第20章 勾股定理 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

(3)由题意，得剩余木板的长为3v2dm,宽为4√2- ∴.CF=BC-BF=10-6=4. 3√2=√2(dm). 由折叠，得EF=DE, 因为1×4<3√2<1×5,0.7×3>√2>0.7×2， 设CE=xcm,则EF=DE=(8-x)cm. 所以最多能截出2×4=8（根）这样的木条 在Rt△EFC中，由勾股定理， 得CE2+CF2=EF2,x2+42=(8-x)2,解得x=3, 5，得= h h /60 21.解：(1)把h=60m代入t= = 即EC的长为3cm. /12=23(s). 10.D 答：物体从60m的高空落到地面的时间为2√3s. 11.72【解析】如图，在Rt△AEF中， (2)不正确.理由如下： 根据勾股定理，得 /120 AE=√EF2-AF2=√J132-122=5, 当h=120m时，t= 5 =√24=26(s). ∴.AD=12-5=7..CD=AD=7. 因为26≠2×23，所以小明的说法不正确. 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√72+7=7√2. （3)当=5：时，5=质解得=125m 12.34【解析】由题意，得AH=BE,EH=GH=2.AE+ BE=AH+EH+BE=2AH+2=8,..AH=3...AE=5,BE= 所以这个鸡蛋在下落过程中所带能量为10×0.06× 3.∴.大正方形ABCD的面积=AB2=AE2+BE2=34. 125=75(J). 1B.(1)解：San(4c+Dr)·CF=2(6+6a)b 1 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人 22.解：(1)这里m=6,n=5.由于5+1=6,5×1=5， b2 2 (5)2+12=6,5×1=√5， (2)证明：如图，连接BD.由题意知BF=b-a. 所以W6-25=√(5)2-2x/5x1+12=√(5-1)2=√5-1. (2)√3-22+√5-26+√7-212+…+ :S四边A形BED=SABE+SAADE=28 √21-2√110=√(2-1)2+√(3-2)2+ S四边A形BD=SA4DB+SADER三2C2+ +2a(b-a), √（√4-3）2+…+√（√1I-√10）2=2-1+5-√2+ t2(6-a). √4-3+…+/1I-√10=-1+√1I, .a2+b2=c2. 第二十章考点梳理与复习 14.C15.B16.C 1.C2.D3.B4.D5.3 17.C小斗提示：当牙刷与杯底垂直时，h最大.当牙刷与杯底直 6.(1)225(2)222√27.√41 径、杯高构成直角三角形时，h最小. 8.解：CD⊥AB,∴.∠CDB=∠CDA=90° 18.A19.C .在Rt△BDC中，BC=√CD2+BD2=√122+92=15， 20.能小斗提示：只要求出门框对角线的长，再与已知薄木板的 在Rt△ADC中，AD=√AC2-CD2=√202-122=16. 宽相比较即可. .AB=AD+BD=16+9=25. 【解析】如图，连接AC,则AC与AB,BC 9.解：(1)：四边形ABCD是长方形， 构成直角三角形.在Rt△ABC中，根据 .CD=AB=8,AD=BC=10,∠B=∠C=90 勾股定理，得AC=√AB2+BC2 由折叠，得AF=AD=10. √12+22=√5.(V5)2=5,2.22=4.84, m 在Rt△ABF中，AB=8,AF=10, ∴.√5>2.2，即AC>2.2.故薄木板能从门框内通过. .BF=√AF2-AB2=√102-82=6， 21.4小斗分析：根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出腰 即BF的长为6cm. 长，再用两腰长之和减去AB的长即可. (2)由(1)知，BF=6, 【解析】由题意，得AB=16cm,CD=6cm,△ADB为等 ·58· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 腰三角形，CD⊥AB. .a=m2-n2=42-12=15,b=2mn=2×4×1=8,c=m2+ yC为AB的中点，4C=号AB=8mD= n2=42+12=17. .对应的勾股数为(15,8,17). √AC2+CD2=√82+62=10(cm)..橡皮筋被拉长了 (2)根据题意，得m2-n2=5,2mn=12,m2+n2=13, AD+BD-AB=2AD-AB=20-16=4(cm). .∴.mn=6. 22.A23.D24.-1 ,m>n,m,n都是正整数， 25.解：如图，在数轴上找出表示0与3的点，分别记为点A .m=6,n=1或m=3,n=2. 