第20章 勾股定理 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

@●● ●●0 八年级数学·下册 ●●● ●●● ●●● ●●● 第二十章学业质量评价 ●●● ●●0 ●●0 ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●0 题号 二 三 合计 ●●0 ●●● ●● 得分 ●●● ●●0 ●●0 ●● ●●0 一、选择题（每小题3分，共30分） ●● 1.下列长度的四组线段中，能构成直角三角形的是 A.1,2,3 B.3,4,5 C.5,8,10 D.7,12,13 2.一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边长为 A.12 B.16 C.18 D.20 尔 3.下列各组数据中，是勾股数的为 ( A.32,42,5 B.3,4,7 C.4,7,5,8.5D.8,15,17 4.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且(a十b)(a-b)= 2,则 () A.∠A是直角 B.∠B是直角 C.∠C是直角 D.△ABC不是直角三角形 5.如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A,在水塔的东南方 向18m处有一建筑工地B,在A,B间建一条笔直的水管，则水管 AB的长为 () A.40m B.45m C.30m D.35m 北 南 批 第5题图 第6题图 6.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三 角形，已知正方形A,B,C的面积依次为2,4,3，则正方形D的面积 为 () A.7 B.8 C.9 D.10 7.下面各三角形中，面积为无理数的是 2 P 第二十章第1页（共6页） 8.如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池正中央有一 根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它 的顶端恰好到达池边的水面，则这个芦苇的长度是 () A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺 第8题图 第9题图 第10题图 9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学 的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为α，较 短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25，则小正方形的边 长为 () A.9 B.6 C.4 D.3 10.如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在边 BC上的点E处，折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长 是 () A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2√3，则AC2+BC2的值 是 12.若三角形三边之比是2：√7：√3，则这个三角形中最大的角的度 数是 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=15,以点A为圆 心，AC长为半径画弧，交AB于点D,则BD= 14.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为 6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位 置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m,则BB的长为 第13题图 第14题图 第15题图 15.如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的点A沿纸箱表面爬到 点B,那么它爬行的最短路线长是 第二十章第2页（共6页） 三、解答题（共75分） 16.(6分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,AC=8,BC=5,DB=3, 求DC和AB的长 D 17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（一6,0）， (0,8),以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C,求 点C的坐标. 18.(6分)如图1的正方形是由4个全等的直角三角形拼成的，将这4 个直角三角形重新摆放，如图2.你能利用这两个图形得到勾股定 理吗？ 图1 图2 第二十章第3页（共6页） ⊙ 19.(8分)图1、图2中每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个 腰长是√2的等腰直角三角形；在图2中画出一条长度等于√13的 线段 图1 图2 20.(8分)已知线段a,b,c,且a,b满足|a-√48|十(b-√12)2=0. (1)求a,b的值； (2)若a,b,c是某直角三角形的三条边的长，求c的值. 21.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2,BC=4,CD= √80，AD=10,连接AC,求： (1)AC的长； (2)四边形ABCD的面积. 第二十章第4页（共6页） 22.(10分)在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故 渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P 在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事 故渔船P与救助船A相距120海里. (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； (2)若救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时 出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船 先到达 北 东 23.