专项突破3 勾股定理与数学思想-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

b-10≥0，得b=10.b=-a+7, (2)由 20-2ab≥0， 2m+写1，解得m=写 ∴.a+b=7..(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9. 8.解：(1)设“O”开平方后表示的数为x(只取算术平方 ∴.a-b=±3. 根)， 专项突破二与二次根式有关的新定义题型 则(x-√/12)-(-√3)=2W3,解得x=33, 1.解：(1)6 .“○”表示的数为(33)2=27，即“O”表示的数为27. (2),a与V5-√3是关于4的共轭二次根式， (2)当“口”表示“+”时， ∴.a(5-3)=4 (√27-√12)+(-√3)=35-23-√3=0： 44(5+√3) 当“口”表示“-”时， =25+2W3. √5-√3(5-√3)(5+3) (√27-√12)-(-√3)=35-25+3=23； (3):3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式， 当“口”表示“×”时， .(3+√3)(6+√3m)=12,18+3√3m+63+3m=12, (√27-12)×(-√3)=(33-23)×(-3)=√3× 33m+3m=-63-6,(33+3)m=-2(33+3).∴.m=-2. (-√5)=-3； 2.解：(1)2 当“☐”表示“÷”时， V5+W3 1 (√27-√12)÷(-√3)=(35-23)÷(-√3)=√3： (2)6-√5 【解析】由题意，得」 2 6+5 (-√3)=-1. 6-√5 =√6-5， :-3<-1<0<25, (6+5)(6-√5) .当“口”表示“×”时，算式的结果最小，这个最小结果 5+3 -V5+W3 是-3. 5-3(5-3)(5+3)2 专项突破三勾股定理与数学思想 1+1+1 (3)+33+w55+w7 +…+ 1.解：√13+√2>√17.过程如下：如图， √2025+√2027 由勾股定理，得DE=√22+32=√3， 2)555,7≥5 2 2 EF=√12+12=√2，DF=√42+1=√17 2027,/2025)x(N2027+1)=V2027-1 在△DEF中，DE+EF>DF, -X 2 2 .√13+√2>√17. (V2027+1)=2×(2027-1)=1013. 2解：(1)大正方形的面积=d=46+(6-月， 5W2 3.C4. 5.-√2-456.32-2 整理，得c2=a2+b2 2 (2).大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 7.解：(1)根据题中的新定义，得原式=2×，8+2-2= .a2+b2=c2=13,(b-a)2=1. 2 .a2+b2-2ab=1..2ab=12. 4+2-√2=4. ∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25, (2)根据题中的新定义，得2※6=V2×V6+2-2= 即(a+b)2的值为25. 3.解：(1)16,5【解析】：正方形A,B,C,D的面积分别 25+√2-√2=25，(2※6)※m=23※m=23m+ 是6,10,3,6， i=2-5b+号）人=-a .S正方形都=S正方形A+S正方形B=6+10=16, S正方形r=S正方形C+SE方形D=3+6=9. .S正方形6=S正方形E+S正方形都=16+9=25， 7.解：(1)∠A=90°，AB=12,BC=20, 正方形G的边长是5. ·.AC=√BC-AB2=√202-127=16. (2),正方形ACDE,正方形BCGF的面积分别为36,9， (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. .AC=CD=DE=EA=6,BC=3,∠EAC=∠D=90°. ∠A=90°，.AB2+AP2=BP2. ∴.在Rt△BDE中，BE=√DE+BD=√62+(6+3)7=3√13. 122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. 四边形ABNM是正方形， AP的长为3.5. .AB=AM,∠BAM=∠EAC=90. 8.解：(1)△BCH是直角三角形.理由如下： .'.∠EAC+∠CAB=∠BAM+∠CAB, 在△ACH中，C+AH=22+12=5,AC2=(5)=5, 即∠EAB=∠CAM. .CP+AP=AC2..△ACH是直角三角形，且∠CHA=90°. AE=AC. ∴.∠CHB=90°.∴.△BCH是直角三角形 在△ABE和△AMC中，{ ∠EAB=∠CAM. (2)设BC=x,则BH=x-1. AB=AM, △BCH是直角三角形，.CH+B=BC2, .△ABE≌△AMC(SAS).∴.CM=EB=3√13. 即24(-1)2=d,解得-即8C-千米 4.解：.CD⊥AB,BC=15,CD=12, .BD=√BC2-CD2=√152-127=9. 3b-9≥0， 9.解：根据题意，得 解得b=3. 3-b≥0. 设AB=AC=x,则AD=x-9. 在Rt△ADC中，AD+CD2=AC2, ∴.a=6+√3×3-9-2√3-3=6. (-9)12=2,解得空即AC的长为2 当a为直角边长时，斜边长=√a2+b=√6+32=35. ∴.直角三角形的周长=6+3+35=9+35！ 5.解：.将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在斜边 当a为斜边长时，另一条直角边长=√a2-b=√6-3=35. AC上，与点E重合，AB=6cm,BC=8cm, 直角三角形的周长=6+3+35=9+35 .AE=AB=6cm,DE=BD,∠AED=∠B=90 综上所述，此直角三角形的周长为9+3√5或9+3√5. 