第24章 数据的分析 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十四章考点梳理与复习 考点一 众数与平均数 【训练目的】理解众数及平均数，会求众数、算术平均 数和加权平均数，并能解决相关的实际问题 1.班会课上，小明给大家分享“节约第一，合理消费”的主题故事， 并调查了五名同学一周的零花钱使用情况，分别为30,35,30,40， 20(单位：元).这组数据的众数是 A.20元 B.30元 C.35元 D.40元 2.学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购 即 份).某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平 均数是 学校食堂某天盒饭销售情况统计图 18元 15元 50% 40% 20 A.16元 B.17元 C.18元 D.19元 主题情境 玩转平均数请完成第3~4题 3.小斗在计算五个数的平均数时，只计算了前四个数的平均数，这 拟 四个数的平均数比正确结果小1.若第五个数为6，则正确的平均 数为 4.小斗给出了五个数据：2,2，x,5,8,其平均数是4，现增加了一个数 据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是 5.新素养〔几何直观〕某班级课堂从“理解”“归 理解 纳”“运用”“综合”“参与”等五方面按2：2： 参与 归纳 1:2:3对学生学习过程进行课堂评价.某同 10 学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学 生的课堂评价成绩为 运用 综合 蜜 6.已知A,B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中 学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为 90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分 (1)求A地考生的数学平均分； (2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分 为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考 生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明. 考点二离差平方和、方差和标准差 【训练目的】理解离差平方和、方差和标准差，并能进 行相关的计算。 7.为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从 甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，如表反映的是 各小组平时成绩的平均数x(单位：分)及方差s2,如果要选出一个 成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是() 甲小组乙小组丙小组丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1.6 A.甲小组 B.乙小组 C.丙小组 D.丁小组 8.某学校举办了主题为“创新争先，自立自强”科技知识竞赛活动 八年级一班从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加活动，两位同 学的5次成绩如图所示，平均成绩相等，从稳定性考虑，应该选择 的同学是 成绩 120↑-- 100 100 .90 100 一甲 85 80 90 乙 8080 80 60 60 40 S 0 3 45次数 A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.不确定 9.一组数据：3,3,4,5,5的离差平方和是 10.小明利用公式=[(1-)2+(2-x)2+(3-)2+(4-x)2+(5-)2] 2 计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 11.三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的 得分情况如图所示.观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱 子的高度”总是1,2,3,4，但是它们排列的顺序不同，导致了平 均数和方差发生了变化.在这三组中，方差最小的是第 组 +人数 ↑人数 4 2 0 23得分分 0 2 3得分分 第一组 第二组 ↑人数 0 0 3得分分 第三组 12.甲、乙两位同学为了参加“数学学科素养”选拔赛，进行了5次测 试，甲同学的成绩平均数为60，方差是200：乙同学的五次测试 成绩分别为70,50,70,40,70.请你求出乙同学成绩的平均数和 方差，并判断甲、乙两位同学谁的成绩更稳定. 13.