专项突破1 二次根式化简求值的技巧-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

专项突破一二次根式化简求值的技巧 类型一利用二次根式的性质√a2=|al化简 1.已知a=2-√3，则√a2-2a+1的值为 A.1-√3 B.√3-1 C.3-3 D.√3-3 2.若6<m<10,则化简√(3-m)2+√(m-10)2的结果是 A.-7 B.7 C.2m-13 D.13-2m 3.已知y=√(x-2)2-x+3,当x分别取1,2,3，…，2026时，所对应y值的总和是 A.2028 B.2026 C.2024 D.2022 4.已知2,3，y是一个三角形的三条边长，则1y-11+√y2-10y+25的化简结果为 5.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：√a2-√b-√(a+b)2. 类型二巧用乘法公式进行计算与求值 6.教改题若a=√5+1，则a2-2a-4的值为 A.0 B.1 C.-1 D.2 7.计算：(1)（√2+√3-√6）2-(2-√3-√6)2= (2)(2√3-32-√6)(23+3√2-√6)= 8.计算： (1)(3√6-6)（√6+2）； (2)(3+1)2-(3-√2)(3+√2) 9.教改题已知x=√5-2，求(9+45)x2-（5+2)x+4的值. 10.段改题已知a-1-5,求下列各式的值： 1 (1)a+a (2)a21 类型三利用隐含条件求值 11.若-m2+√-n=3,则m+n= 12.已知a=V6-4+4- +46,求4a +4的值. √b4 Ja b 13.已知a-2b+4+(a+b-5)2=0,求4a-v24的值 14.已知式子A=√x-5在实数范围内有意义. (1)求x的取值范围： (2)若式了4是设筒次限式，目可与，号合并，求：的值，并计茶5：的值 15.问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法. 例：已知y=√2025-x+x-2025+2026,求y的值. 2025≥0得x=2025,y=2026.y-3026 解：由-2025≥0， x2025 1-yl (1)尝试应用：若x,y为实数，且y>√x-3+/3-x+2,化简： y~1 (2)拓展创新：已知b=√ab-10+√/20-2ab-a+7,求a-b的值 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·37·因为两人成绩的平均数相等，而小英成绩的方差小于 9.85mm,中位数为9.95mm,上四分位数为10.05mm, 小丽，所以小英成绩更加稳定 最大值为10.3mm.型号A的中位数10.0mm大于型号 第二十四章学业水平测试 B的中位数9.95mm,说明型号A零件直径的中间水平 1.A2.B3.A4.A5.D6.D7.A8.B9.D 更大.型号A的四分位距=10.1-9.9=0.2(mm),型号B 10.C【解析】甲、乙的得分（单位：分）从小到大排列如 的四分位距=10.05-9.85=0.2(mm),离散程度相同， 下：甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3；乙：8.1,8.5,8.6， 但型号B的最小值更小，最大值更大，说明型号B零件 8.6,8.7,9.1,所以去掉最高分和最低分可得甲的中位 直径的波动范围更大。 数为8.9分，乙的中位数为8.6分.故A正确；甲得分 20.解：(1)22 的最大值与最小值的差为9.3-7.0=2.3（分），乙得分 (2)路线A所用时间的平均数为40+22+21+19+18=24 的最大值与最小值的差为9.1-8.1=1（分）.故B正 5 确；甲得分的上四分位数为9.2分，乙得分的上四分位 (mm),方差为写×[(40-24)2+(22-24)2+(21-24)2+ 数为8.7分.故C错误：由题图可以看出甲得分的波动 比乙大，所以甲得分的方差大于乙得分的方差.故D (19-24)2+(18-24)2]=66. 正确」 路线B所用时间的平均数为30+27+26+25+27 11.1612.甲13.8714.2015.5 16.7.2或6.96【解析】这组数据按从小到大排列为2,4， 27(mim),方差为5×[(30-27)2+(27-27)2+ a,5,10. (26-27)2+(25-27)2+(27-27)2]=2.8. 