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=√62+82=10(cm), …小斗总结… .CE=AC-AE=10-6=4(cm). 直接求三角形的边长问题一般借助勾股定理求值，但一定要 设BD=DE=xcm,则DC=BC-BD=(8-x)cm. 分清直角边和斜边，一旦问题没有明确直角边和斜边，那么就 ∠DEC=180°-∠AED=90°， 要进行分类讨论 .在Rt△DEC中，x2+42=(8-x)2,解得x=3. 10.小斗提示：此题要分两种情况进行讨论：(1)当等腰三角形的顶 .DE的长度为3cm. 角是钝角时，腰上的高在三角形的外部；(2)当等腰三角形的顶 小斗总结 角是锐角时，腰上的高在三角形的内部。 解决折叠问题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折 解：分两种情况： 叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择 适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运 (1)当顶角是钝角时，如图1. 用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数 在Rt△AC0中，0A=√AC2-0C=√52-32=4， ∴.OB=AB+0A=5+4=9. 6.解：设OA=OB=x尺. :CE=BD=5尺，AC=1尺， .在Rt△BC0中，BC=√OB+0C=√g+3=√0=3√10. .AE=CE-AC=5-1=4(尺)，0E=0A-AE=(x-4)尺. 在Rt△OEB中，0E=(x-4)尺，OB=x尺，BE=10尺， 根据勾股定理，得x2=(x-4)2+102,解得x=14.5. 则秋千绳索的长度为14.5尺 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·71 (2)当顶角是锐角时，如图2. .x=12..WB=12. 在Rt△ACD中，AD=√AC2-CD2=√52-32=4， 综上所述，NB的长为12或13. .BD=AB-AD=5-4=1. 13.解：(1)2【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= ∴.在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√1+32=√/10. 10 cm,AC=6 cm, 综上可知，这个等腰三角形底边的长为3√0或√10 .根据勾股定理，得BC=√AB-AC=√102-6=8(cm). 11.解：分两种情况讨论： .当，点P运动到BC的中点时，BP=。BC=4cm. 2 (1)如图1，在锐角三角形ABC中，AB=10,AC=2√10， .∴.t=4÷2=2 边BC上的高AD=6. (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4, 在Rt△ABD中，AB=10,AD=6, .4s内，点P在线段BC上 由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=102- 如图1，连接AP. 62=64, 图1 BP=AP=2t cm,BC=8 cm, .BD=8 .PC=(8-2t)cm. 图 在Rt△ACD中，AC=2W10,AD=6, .PC2+AC2=AP2, 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=(2√10)2-62=4， ..CD=2,BC=BD+DC=8+2=10 (8-2)2+62=(2)2,解得1=25 (2)如图2，在钝角三角形ABC中，AB=10,AC=2√10， ·BP=2x2525 84(cm). 边BC上的高AD=6. (3)①当LAPB=90时，点P和点C重合，t=8÷2=4; 在Rt△ABD中，AB=10,AD=6, ②当∠BAP=90°时，点P在线段BC的延长线上，如 由勾股定理，得BD2=AB2-AD2=102- 图2. 62=64, 图2 BP=2t cm,BC=8 cm, .BD=8. .PC=(2t-8)cm. 在Rt△ACD中，AC=2√10，AD=6, 在Rt△ACP中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=(2√10)2-62=4， AP2=AC2+PC2=62+(2t-8)2, 图2 .CD=2. 在Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(2t)2-102, 故BC=BD-CD=8-2=6. 综上所述，边BC的长为10或6. 62+(2-8)2=(2)2-102,解得t=4 25 12.解：(1)点M,N是线段AB的勾股分割点.理由如下： 综上所述，的值是4或学 AM=1.5,MN=2.5,NB=2, .AM2+NB2 =MN2. 14.证明：，MN⊥AB, ∴.以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形 .在Rt△AMN和Rt△BMN中，AW2=AM-MW2,NB2= .点M,N是线段AB的勾股分割点. BM2-MN. (2)12或13【解析】设NB=x.AB=30,AM=5, .AN2-BN2=AM2-BM2 .MN=AB-AM-NB=25-x. 在Rt△ACM中，AM2-CM2=AC2. 分析可知AM不可能是直角三角形的斜边 :AM是△ABC的中线， 若NB是直角三角形的斜边，则NB2=AM+MN2. ∴.CM=BM. .x2=52+(25-x)2..x=13..NB=13. .AN2-BN2=AM2-BM2=AM2-CM2=AC2. 若MW是直角三角形的斜边，则MN2=AM+NB2. 15.解：(1)如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线 .