某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手 参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛， 他们的原始成绩（单位：m)如下表： 第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次 甲 7.3 7.1 7.3 7.5 7.2 7.3 7.5 7.2 乙 7.3 7.5 7.5 6.7 6.5 7.8 7.5 7.6 两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表： 平均数（单位：m) 方差 甲 a 6 乙 7.3 0.1825 根据图表信息回答下列问题： (1)求出a,b的值； (2)这两名同学中 的成绩更为稳定：（填“甲”或“乙”） (3)若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，该校为了获取跳 高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由。 考点三中位数与箱线图 【训练目的】理解中位数、四分位数及箱线图，并能进 行有关的计算和应用. 14.数学课上，老师布置了10道选择题作为达标练习，玲玲将全班 同学的解题情况绘成如图所示的统计图，根据统计图可知对题 数量的中位数是 () ↑对题人数 30- 723 18 20 10 9 10 对题数量 A.18 B.23 C.8 D.9 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·33· 15.为将中华优秀传统文化融入学校教育教学，积极引导青少年从 小学习中华优秀传统文化知识，培养审美鉴赏和创造能力，筑牢 中华优秀传统文化根基，某学校开展中小学生中华优秀传统文 化知识竞赛，并对八年级一班52名学生的竞赛成绩进行了调 查，统计结果如表所示 分数 90 92 94 96 98 100 人数 4 10 12 13 9 4 (1)小斗想知道这组数据的50%分位数，正确的答案是 (2)小明计算了这组数据的下四分位数，他的答案是 (3)小泰计算了这组数据的上四分位数，他的答案是98，这个答 案 .（填“正确”或“错误”) 16.某老师绘制了一次数学小测验中甲、分数 乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如 100 90 图)，根据该图判断下列说法错误的是 70 60 ①三个班级中，甲班分数的方差最小： 50 ②三个班级中，乙班分数的波动最大； 甲乙丙班级 ③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数； ④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数 最高 17.如表是13一17岁未成年人的身高（单位：cm)的主要百分位数， 小明今年16岁，他的身高为176cm,他所在城市男性同龄人约 有6.4万人.试估计小明的身高至少高于他所在城市多少男性 同龄人 1% 5% 10% 25% 50% 75% 90% 95% 99% 分位数分位数分位数 分位数分位数分位数分位数分位数分位数 13 男141 147 151 157 164 169 174 177 182 15岁 143 147 150 153 157 161 165 167 171 16 155 160 163 167 171 175 179 181 186 17岁 147 150 152 155 159 163 166 169 172 18.某医院记录了两种药物治疗某种疾病患者的康复时间（单位： 天)，并绘制箱线图如下，试根据图中信息对两种药物加以比较， 天数 654 12 4 2 药物甲 药物乙 ·34· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 19.生长素是人类最早发现的植物激素，它是由色氨酸经过一系列 反应转变而来的，对植物的生长、发育具有多种调节作用.某生 物兴趣小组为研究某种生长素对植物茎伸长生长的作用，利用 豌豆苗进行了相关实验，取10株长势相近的豌豆苗，分别使用 5mL的生长素，三天后将每一株豌豆苗的高度记录下来，整理并 绘制成如下统计图.请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这10株豌豆苗使用生长素三天后高度的众数为 cm, 中位数为 cm; (2)请计算这10株豌豆苗使用生长素三天后的平均高度： (3)现有200株豌豆苗与这10株使用生长素之前的长势相近， 若给这200株豌豆苗均使用5mL的生长素，请你估计三天 后高度为30cm的有多少株 ↑数量株 4 1 0 2022242530高度1cm 考点四收益最大问题 【训练目的】综合利用数据分析问题并做出决策， 20.【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这 组数据分为两部分，依次记为S和T.用a和b分别表示S和T 的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，大于或等于b 的占25%.这样a,m,b把所有数据分成个数相等的四部分，称 为四分位数. 【应用】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98； 乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95. (1)求甲组数据的四分位数a,m,b: (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线 图，绘制甲组的箱线图； 100 93 80 70 60 甲组 乙组 【理解】(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩 的看法 21.