因为a为整数，所以a=4或a=5. 因为66>2.8，所以路线B用时更稳定 当a=4时，数据的平均教为2+4+4+5+10 5 (3)由用时的平均数可知，路线A平均用时更少，所以 建议选择路线A. 此时2=[(2-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(10- 21.解：(1)91.5100【解析】机器人技能测试成绩从小 5)2]=7.2; 到大排序为88,89,89,90,91,92,95,95,95,96， 当a=5时，数据的平均数为2+4+5+5+10-5.2， 91+92 所以中位数b= 5 =91.5. 此时2=[(2-52)2+(4-52)2+(5-5.2)2+ 因为人工技能测试成绩中100出现的次数最多， 所以众数c=100. (5-5.2)2+(10-5.2)2]=6.96. 综上，这组数据的方差为7.2或6.96. (2)a=100x3+82+75+87+93+71+83+99 89 10 17.解：甲的最终成绩是(95×4+75×4+90×2)÷(4+4+2)= (3)因为机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较 860÷10=86(分)， 小，所以可以推断机器人操作在技能方面更有优势 乙的最终成绩是(85×4+80×4+110×2)÷(4+4+2)= 22.解：(1)B组的平均成绩为 880÷10=88(分). 1.5-2+10-8.3-10-8.8+7.8+15.7 +211 因为88>86，所以应选拔乙. 18.解：由扇形统计图可得平均数为1×3%+2×4%+3× ≈0.74+211=211.74(cm), 51%+4×32%+5×10%=3.42(分)，中位数为3分，众数 G组的平均成绩为 为3分 11.3-3.5-2+8.4-5.7-9.8+6.9-3.7 +184 19.解：型号A:最小值为9.8mm,下四分位数为9.9mm, 8 中位数为10.0mm,上四分位数为10.1mm,最大值为 ≈0.24+184=184.24(cm) 10.2mm;型号B:最小值为9.7mm,下四分位数为 (2)方案：根据B组，G组的优秀率，B组中的8名男生， ·70· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 达到优秀”的有4名，优秀率为×10%=50%，G组中9解=/5-2产=（5-2》户=5-45+4=9-45 .(9+45)x2-(W5+2)x+4=(9+4w5)(9-45)-(5+ 的8名女生，达到优秀“的有3名，优秀率为3×100%= 2)(W5-2)+4=81-80-(5-4)+4=1-1+4=4. 37.5%.因此B组的学生表现较好. 10.解：(1).a- 1=3, 选做题 解：(1)不能，因为平均收入和最高收入相差太大，说明高 收入的员工占极少数，现在已经知道至少有一个人的年收 入为200万元，那么其他员工的年收人之和为300万元， 每人平均收入约为6.12万元 如果再有几个收入特别高的，那么初进公司的员工的收入 (a+)-+2 5+2=7 将会更低。 (2)不能，要看中位数是多少 .a+=±7. a (3)能，因为可以确定有75%的员工年收人在4.5万元以 (2).a-=√3，a+1=±7， 上，其中25%的员工年收入在9.5万元以上， a a (4)收人的中位数大约是4595-7（万元. 2 (a)e)=7x5=v 因为受年收人200万元这个极端值的影响，所以平均数比 11.-9【解析】√-m2+√-n=3,m2≥0， 中位数高很多 .-m2≥0，-n≥0.∴.m=0,且n≤0，√-n=3. 专项突破一二次根式化简求值的技巧 ∴.-n=9,解得n=-9..mtn=0-9=-9. 1.B2.B 12.解：由二次根式的非负性，得b-4≥0,4-b≥0.解得b= 3.A【解析】由条件可知当x<2时，y=2-x-x+3=5-2x, 4.则a=4b=4×4=16. 即当x=1时，y=5-2×1=3;当x≥2时，y=x-2-x+3=1, +4= 即当x分别取2,3，…，2026时，y的值均为1，∴.当x分 原式=464-44 +4=4. √164 44 别取1,2,3，…，2026时，所对应的y值的总和是3+ 2025×1=2028 13.解：根据题意，得-26+4= a+b-5=0, 解得2. (b=3, 4.4 5.