（25-x)2=52+x2. 段SF就是蜘蛛走的最短路线。 ·72· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 (2)分两种情况讨论： ①将长方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在同一 GN 平面内，如图2，连接AC1,则最短路程就是线段AC 图1 的长 ∠SNF=90,FN=18-2=16(cm),SN=2×60= 1 在Rt△4CC,中，AC1=√AC+CC,7=√(5+5)2+6=√136(cm). ②将长方体的“上面”向上翻转，使它与“前面”在同一 30(cm), 平面内，如图3，连接AC1,则最短路程就是线段AC ∴.SF=√SW+FW=√302+16=34(cm), 的长。 ∴.蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm. 在Rt△ABC1中，AC1=√AB2+BC=√52+(5+6)7= (2)把平面ABB1A1和平面BCC,B1展开到同一平面， 如图2，设昆虫甲从顶点C,沿棱C,C向顶点C爬行的 √/146(cm). 同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行，捕捉到 √146>W√136，√136=2√34， 昆虫甲需x. ∴.蚂蚁需要爬行的最短路程为2√34cm. :长方体的棱长AB=BC=6cm, A B1 C (3)将长方体按下列三种方式展开： AA=CC=14 cm,AF=1.x=x(cm), 第一种：如图4， C,F=1·x=x(cm), AD=5+3=8(cm),BD=6(cm), B .'CF=(14-x)cm,AC=12 cm. 图2 .AB=√AD2+BD2=√82+6=10(cm); :∠ACF=90°， 85 .x2=122+(14-x)2,解得x= “昆虫乙至少需要：才能箱捉到昆虫甲， 6 图4 图5 图6 16.小斗分析：(1)将正方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在同 第二种：如图5， 一平面内，连接AC1,两点之间线段最短，AC,是最短路径，利用 .BE=5+6=11(cm),AE=3cm, 勾股定理求AC,即可；(2)分两种情况讨论：①将长方体的“右 面”向外翻转，使它与“前面”在同一平面内，连接AC1,两点之间 .AB=√BE+AE=√/112+32=√130(cm); 线段最短，AC,是最短路径，利用勾股定理求AC1;②将长方体的 第三种：如图6， “上面”向上翻转，使它与“前面”在同一平面内，连接AC1,两点 .BC=3+6=9(cm),AC=5cm, 之间线段最短，AC,是最短路径，利用勾股定理求AC·比较这两 .AB=√BC2+AC=√92+52=√106(cm). 种方式下AC,的长短，确定最短的即可.(3)将长方体按三种方 式展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可. 10<√106<√130 解：(1)将正方体的“右面”向外翻转，使它与“前面”在 ∴.蚂蚁需要爬行的最短路程是10cm. 同一平面内，如图1，连接AC,则最短路程就是线段 专项突破四平行四边形的折叠问题 AC,的长 1.B2.A3.12 在Rt△ACC1中，AC,=√AC+CC=√(5+5)2+5=55(cm), 4 【解析】四边形ABCD是平行四边形，∠C=a, 即蚂蚁需要爬行的最短路程为5V5cm. ∴.∠BAD=∠C=a,BC∥AD,CD∥AB. :点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点 B'恰好落在边DC上， .∠AB'E=∠B=180°-∠BAD=180°-a,∠B'AE=∠BAE. 图2 图3 将△ADB'沿AB'折叠，点D的对应点D'恰好落在专项突破三 勾股定理与数学思想 类型一勾股定理与数形结合思想 1.我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题， 例：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC,点A,B,C都在格点上，比较 √5+1与√10的大小 獬：由勾股定理，得AB=√22+1？=√5，AC=√32+1=√10，BC=1. 在△ABC中，AB+BC>AC,.√5+1>√10 学习上述方法，在图2中构造图形比较13+√2与√17的大小，并写出推导过程 班 图1 图2 2.用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积 法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2=α2+b2; (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求(a+b)2的值(a<b) 3.新素养〔几何直观)问题情境： 毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重 复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”. 解决问题： 蜜 (1)如图2是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 若正方形A,B,C,D的面积分别是6,10,3,6，则正方形E的面积是 ,正方形G的边长是 (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接BE,CM.若正方形ACDE,正方形BCGF的面积分别为 36,9,求CM的长 B 挺 图1 图2 图3 类型二勾股定理与方程思想 4.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D.