从甲、乙两种饮料中各抽取10盒250毫升的果汁饮料，检查其 中的维生素C的含量，所得数据（单位：毫克）如下 甲：120,123,119,121,122,124,119,122,121,119； 乙：121,119,124,119,123,124,123,122,123,122. (1)比较两种饮料中哪种维生素C的含量高： (2)根据这些数据信息，你还能作出什么判断？ 22.某校八年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的 初赛成绩如下： ↑人数 安 8 6 6 4 3-- 2 0 2 4 6 810成绩分 (1)学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她 分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选.你认为小芳同 学的分析正确吗？并说明理由： (2)评委发现成绩第7名有小丽和小英两人，提出让这两名同学 进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，下表是五位评委对两 名同学加赛的打分情况及分析后的数据： 评委1评委2评委3评委4评委5平均数众数中位数方差 密 小丽 4 8 8 7 8 8 8 m 小英 > 6.9 > > 7.1 > n 0.004 ①表格中m= ,n= ②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？.直线AB的解析式为y=-x+3. 第二十四章考点梳理与复习 (2)设点C的坐标为(m,-m+3),其中0≤m≤3， 1.B2.B 则5x方×3x(-m+3)=3m=1 3.24.45.8 6.解：(1)根据题意，得A地考生的数学平均分为 ∴.-m+3=-1+3=2..此时点C的坐标为(1,2). 1 (3)存在点P,使得△COP是等腰三角形 5000x(90x3000+80x2000)=86(分). C(1,2),∴.0C=√1+22=5. (2)不能.举例如下： 当0C=0P时，点P的坐标为(-√5,0)或(5,0)； 假如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生 当OC=CP时，点P的坐标为(2,0)； 3000人，则B地考生的数学平均分为 当OP=CP时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D,则 1 0D=1,CD=2 4000×(94×1000+82×3000)=85(分). 设OP=t,则CP=t,DP=t-1. 因为85<86， 在Rt△CDP中，·CD2+DP2=CP2 所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数 22+(-1)2=2,解得1=5 学平均分高。 2 7.C8.B 点P的坐标为(30)】 9.4【解析】这组数据的平均数是4，离差平方和是 综上可知，在x轴上存在一点P,使得△COP是等腰三角 (3-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(5-4)2=4. 形，点P的坐标为(5,0).(5,0)，(2,0)或(30 10.√211.二 12.解：乙同学的成绩平均数为 选做题 (0,5)【解析】如图，过点A作AF⊥x轴于点F,过点B作 5×(70+50+70+40+70)=60, BE⊥x轴于点E,则∠AF0=∠OEB=90°， 方差为写×[(70-60)2+(50-60)2+(70-60)2+ ∴.∠AOF+∠OAF=90°. .A(1,3),∴.OF=1,AF=3. D (40-60)2+(70-60)2]=160. ,四边形AOBC是正方形， 因为甲、乙两位同学的平均数相同，甲同学的方差大于 ∴.∠A0B=90°，OA=0B. 0 乙同学的方差，所以乙同学的成绩更稳定. ∴.∠AOF+∠BOE=90°.∴.∠OAF=∠BOE. ∠AFO=LOEB, 13解：（①根据题意，得a专×(.3×3+11+7.5x2+7,20 在△AOF和△OBE中，{∠OAF=∠BOE, 2)=7.3, OA=BO. 6=g×3x7.3-73)2+(.1-73)+2x75-73)2+ ∴.△AOF≌△OBE(AAS). 2×(7.2-7.3)2]=0.0175. .∴.BE=OF=1,OE=AF=3. ∴.B(3,-1).设直线l的解析式为y=x+b, (2)甲 将A(1,3),B(3,-1)的坐标分别代入， (3)应选择甲同学.理由如下： 符+63，解得 k=-2, 甲同学的成绩方差较小，说明他的成绩比较稳定，故选 3k+b=-1, b=5. 择甲同学 .直线1的解析式为y=-2x+5. 14.D 令x=0,得y=5, 15.解：(1)95【解析】因为一共有52名学生的竞赛成绩， ∴.点D的坐标为(0,5) 成绩从低到高排列后第26个和第27个成绩分别是94 和96，所以这组数据的50%分位数是94+96=95. 