解：根据数轴可得a<-1,0<b<1,∴.a+b<0. 4a-24 42-V24 =4√2-8=4√2-2W2=22. 3 ∴.原式=|al-1b|-|a+b1=-a-b+a+b=0. 14.解：(1)由题意知x-5≥0，解得x≥5. 6.A 7.(1)4V6-122(2)-12√2 (2②)v5是放简=次根式.且可与，号合并。 …小斗总结… 1√3 (1)当题目出现平方差形式的计算式时，如果先利用完全平方 √33x-5=3.x=8 公式计算比较麻烦，可逆用平方差公式转化为乘积的形式计 算；(2)当题目中出现两个三项式的乘积的形式时，一般将相 =3x3-3 ·原式33 同的数看作m,相反的数看作n,利用平方差公式(m+n)(m n)=m2-n2计算 x-3≥0， 15.解：(1)由 得x=3, 3-x≥0， 8.解：(1)原式=3(6-2)(6+2)=3×(6-4)=3×2=6. (2)原式=3+23+1-(9-2)=3+23+1-7=23-3. ÷2.1-<0.1-=yll y-1y-1 b-10≥0，得b=10b=-a+7. (2)由 20-2ab≥0， 2m+写1，解得m=写 ∴.a+b=7.∴.(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9. 8.解：(1)设“O”开平方后表示的数为x(只取算术平方 ∴.a-b=±3. 根)， 专项突破二与二次根式有关的新定义题型 则(x-√12)-(-√3)=23，解得x=33 1.解：(1)6 .“○”表示的数为(33)2=27，即“○”表示的数为27. (2)'a与5-3是关于4的共轭二次根式， (2)当“☐”表示“+”时， ∴.a(5-√3)=4. (√27-√12)+(-3)=33-23-√3=0： 4 4(w5+√3) 当“口”表示“-”时， .0= =25+23. √5-√3(5-√3)(5+3) (√27-√12)-(-3)=33-23+3=2W3: (3)3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式， 当“口”表示“×”时， ∴.(3+√3)(6+√3m)=12,18+33m+6√3+3m=12, (√27-12)×(-3)=(33-23)×(-3)=√3× 33m+3m=-63-6,(33+3)m=-2(33+3).∴.m=-2. (-√3)=-3： 2.解：(1)2 当“口”表示“÷”时， (2)6-√5 w5+√3 (√27-√12)÷(-√3)=(33-23)÷(-3)=√3÷ 【解析】由题意，得 1 6+5 (-√3)=-1. 6-5 =√6-5， -3<-1<0<23, (6+5)(6-5) .当“口”表示“×”时，算式的结果最小，这个最小结果 √5+√3 5+3 是-3. 5-√3(5-√3)(5+√3) 2 专项突破三勾股定理与数学思想 (3) 1+1+1 1 1.解：√13+2>√17.过程如下：如图， 1+33+55+7√2025+√/2027 由勾股定理，得DE=√2+32=√13， v2j小=，53,75 2 2 EF=√12+12=√2，DF=√/42+12=√I7 2027,V2025）x(v2027+1)-V2027-1 :在△DEF中，DE+EF>DF, 2 2 .√/13+√2>/17. （v2027+1)=2×(2027-1)=1013. 2解：()大正方形的面积=e=4×了6+(6~a)只. 2 3.C4.2 5.-√2-436.32-2 整理，得c2=a2+b2 (2)大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 7.解：(1)根据题中的新定义，得原式=2×8+2-2 .a2+b2=c2=13,(b-a)2=1. 2 .a2+b2-2ab=1.∴.2ab=12. 4+2-√2=4. .(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25, (2)根据题中的新定义，得2※6=√2×6 2-2 即(a+b)2的值为25. 3.解：(1)16,5【解析】：正方形A,B,C,D的面积分别 23+2-√2=23，.(2※√6)※m=23※m=23m+ 是6,10,3,6， -2aa2号）-- .S正方形E=S正方形A+S正方形B=6+10=16, S正方形r=S正方形c+S正方形知=3+6=9. .S正方形c=S正方形E+S正方形r=16+9=25. 