专项突破2 与二次根式有关的新定义题型-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

b-10≥0，得b=10.b=-a+7, (2)由 20-2ab≥0， 2m+写1，解得m=写 ∴.a+b=7..(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9. 8.解：(1)设“O”开平方后表示的数为x(只取算术平方 ∴.a-b=±3. 根)， 专项突破二与二次根式有关的新定义题型 则(x-√/12)-(-√3)=2W3,解得x=33, 1.解：(1)6 .“○”表示的数为(33)2=27，即“O”表示的数为27. (2),a与V5-√3是关于4的共轭二次根式， (2)当“口”表示“+”时， ∴.a(5-3)=4 (√27-√12)+(-√3)=35-23-√3=0： 44(5+√3) 当“口”表示“-”时， =25+2W3. √5-√3(5-√3)(5+3) (√27-√12)-(-√3)=35-25+3=23； (3):3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式， 当“口”表示“×”时， .(3+√3)(6+√3m)=12,18+3√3m+63+3m=12, (√27-12)×(-√3)=(33-23)×(-3)=√3× 33m+3m=-63-6,(33+3)m=-2(33+3).∴.m=-2. (-√5)=-3； 2.解：(1)2 当“☐”表示“÷”时， V5+W3 1 (√27-√12)÷(-√3)=(35-23)÷(-√3)=√3： (2)6-√5 【解析】由题意，得」 2 6+5 (-√3)=-1. 6-√5 =√6-5， :-3<-1<0<25, (6+5)(6-√5) .当“口”表示“×”时，算式的结果最小，这个最小结果 5+3 -V5+W3 是-3. 5-3(5-3)(5+3)2 专项突破三勾股定理与数学思想 1+1+1 (3)+33+w55+w7 +…+ 1.解：√13+√2>√17.过程如下：如图， √2025+√2027 由勾股定理，得DE=√22+32=√3， 2)555,7≥5 2 2 EF=√12+12=√2，DF=√42+1=√17 2027,/2025)x(N2027+1)=V2027-1 在△DEF中，DE+EF>DF, -X 2 2 .√13+√2>√17. (V2027+1)=2×(2027-1)=1013. 2解：(1)大正方形的面积=d=46+(6-月， 5W2 3.C4. 5.-√2-456.32-2 整理，得c2=a2+b2 2 (2).大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 7.解：(1)根据题中的新定义，得原式=2×，8+2-2= .a2+b2=c2=13,(b-a)2=1. 2 .a2+b2-2ab=1..2ab=12. 4+2-√2=4. ∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25, (2)根据题中的新定义，得2※6=V2×V6+2-2= 即(a+b)2的值为25. 3.解：(1)16,5【解析】：正方形A,B,C,D的面积分别 25+√2-√2=25，(2※6)※m=23※m=23m+ 是6,10,3,6， i=2-5b+号）人=-a .S正方形都=S正方形A+S正方形B=6+10=16, S正方形r=S正方形C+SE方形D=3+6=9. .S正方形6=S正方形E+S正方形都=16+9=25， 7.解：(1)∠A=90°，AB=12,BC=20, 正方形G的边长是5. ·.AC=√BC-AB2=√202-127=16. (2),正方形ACDE,正方形BCGF的面积分别为36,9， (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. .AC=CD=DE=EA=6,BC=3,∠EAC=∠D=90°. ∠A=90°，.AB2+AP2=BP2. ∴.在Rt△BDE中，BE=√DE+BD=√62+(6+3)7=3√13. 122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. 四边形ABNM是正方形， AP的长为3.5. .AB=AM,∠BAM=∠EAC=90. 8.解：(1)△BCH是直角三角形.理由如下： .'.∠EAC+∠CAB=∠BAM+∠CAB, 在△ACH中，C+AH=22+12=5,AC2=(5)=5, 即∠EAB=∠CAM. .CP+AP=AC2..△ACH是直角三角形，且∠CHA=90°. AE=AC. ∴.∠CHB=90°.∴.△BCH是直角三角形 在△ABE和△AMC中，{ ∠EAB=∠CAM. (2)设BC=x,则BH=x-1. AB=AM, △BCH是直角三角形，.CH+B=BC2, .△ABE≌△AMC(SAS).∴.CM=EB=3√13. 即24(-1)2=d,解得-即8C-千米 4.解：.CD⊥AB,BC=15,CD=12, .BD=√BC2-CD2=√152-127=9. 3b-9≥0， 9.解：根据题意，得 解得b=3. 3-b≥0. 设AB=AC=x,则AD=x-9. 在Rt△ADC中，AD+CD2=AC2, ∴.a=6+√3×3-9-2√3-3=6. (-9)12=2,解得空即AC的长为2 当a为直角边长时，斜边长=√a2+b=√6+32=35. ∴.