与点C,作BC⊥AC,且BC=2,以点A为圆心，AB长为 当m=6,n=1时，m2-n2≠5，不符合题意； 半径画弧，交数轴负半轴于点D,则点D表示的数即为 当m=3,n=2时，m2-n2=5,m2+n2=13,符合题意 -√13.BC⊥AC,.AB=√AC+BC=√32+22=√3， .m=3,n=2. AD=AB=√I3.点D位于点A的左侧，.点D表示 第二十章学业水平测试 的数是-√13. 1.B2.C3.C4.B 5.A【解析】如图，过点B作BC⊥AC于点C.在Rt△ABC 中，AC=7-2+1=6(cm),BC=4+4=8(cm), 与时个支：古 .AB=√AC+BC=√6+82=10(cm). 单位：cm .7+4+2+4+1-10=8(cm). 26.C27.D28.A 4 .如此爬行比从点A直接爬到点B 29.小斗提示：将不规则的四边形补形成规则的特殊三角形，再利用 多爬行8cm. 特殊三角形面积的差求解。 6.B小斗分析：连接AD,设上方网格线左端点为E,先由作法得出 解：如图，连接AC. AD的长，再在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的长，最后由 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102 CD=CE-DE即可推出结果. 在△ABC中，AB2=262,BC2=242, 7.C 而102+242=262，即AC+BC2=AB2, 8.A【解析】52+122=169=132，.△ABC是直角三角 .∴.∠ACB=90°. ACBCA CD 形，且∠4CB=90心.由图可知，月移事分的面教=)× =×10x242×8x6=96(m). D 答：该空地的面积为96m2. 18m+30-169 7=30. 30.解：如图，连接AC. 9.D【解析】观察表格中的数，得a2+b2=c2,且c=b+2,则 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+ a2+b2=(b+2)2.当a=24时，242+b2=(b+2)2,解得b= 42=52. 143,.c=143+2=145.∴.b+c=143+145=288. 在△CAD中，AD2=132,CD2=122, 10.D【解析】①如图1，沿CC1展开，连接MN, 而122+52=132， 则MN=√B,N2+B,M=√22+6=2W/10(cm); 即AC2+CD2=AD2,∴.∠DCA=90°. D B B N B Saw=Sac+ac=2Bc,AB+2CD:AC 74x37×12x5=36,36x150=540(元. D1 M2C1 4 B1 D M2C2H 图1 图2 答：将这块空地全部绿化需要购买5400元的这种 ②如图2，沿B,C1展开，过点N作NH⊥DC1于点H, 花草 连接MW,则MN=√MH+W=√42+42=4√2(cm). 31.解：(1)m=4,n=1, 42<2√10，.最短路线长是42cm 小斗总结 5+8=13.AB2+AD2=AC2..线段AB,AD,AC能构成 解决几何体表面上两点间的最短路线问题的方法：将几何体表面 直角三角形 展开，即将立体几何问题转化为平面几何问题，然后利用“两点之 19.解：(1)a2+b2=c2 间，线段最短”去确定路线，最后利用勾股定理计算.它运用的是 化曲为直的思想方法 证明：由正方形的面积公式可得(a+6)2=行×4+已， 11.2.412.1013.√5+114.45° 整理，得a2+b2=c2. 15.√2m【解析】在Rt△AB'C中，B'C=3V2m,AB'=AB= (2)如图，连接AC. S甲=30，S2=16, 6m,.AC'=√AB2-B'C2=√62-(32)2=32(m). .AC2=AB2+BC2=30+16=46. 在Rt△ABC中，BC=2m,AB=6m,.AC=√AB2-BC2= .ST=AD2=AC2-CD2=46-17=29. √6-22=42(m).∴.CC=AC-AC=42-32=√2(m). 20.解：(1)当△ABC为钝角三角形且∠C为饨角时，a2+b2<c2. 16.60【解析】.AB=AC,.∠ABC=∠ACB. (2)如图，过点A作AE⊥CB,交BC的延长线于点E. BF∥AC,∴.∠ACB=∠CBF. 设CE=y,则BE=a+y. .∠ABC=∠CBF,即BC平分∠ABF 在Rt△AEC中，AE2=b2-y2, 如图，过点C分别作CM⊥AB,CN⊥BF,垂足分别 在Rt△AEB中，AE2=c2-(a+y)2, 为M,N,则CM=CN. .b2-y2=c2-(a+y)2. 1 整理，得a2+b2=c2-2ay. SAACE=2AE.CM, a>0,y>0,2ay>0,∴.a2+b2<c2. Sar-28.CN,且Bf=A他， .当△ABC为钝角三角形且LC为钝角时，a2+b2<c2. 21.解：(1)AB⊥BC.