7.解：(1)∠A=90°，AB=12,BC=20, .正方形G的边长是5. .AC=√BC2-AB2=√202-122=16 (2).正方形ACDE,正方形BCGF的面积分别为36,9， (2)设AP=x,则BP=CP=16-x. .AC=CD=DE=EA=6,BC=3,∠EAC=∠D=90° ∠A=90°，.AB2+AP2=BP2 ∴.在Rt△BDE中，BE=√DE+BD=√6+(6+3)2=3√13. .122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. :四边形ABNM是正方形， .AP的长为3.5. ∴.AB=AM,∠BAM=∠EAC=90°. 8.解：(1)△BCH是直角三角形.理由如下： ∴.∠EAC+∠CAB=∠BAM+∠CAB, 在△ACH中，CH+AP=2+12=5,AC2=(5)2=5, 即∠EAB=∠CAM. ∴.CH+AH=AC2.∴.△ACH是直角三角形，且∠CHA=90°. AE=AC. ,.∠CHB=9O°.∴.△BCH是直角三角形 在△ABE和△AMC中，{∠EAB=∠CAM, (2)设BC=x,则BH=x-1. AB=AM. △BCH是直角三角形，.C+BH=BC2, .△ABE≌△AMC(SAS)..CM=EB=3√13. 即2+(-)=，解得=弓即0C=千米 4.解：CD⊥AB,BC=15,CD=12, .BD=√BC2-CD2=152-122=9. 3b-9≥0， 9.解：根据题意，得 解得b=3. 3-b≥0. 设AB=AC=x,则AD=x-9. :在Rt△ADC中，AD+CD2=AC2, ∴.a=6+3×3-9-2√3-3=6. (-9-12=f,解得：空即4C的长为号 当a为直角边长时，斜边长=√a2+b2=√6+32=35. .直角三角形的周长=6+3+35=9+35 5.解：将三角形纸片沿直线AD折叠，使点B落在斜边 当a为斜边长时，另一条直角边长=√a-b=√6-3=33. AC上，与点E重合，AB=6cm,BC=8cm, ∴.直角三角形的周长=6+3+33=9+33 .AE=AB=6cm,DE=BD,∠AED=∠B=90°， 综上所述，此直角三角形的周长为9+35或9+33. .在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√6+82=10(cm), 小斗总结… .CE=AC-AE=10-6=4(cm). 直接求三角形的边长问题一般借助勾股定理求值，但一定要 设BD=DE=xcm,则DC=BC-BD=(8-x)cm. 分清直角边和斜边，一旦问题没有明确直角边和斜边，那么就 .·∠DEC=180°-∠AED=90°， 要进行分类讨论. .在Rt△DEC中，x2+42=(8-x)2,解得x=3. 10.小斗提示：此题要分两种情况进行讨论：(1)当等腰三角形的顶 .DE的长度为3cm. 角是钝角时，腰上的高在三角形的外部；(2)当等腰三角形的顶 小斗总结 角是锐角时，腰上的高在三角形的内部 解决折叠问题时，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折 解：分两种情况： 叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择 (1)当顶角是钝角时，如图1. 适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运 用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数 :在Rt△AC0中，0A=√AC2-0C=√52-32=4， .∴.0B=AB+0A=5+4=9 6.解：设OA=OB=x尺. :CE=BD=5尺，AC=1尺， .在Rt△BC0中，BC=√0B2+0C=√9+32=√90=310. .AE=CE-AC=5-1=4(尺)，0E=0A-AE=(x-4)尺. 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，BE=10尺 根据勾股定理，得x2=(x-4)2+102,解得x=14.5. 则秋千绳索的长度为14.5尺. 图1 图2 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·71·