直角三角形的周长=6+3+35=9+35！ 5.解：.将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在斜边 当a为斜边长时，另一条直角边长=√a2-b=√6-3=35. AC上，与点E重合，AB=6cm,BC=8cm, 直角三角形的周长=6+3+35=9+35 .AE=AB=6cm,DE=BD,∠AED=∠B=90 综上所述，此直角三角形的周长为9+3√5或9+3√5. 在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC=√62+82=10(cm), …小斗总结… .CE=AC-AE=10-6=4(cm). 直接求三角形的边长问题一般借助勾股定理求值，但一定要 设BD=DE=xcm,则DC=BC-BD=(8-x)cm. 分清直角边和斜边，一旦问题没有明确直角边和斜边，那么就 ∠DEC=180°-∠AED=90°， 要进行分类讨论 .在Rt△DEC中，x2+42=(8-x)2,解得x=3. 10.小斗提示：此题要分两种情况进行讨论：(1)当等腰三角形的顶 .DE的长度为3cm. 角是钝角时，腰上的高在三角形的外部；(2)当等腰三角形的顶 小斗总结 角是锐角时，腰上的高在三角形的内部。 解决折叠问题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折 解：分两种情况： 叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择 适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运 (1)当顶角是钝角时，如图1. 用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数 在Rt△AC0中，0A=√AC2-0C=√52-32=4， ∴.OB=AB+0A=5+4=9. 6.解：设OA=OB=x尺. :CE=BD=5尺，AC=1尺， .在Rt△BC0中，BC=√OB+0C=√g+3=√0=3√10. .AE=CE-AC=5-1=4(尺)，0E=0A-AE=(x-4)尺. 在Rt△OEB中，0E=(x-4)尺，OB=x尺，BE=10尺， 根据勾股定理，得x2=(x-4)2+102,解得x=14.5. 则秋千绳索的长度为14.5尺 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·71专项突破二 与二次根式有关的新定义题型 类型一概念的新定义 1.定义：若两个二次根式a,b满足a·b=c,且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式. (1)若3√2与√2是关于c的共轭二次根式，则c= (2)若a与5-√3是关于4的共轭二次根式，求a的值； (3)若3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式，求m的值. 2.定义：我们将（√a+√b)与（√a-√b)称为一对“对偶式”. 因为（√a+√b)(a-b)=(a)2-(√b)2=a-b,可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 偶式”来解决， 例如：已知√12-x-√8-x=2,求√12-x+√8-x的值，可以这样解答： 因为(12-x-8-x)(√12-x+√/8-x)=(12-x)2-(√/8-x)2=12-x-8+x=4, 所以√12-x+√8-x=2. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知√/18-x+√6-x=6,则√/18-x-√/6-x= (2)化简：1 1 6+√5 —5-3 (3)计算：(，1+ 1 1 ×(1+√/2027) 1+√3√3+√5W5+√7√2025+√/2027 ·38· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 类型二规则的新定义 a c 2-√5 3.数学中，形如 b d 的式千叫作二阶行列式，规定其运算法则为&=ad-c,如： 45 √5-4×(-√/5)=65，则计算 223.1543 的结果为 () -332√3 A.33 B.43 C.153 D.163 4对于任意下实数a6,定义一种新的运算：0@b=函-分，如：2@3=v2X- 226 3=3，则3⑧6= 5.对于任意两个正数m,n,定义运算※为m※n= m-n(m≥m),则计算(8※3)-(18※27)的结果为 √m+√n(m<n), 6.规定a因b=a·方 a +√b,a*b=ab-b2,则(2⑧4)*√2= 7.用“※”"表示一种新的运算，对于实数4，b,都有a※6=b+2-2.例如：2※3=2×3+？-2=7-2 (1)求2※√8的值； (2)若（√2※6）※m=√3-√2，求m的值. 8.在算式“（√可-√12）□(-√3)”中，“O”表示被开方数，“□”表示“+”“-”“×”“÷”中的某一个运算 符号 (1)当“☐”表示“-”时，运算结果为23，求“○”表示的数； (2)如果“O”表示的是(1)中所求的数，当“口”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这 个最小结果