理由如下： ∴.S△CBr=S△ACE,.Sm边形EBFC=SACBF+SACRE=SAACE+ 由题意可知AB=160m,AC=200m, S△cBE=S△caM·AC=13,.AB=13.设AM=x,则BM= 点C在点B正东方向的120m处，即BC=120m. 13-x.由勾股定理，得CM=AC2-AM=BC2-BM. AB2+BC2=1602+1202=2002=AC2, ·132-=102-(13-x)2,解得x=19 .∠ABC=90°，即AB⊥BC. 13 (2)由题意可知BC⊥CD,CD=50m.在Rt△BCD中，由 Sca4=2ABCM=60, 勾股定理，得BD=√BC+CD产=√1202+50=130(m), ∴.AB+BD=160+130=290(m).而AC+CD=200+50= .四边形EBFC的面积为60 250(m).:290>250,∴.AB+BD>AC+CD. 17.解：(1)AD为边BC上的高线，.∠ADB=90° ∴小亮跑的路线更短！ 在Rt△ABD中，∠B=45°，.∠BAD=45°..DB=AD. 22.解：(1)√2 .AD2+BD2=AB2,AB=52,..BD=AD=5. (2)PA2+PB2=PQ2.理由如下： (2)AD为边BC上的高线，∴.∠ADC=90°. 如图，连接BQ.由旋转，得∠PCQ=90°，PC=CQ. 在Rt△ADC中，AD=5,AC=13, .·∠ACB=90° .DC=√AC2-AD2=√132-5=12. ∴.∠ACB=∠PCQ: ..BC=BD+DC=5+12=17. ,∴.∠ACB+∠BCP=∠PCQ+∠BCP, 18.解：(1)AB=√12+2=√5，AC=√32+22=√13，AD= 即∠ACP=∠BCQ. ·△ABC是等腰直角三角形， √22+22=22，AE=√/22+4=2W5. .AC=BC,∠CAB=∠ABC=45 (2)存在.AB,AC,AD可以构成直角三角形.理由如下： (AC=BC, 由(1)的结果，可得AB2=(√5)2=5，AC2=(√13)2= 在△ACP和△BCQ中，{∠ACP=∠BCQ, 13,AD2=(2√2)2=8，AE2=(2√5)2=20..AB2+AD2= CP=CQ, ∴.△ACP≌△BCQ(SAS). ∴.AP=BQ,∠CBQ=∠CAP=45° 综上所述，当SA心：S6m=1:3时，P0的长为5或 .∠PBQ=180°-（∠ABC+∠CBQ)=90 52 ..BQ2+PB2=PQ2,PA2+PB2=PQ2. 阶段性检测（一） ③)52或52【解析】分析可知，分三种情况芬论 1.B2.B3.B4.A5.D6.A7.C 8.B【解析】：a=2m,b=m2-1,d=m2+1,.a2+b2= ①当点P在线段AB上时，如图1，过，点C作CH⊥AB (2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+ 于点H. 1)2,d=(m2+1)2.a2+b2=d.a,b,d三个数能构成 :AC=BC,∠ACB=90°，AC=√10，.AB=√2AC=25. 勾股数 CHIA.CHI5 9.C【解析】设BC=x尺，则BA=BD=(x+1)尺. 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2,.（x+1)2=5+x2, SAwG SA=2AP.CH:2BP CH-1:3, 1 解得x=12,即BC=12尺. 10.D【解析】设AC=4x,则BC=3x.由勾股定理，得AB= B AP:BP=1:3...AP= √AC+BC=5x.△ABC的周长为12，∴.3x+4x+5x= 12,解得x=1.∴.AC=4,BC=3,AB=5.第1次操作后的 ∴.PH=AH-AP= 2CP=/PIP+C= 图形中所有正方形的面积和为32+42+32+42+52=25+ 50;第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为32+ 由旋转，得∠PCQ=90°，CP=CQ,.PQ=√2CP= 52 2 42+32+42+32+42+52=25×2+50;第3次操作后的图形 中所有正方形的面积和为32+42+32+42+32+42+32+ 42+52=25×3+50;….第10次操作后的图形中所有 正方形的面积和为25×10+50=300. 11.√/13或W5小斗分析：首先利用非负数的性质求得x=2,y三 图1 图2 3,然后对y=3进行分类讨论：3是直角边长和3是斜边长两种 ②当点P在AB的延长线上时，如图2. 情况. 显然SAACP>SARCP,故这种情况不合题意，舍去； 12.513.3 ③当，点P在BA的延长线上时，如图3，过点C作CH1 14.2√2-1【解析】小.把一块含45°角的直角三角尺放入 AB于点H. 