2 200×2三40（株），所以估计三天后高度为30cm的有 (2)92【解析】前一半数据的中位数为整组数据的下 40株. 四分位数.故下四分位数是92+92 92 20.解：(1)把甲组的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89， 2 (3)错误【解析】后一半数据的中位数为整组数据的 91,92,96,98,100,故m 89+91=90,a=70,b=96. 上四分位数.故上四分位数是96+98 2 97.所以小泰的 (2)绘制甲组的箱线图如图， 100 答案错误」 96 m 16.③【解析】观察题图可知，甲班的最大值与最小值的 80 差最小，乙班的最大值与最小值的差最大，且三个班的 70 中位数相差不大，由此可判断甲班分数的方差最小，乙 60 班分数的波动最大；观察题图可知，丙班的中位数大于 甲组 乙组 80,由此可判断丙班得分高于80的学生人数不少于得 (3)甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中.（答案不唯 分低于80的学生人数；若每个班有42个学生，则第11 一) 名的成绩为上四分位数，观察题图可知，丙班的上四分 21.解：(1)利用四分位数、箱线图进行分析： 位数最大.综上，①②④说法正确，③说法错误 最小值、四分位数和最大值 饮料 17.解：从题表中可以得出，小明的身高介于75%分位数和 最小值m2s mso m5最大值 90%分位数之间，说明至少有75%的男性同龄人身高低 甲 119 119 121 122 124 119 121 122.5 123 124 于他，而他所在城市男性同龄人约有6.4万人，6.4× 75%=4.8(万人)，所以可以估计小明的身高至少高于 维生素C/毫克 125 他所在城市约4.8万男性同龄人. 124 18.解：药物甲：最小值为3天，下四分位数为5天，中位数 121 120 为7天，上四分位数为9天，最大值为12天； 119 118 药物乙：最小值为4天，下四分位数为6天，中位数为8 117 116 天，上四分位数为10天，最大值为15天. i15 甲 乙 药物甲的中位数7天小于药物乙的8天，说明药物甲 基于四分位数或箱线图，可以发现乙的中位数比甲的 让患者康复的中间时间更短 上四分位数大，下四分位数与甲的中位数相等，由此可 药物甲的四分位距9-5=4（天），药物乙的四分位距 判断出乙种饮料中维生素C的含量高. 10-6=4(天)，两者离散程度相同，但药物乙的整体康 (2)甲的最小值与下四分位数相等，甲、乙的最大值相 复时间相对较长，且最大值15天大于药物甲的12天， 等，由此可判断甲相对稳定. 说明药物乙的康复时间可能更不稳定。 22.解：(1)小芳同学的分析不正确.理由如下： 19.解：(1)2525 根据统计图可知，确定比小芳成绩高的只有3人，成绩 (2)根据加权平均数的公式计算， 在6一8分的虽然有6人，但不明确比6.5分高的人 可得20x1+2×1+24X2+25×4+30x2-=25(cm）, 数，所以小芳同学的分析不正确。 10 所以这10株豌豆苗使用生长素三天后的平均高度为 (2)247【解折1m=5×灯(4-7)+(7-7)2+3× 25cm. (8-7)2]=2.4,n=7. (3)用总数量乘样本中高度为30cm所占比例可得 ②选择小英参加更合适.理由如下： 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·69… 因为两人成绩的平均数相等，而小英成绩的方差小于 9.85mm,中位数为9.95mm,上四分位数为10.05mm, 小丽，所以小英成绩更加稳定 最大值为10.3mm.型号A的中位数10.0mm大于型号 第二十四章学业水平测试 B的中位数9.95mm,说明型号A零件直径的中间水平 1.A2.B3.A4.A5.D6.D7.A8.B9.D 更大.型号A的四分位距=10.1-9.9=0.2(mm),型号B 10.C【解析】甲、乙的得分（单位：分）从小到大排列如 的四分位距=10.05-9.85=0.2(mm),离散程度相同， 下：甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3；乙：8.1,8.5,8.6， 但型号B的最小值更小，最大值更大，说明型号B零件 8.6,8.7,9.1,所以去掉最高分和最低分可得甲的中位 直径的波动范围更大。 数为8.9分，乙的中位数为8.6分.故A正确；甲得分 20.解：(1)22 的最大值与最小值的差为9.3-7.0=2.3（分），乙得分 (2)路线A所用时间的平均数为40+22+21+19+18=24 的最大值与最小值的差为9.1-8.1=1（分）.故B正 5 确；甲得分的上四分位数为9.2分，乙得分的上四分位 (mim),方差为写×[(40-24)2+(22-24)2+(21-24)2+ 数为8.7分.故C错误；由题图可以看出甲得分的波动 比乙大，所以甲得分的方差大于乙得分的方差.故D (19-24)2+(18-24)2]=66. 正确. 路线B所用时间的平均数为30+27+26+25+27 11.1612.甲13.8714.2015.5 16.7.2或6.96【解析】这组数据按从小到大排列为2,4， 27(min),方差为写×[(30-27)2+(27-27)2+ a,5,10. (26-27)2+(25-27)2+(27-27)2]=2.8. 