(11分)如图1所示的是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角 形拼成，用它可以证明勾股定理.大正方形的面积有两种求法： ①是边长为c的大正方形的面积，即c2,②是四个直角三角形与一 个小正方形的面积之和，即2ab×4十(b-a),从而得到等式c2 2ab×4十(b-a)产，化简得a2+6=c.这里用两种求大正方形面 积的方法表示同一个量，从而得到等式或方程的方法，我们称之为 “双求法”.现在，请你用“双求法”解决下列问题： (1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高， AC=3,BC=4,求CD的长； (2)如图3，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB=4,AC=5, BC=6,设BD=x,求x的值， D D 图1 图2 图3 第二十章第5页（共6页） 24.(12分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P,Q 分别是边AB,BC上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B 方向运动，且速度为1cm/s,点Q从点B开始沿B→>C方向运动， 且速度为2cm/s,它们同时出发，设出发的时间为ts. (1)当t=2时，求PQ的长； (2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形； (3)若点Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求 能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间. 第二十章第6页（共6页）√2.∴.a-2a+1=2..a2-2a=1..3a2-6a=3..3a2-6a-1=2.24.解：(1)> >=(2)a十b≥2ab.理由如下：.a≥0，b≥0，.(a-√b)2≥0.∴.a十b 2√ab≥0.∴.a十b≥2√ab.(3)设垂直于墙的边长为am,平行于墙的边长为bm, 则篱笆的长度为(2a十b)m,长方形的面积可表示为abm,由题意，得ab=200,∴.2ab =400,∴.2a十b≥2√/2ab=2×√/400=40.∴.篱笆的长度至少为40m. 第二十章学业质量评价 1.B2.D3.D4.A5.C6.C7.C8.C9.D10.B11.1212.90 13.914.2m15.√516.解：.CD⊥AB,.∴.∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△BCD 中，DC=√BC-BD=√/52-3=4.在Rt△ACD中，AD=√/AC-CD= √8-4=43，.AB=AD+DB=43+3.17.解：由题可知OA=6,OB=8, ∠AOB=90°，AC=AB..AB=√OA+OB=10..AC=10.∴.OC=AC-OA=4.. 点C的坐标为(4,0).18.解：能利用这两个图形得到勾股定理，理由如下：图1中的正 方形的面积=，图2中图形的面积=4×分b+(6一a),∴=Xab叶(6-a只.整 理得a2十b=c2.19.解：如图（答案不唯一）. 图1 20.解：(1)|a-√/48+(b-√12)2=0，.∴.a-/48=0,b-12=0..a=4√3，b =2√3.(2)分两种情况讨论：①当a,b为直角三角形的两条直角边时，∴.c= √a2+b2=√(4√3)2+(2√3)2=2√15；②当a为直角三角形的斜边时，.∴.c= √a-=√/(43)2-(23)2=6.综上所述，c的值为2√15或6.21.解：(1) ∠B=90°，∴.△ABC为直角三角形.又：AB=2,BC=4,∴.根据勾股定理，得AC= /AB2+BC=√22+42=2√5；(2).CD=W80,AD=10,∴.AD=102=100 CD2+AC=(80)2+(2√5)2=80+20=100..CD2+AC=AD2..△ACD为直 角三角形，且∠ACD=90,则S是m=S6c十S6m=7AB·BC+2AC·CD- 2×2X4+×25×80=4+20=24.故四边形ABCD的面积为24.22.解： (1)作PC⊥AB于C,则∠PCA=∠PCB=90°，由题意得：PA=120海里，∠A=30°， ∠BPC=45°.PC=2PA=60海里，△BCP是等腰直角三角形，.BC=PC=60 海里，PB=√PC十BC=60√2海里.答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之 间的距离为60，巨海里。(2)教助船A所用的时同为0=3（小时），教助船B所用 的时间为602-2V2(小时)，：3>22，“救助船B先到达.23.解：(1)在R 30 △ABC中，：∠ACB=90.∴AB=VAC+BC=5.:Sc=3×3X4=2X5X CD.CD-号，（2在R△ABD巾，AD=-=16-,在R△ADC中，AD =52-(6-x)2=-11十12x-x2,.16-x2=-11+12x-x2.解得x= 4·24.解：(1)当1=2时，BQ=2×2=4(cm),BP=AB-AP=8-2 9 ×1=6(cm).:∠B=90°，.PQ=√BQ+BP=√+6=2√13 (cm;(2)根据题意，得BQ=BP,即21=8-1，解得1=冬∴出发时 图1 间为氵s时，△PQB是等腰三角形.(3)分三种情况：①当CQ=BQ 时，如图1所示：则∠C=∠CBQ.:∠ABC=90°，∴.∠CBQ十∠ABQ= 90.“∠A+∠C=90∠A=∠ABQ.∴BQ=AQ=CQ=2AC 图2 ∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,∴.AC=√82+62=10(cm).∴.CQ =AQ=号AC=5cm.:BC+CQ=6+5=11(cm).t=11÷2=5.5(s):②当CQ= BC时，如图2所示：则BC+CQ=6+6=12(cm)..t=12÷2=6(s); ③当BC=BQ时，如图3所示：过点B作BE⊥AC于点E,则BE= AB,BC_6X8=4.8(cm).CE=√BC-BE=3.6cm.六CQ= AC 10 2CE=7.2cm..BC+CQ=13.2cm..t=13.2÷2=6.6(s).综上所B 图3 述，当运动时间为5.5s或6s或6.6s时，△BCQ为等腰三角形. 第二十一章学业质量评价 1.C2.D3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.A10.A11.60°12.36° 23