由边长相等的小正方形组成的2×4的网格中，三角尺 三个顶，点均在格点上，且小正方形边长均为1，该三 角尺直角边的边长为√2+22=2√2，故结合图形可得 数轴上，点A所表示的数为2√2-1. :【解析】∠ACB=90°，AB=10,BC=8, 图3 .AC=√AB2-BC=√J102-82=6. 由①可知，AB=25,CH=AH=√5. CD⊥AB, C:CH13, .2 S AARC=AB·CD=AC·BC. AP:B即=1：3AP-B=5 .CD=AC BC_6x8_24 AB1051 .PH=AH+AP=25..CP=√P㎡+C=5. 在△BCD中，BD=VBC-CD-82-(T-号 由旋转，得∠PCQ=90°，CP=CQ,∴.PQ=√2CP=5V2. :将边BC沿CE折叠，使，点B的对应点B'落在CD的 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·59·第二十章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分）》 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则AB2-BC2的值为 A.4 B.16 C.20 D.25 2.已知△ABC的三边分别为a,b,c,有下列条件：①∠A=∠B-∠C:②a2=(b+c)(b-c);③a:b:c=1: 洲 2:3.其中能判断△ABC是直角三角形的条件有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是 ) B D b 5.如图，一只瓢虫在地图上从A点先向南爬7cm,又向东爬4cm,再向北爬2cm,又向东爬4cm,再向 救 南爬1cm到B点，如此爬行比从A点直接爬到B点多爬行 A.8 cm B.7 cm C.6 cm D.5 cm 北 单位：cm东 DC 4 12 2 4 13 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，以点A为圆心，AB长为半径画弧， 交最上方的网格线于点D,则CD的长为 ( 量 A.√5 B.3-√/5 C.√13 D.√13-3 7.新考法〔数学文化)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹 抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题如下：如图所示， 在△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10尺，BC=3尺，求AC的长.在这个问题中，AC的长为() A.4尺 BR D.5尺 8.如图，△ABC的三边长分别为5,12,13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为 A.30 B.24 C.60 D.60 13 9.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中， 挺 a 6 10 12 14 8 15 24 35 10 17 26 37 50 则当a=24时，b+c的值为 () A.162 B.200 C.242 D.288 10.新素养〔几何直观〕如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D,C,的中点M处，它到BB, 的中点N的最短路线长是 () D M C A.8 cm B.25 cm C.2√/10cm D.4√2cm 二、填空题（本题包括6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，长为3m的梯子靠在竖直墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m. A 1.8 012E34→ 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，正方形CBFG、正方形 ACHM、正方形ABDE的面积分别记为S1,S2,S3,若S3+S2-S1=20,则S2的值是 13.如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是1，AC=BC= BD=1,若以点A为圆心，AD长为半径画弧，与数轴交于点E(点E位于点A右侧)，则点E表示的 数为 14.如图，∠BAC=90°，AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA的度数为 1B' D 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，钓鱼竿AB的长为6m,露在水面上的鱼线BC长为2m.钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿 AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为32m,则CC'的长为 16.如图，在△ABC中，AB=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接 CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 三、解答题（本题包括6个小题，共52分） 17.（7分)如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=5√2，AC=13,AD为BC边上的高线. (1)计算BD的长； (2)计算BC的长. D 全程复习大考卷·数学·八年级下册 。7 18.(7分)如图是由边长相等的小正方形组成的4×3网格，每个小正方形的顶点称为格点.现有从格点 A出发的四条线段AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点上. (1)若每个小正方形的边长都是1，分别求出AB,AC,AD,AE的长度（结果可以保留根号）； (2)在AB,AC,AD,AE这四条线段中，是否存在三条线段，它们能构成直角三角形？如果存在，请指 出是哪三条线段，并说明理由. 19.(8分)甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状、大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为 a,b,斜边长为c),可以拼成如图1所示的正方形，并由此得出了关于a2,b2,c2的一个重要结论 (1)请你写出这一结论： ,并给出验证过程； (2)试用上述结论解决问题：如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以其四边为边向外作 正方形甲、乙、丙、丁，若S甲=30，S2=16,S丙=17，求“丁”的面积 甲 C丙 B乙 图1 图2 20.(8分)新考法〔拓展探究〕在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,如图1，若∠C=90°，则有a2+b2=c2.当 △ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2>c2,理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D.设CD= x,BD=a-x.在Rt△ADC中，AD2=b2-x2,在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2,∴.b2-x2=c2-(a-x)2,整 理，得a2+b2=c2+2ax.a>0,x>0,2ax>0,.a2+b2>c2..当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2,即小明 的猜想是正确的. (1)请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，即a2+b2与c2的大小关系； (2)请结合图3证明你猜想的结论是否正确. C C a C a 图1 图2 图3 ·8· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 21.(10分)新素材〔时事热点)2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日~21日在粤港 澳大湾区举行，健身运动的热潮席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着 公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点A到点D有两条路线，分别是A→B→D和 A→C→D.已知AB=160m,AC=200m,点C在点B正东方向的120m处，点D在点C正北方向的 50m处. (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路 线更短 北 22.(12分)已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P是直线AB上一动点，连接CP,将线段CP 绕点C逆时针旋转90°，得到线段CQ,连接PQ,探究并解决下列问题： (1)如图1，当CP⊥AB时，若AB=2,则PQ的长为 (2)如图2，若点P在AB的延长线上，请判断PA,PB,PQ之间的数量关系，并说明理由： (3)当S&APC:S△Pc=1:3,且AC长为√10时，请直接写出PQ的长. 图1 图2 备用图