因为a为整数，所以a=4或a=5. 因为66>2.8，所以路线B用时更稳定 当a=4时，数据的平均数为2+4+4+5+10 =5 5 (3)由用时的平均数可知，路线A平均用时更少，所以 建议选择路线A. 此时=[(2-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(5-52+(10- 21.解：(1)91.5100【解析】机器人技能测试成绩从小 5)2]=7.2; 到大排序为88,89,89,90,91,92,95,95,95,96， 当a=5时，数据的平均数为2+4+5+5+10=5.2， 所以中位数b= 91+92 5 2 =91.5. 此时2=写[(2-5.22+(4-52)2+(5-52)2+ 因为人工技能测试成绩中100出现的次数最多， 所以众数c=100. (5-5.2)2+(10-5.2)2]=6.96. 综上，这组数据的方差为7.2或6.96 (2)a=100x3+82+75+87+93+71+83+99 89 10 17.解：甲的最终成绩是(95×4+75×4+90×2)÷(4+4+2)= (3)因为机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较 860÷10=86(分)， 小，所以可以推断机器人操作在技能方面更有优势. 乙的最终成绩是(85×4+80×4+110×2)÷(4+4+2)= 22.解：(1)B组的平均成绩为 880÷10=88(分). 1.5-2+10-8.3-10-8.8+7.8+15.7 +211 因为88>86，所以应选拔乙. 8 18.解：由扇形统计图可得平均数为1×3%+2×4%+3× ≈0.74+211=211.74(cm), 51%+4×32%+5×10%=3.42(分)，中位数为3分，众数 G组的平均成绩为 为3分 1,3-3.5-2+8.4-5.7-9.8+6.9-3.7+184 19.解：型号A:最小值为9.8mm,下四分位数为9.9mm, 8 中位数为10.0mm,上四分位数为10.1mm,最大值为 ≈0.24+184=184.24(cm). 10.2mm;型号B:最小值为9.7mm,下四分位数为 (2)方案：根据B组，G组的优秀率，B组中的8名男生， 。70· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 达到r优秀”的有4名，优秀率为8×10%=50%，G组中9解：5-2，产=(5-2》”=5-45+4=9-4,5. .(9+45)x2-(5+2)x+4=(9+4W5)(9-45)-(5+ 的8名女生，达到“优秀”的有3名，优秀率为3×100%= 8 2)(5-2)+4=81-80-(5-4)+4=1-1+4=4. 37.5%.因此B组的学生表现较好. 选做题 10据：(0a日5， 解：(1)不能，因为平均收人和最高收入相差太大，说明高 收入的员工占极少数，现在已经知道至少有一个人的年收 入为200万元，那么其他员工的年收人之和为300万元， 每人平均收入约为6.12万元 如果再有几个收入特别高的，那么初进公司的员工的收入 215+2=7 将会更低 (2)不能，要看中位数是多少 .a+=t√7. a (3)能，因为可以确定有75%的员工年收人在4.5万元以 1 1 (2)a-=√3，a+=±√7， 上，其中25%的员工年收入在9.5万元以上 a a (4)收人的中位数大约是45+9,5-=7（万元）. 2 。-(+)日）=7xa=tva 因为受年收入200万元这个极端值的影响，所以平均数比 11.-9【解析】.√-m2+√-n=3,m2≥0， 中位数高很多. .-m2≥0，-n≥0..m=0,且n≤0，√-n=3. 专项突破一二次根式化简求值的技巧 .-n=9,解得n=-9.∴.m+n=0-9=-9. 1.B2.B 12.解：由二次根式的非负性，得b-4≥0,4-b≥0.解得b= 3.A【解析】由条件可知当x<2时，y=2-x-x+3=5-2x, 4,则a=46=4×4=16. 即当x=1时，y=5-2×1=3;当x≥2时，y=x-2-x+3=1, 即当x分别取2,3，…，2026时，y的值均为1，.当x分 原式=416 2+4=44 4=4. √164 44 别取1,2,3，…，2026时，所对应的y值的总和是3+ 2025×1=2028. 13,解：根据题意，得0-26+4=0 （a+b-5=0, 解得2， (b=3, 4.4 5.解：根据数轴可得a<-1,0<b<1,∴.a+b<0. 4a-②4 4=4W2-2=42-8=42-22=25. .原式=|al-Ib1-|a+b1=-a-b+a+b=0. 14.解：(1)由题意知x-5≥0，解得x≥5. 6.A 7.(1)46-122(2)-122 (2):丙是最筒=次根式，且可与，/合并， 小斗总结… (1)当题目出现平方差形式的计算式时，如果先利用完全平方 I√3 √3=3-5=3.x=8 公式计算比较麻烦，可逆用平方差公式转化为乘积的形式计 算；(2)当题目中出现两个三项式的乘积的形式时，一般将相 =x3=3 ·原式=3：3 同的数看作m,相反的数看作n,利用平方差公式(m+n)(m n)=m2-n2计算 15解：(1)由-3≥0， 得x=3, 3-x≥0， 8.解：(1)原式=3(6-2)(6+2)=3×(6-4)=3×2=6. (2)原式=3+25+1-(9-2)=3+25+1-7=25-3. >2.1-y<0.111 y-1y-1