在边DC上；将 △ADB沿AB'折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=,则∠CB'E= .(用含a的式 子表示)》 5.如图，BD是口ABCD的对角线，点E,F分别在边AD,BC上，将边AB沿BE折叠，使A点落在BD上 救 的点G处，将边CD沿DF折叠，使点C落在BD上的点H处.求证：四边形BEDF是平行四边形 A 6.新考法〔阅读理解〕阅读理解： 定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”. (1)在“和谐四边形”ABCD中，若∠B=135°，则∠A= (2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF,使顶点E,F分别落在边BE,BF上的点A,C处，折痕分别为 量 DG,DH.求证：四边形ABCD是“和谐四边形”. 7.如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E,使得BE=AB,连接BD和CE. (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)如图2，将△CBE沿直线BC翻折，点E恰好落在线段AD的中点F处，延长CF与BA的延长线相 交于点H,并且CF和BD交于点G,试求线段CH,FG,GB之间的数量关系， 挺 图1 图2 类型二矩形的折叠问题 8.如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C 落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是 () A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2ax 12ì 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB',折痕与边BC交于点P. 当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15时，∠APB的度数可以是 10.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE,连接CF,DF, 若CF平分∠BCD,AB=2,则DF的长为 11.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且EFBD,将△ECF沿EF翻折，点C恰好落在 矩形对角线BD上的点M处若A,M,E三点共线，则A的值为 12.如图，在矩形ABCD中，AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G 恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接 GE,FH. 求证：(1)△AEH≌△CFG;(2)四边形EGFH为平行四边形， 13.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在边AD上的点F处，过点F 作FG∥CD交BE于点G,连接CG (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积 D 14.新素养〔推理能力〕如图1，将矩形纸片ABMN沿着过点A的直线折叠，使点B落在边AN上的点D 处，折痕与边BM交于点C,E为线段AC上一点，过点E作EF⊥DE,交BC于点F (1)求证：DE=EF; (2)如图2，以DE,EF为邻边作平行四边形DEFG,连接CG. ①求证：∠DCG=45°； ②试探究线段AE,CE,DE之间的数量关系，并说明理由 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·41· 类型三菱形的折叠问题 15.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B落 在BC延长线上的点F处，则CF的长为 () A.2 B.6-3√2 C.2√2 D.6√2-6 D 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 16.如图，将菱形ABCD折叠，使得点B的对应点P落在对角线BD上，折痕分别与AB,BC交于点E,F 连接AC,若BD=24,AC=10,则图中阴影部分的面积为 A.60 B.100 C.120 D.240 17.如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'处，连接 DB'.已知∠C=110°，∠BAE=50°，则∠AB'D的度数为 18.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，将△DEF沿EF折叠后，点D的对应点G恰好在 BC上，且EG⊥BC,若DE=3,BG=2,则此菱形的边长为 19.如图，将菱形ABCD沿着EF,GH折叠后，点B,D重合于对角线BD上一点M. 求证：四边形AEMG是平行四边形 B、 20.新考法〔过程性学习〕八年级一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片（∠BAD>90), 要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论， 图1 图2 图3 同学们在边AD上取点E,连接BE,将这个纸片沿BE翻折，点A的对应点为F,如图1所示. 小明发现：当点F落在对角线BD上时，∠EFD=2∠ABD 小红发现：当E是AD的中点时，连接DF.若已知AB和DF的长，则可求BE的长. 同学们根据小明和小红的发现，讨论后提出问题，请你解答问题 问题：在菱形ABCD中，∠BAD>90°，E是边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE. (1)如图2，当点F在对角线BD上时，求证：∠EFD=2∠ABD: (2)如图3，当E是AD的中点时，连接DF,若AB=8,DF=6,求BE的长. ·42· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 类型四正方形的折叠问题 21.如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，且交AC于点G,则 EF 的值为 Cc" 1 1 2 .4 C. D. 3 M 郡 B∠- --20 B E A OB元 第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 22.如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G.若DE= 22,则CG的长是 A.√2 B.2 C.2+1 D.22-1 23.如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在边BC的中点E处，点A落在F处，折痕为MN, 则线段CW的长是 24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)，点E在边CD 上.将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3)，则点E的坐标为 25.如图，正方形ABCD的边长为2，E是边BC的中点，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在 的平面内，得到△DFE,延长DF交边AB于点G. (1)请判断线段BG和FG的数量关系，并说明理由； 闻 (2)求四边形BEFG的面积. D B 26.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,P为边AD上的一点（不与点A,D重合），将正方形纸 片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH. (1)求证：∠APB=∠BPH; (2)求证：AP+HC=PH; (3)当AP=1时，求PH的长