若BC=15,CD=12,求AC的长 5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AB=6cm,BC=8cm,现将三角形纸片沿直线AD折叠，使点 B落在斜边AC上，与点E重合，求DE的长度 B… 6.新考法〔数学文化〕明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西 江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐，五尺板高离地，…”翻译成现代文为：如 图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺，BE⊥OA于点 E),此时踏板升高离地五尺(EC=BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度. 0 --------B C 777 7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12,BC=20. (1)求AC的长； (2)若P为线段AC上一点，连接BP,且BP=CP,求AP的长. 8.在“大美黄冈”景区，笔直的河流旁分布着三个景点A,H,B,游客中心在点C位置.小伟一家到景区游 玩，通过游客中心的地图发现：游客中心到三个景点都有笔直的道路连接，其中AB=BC,AC=√5千米， CH=2千米，AH=1千米 (1)判断△BCH的形状，并说明理由； (2)求路线BC的长. 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·39 类型三勾股定理与分类讨论思想 9.已知a,b分别为直角三角形的两条边长，且a,b满足a=6+√3b-9-23-b,求此直角三角形的周长 10.已知一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，求这个等腰三角形底边的长. 11.在△ABC中，AB=10,AC=2√10，边BC上的高AD=6,求边BC的长. 12.定义：如图，点M,N(点M在N的左侧)把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三 角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点， AM N (1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,NB=2,则点M,N是线段AB 的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30,AM=5,则线段NB的长为 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的 速度移动，设运动的时间为ts. (1)若点P运动到BC的中点时，t的值是 (2)4s内，若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值： 备用图 ·40. 全程复习大考卷·数学·八年级下册 类型四勾股定理与转化思想 14.如图，AM是△ABC的中线，∠C=90°，MN⊥AB于点N,求证：AN2-BW2=AC2. M 15.新考法〔过程性学习〕【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm,底面圆的周长为18cm.在圆 柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行 的最短路程是多少？ 郑 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A,B两点的 位置，依据“两点之间，线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2，在圆柱的侧面展开图 中，点A,B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程，即线段AB的长， 【方法应用】 (1)如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘 蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇 充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度； (2)如图4，长方体的棱长AB=BC=6cm,AA,=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点C,开始以1cm/s的 速度在盒子的内部沿棱C,C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧 面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ B 12 A9C 图1 图2 D D无C A B A B 图3 图4 16.叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题.请你根据下面所给的条件分别 求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号） (1)如图1，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点 C1处； (2)如图2，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表 面爬到点C1处； (3)如图3，长方体的长、宽、高分别是6cm,5cm和3cm.一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表 面爬到长方体上和A相对的顶点B处 D 图1 图2 图3