第20章 勾股定理 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章考点梳理与复习 考点一 勾股定理 【训练目的】了解勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算， 1.在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.若a2+b2=c2,则△ABC中的直角为 A.∠A B.∠B C.∠C D.无法确定 2.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则最小正方形A的面积为 A.4 B.8 C.16 D.64 咖 289 225 A 第2题图 第3题图 第4题图 3.教改题如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1),B(5,-3),则线段AB的长为 A.25 B.4√2 C.2√10 D.413 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=6,AC=5,则AD的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和22，则其斜边的长为 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4. 9 (1)若∠A=30°，则BC= ,AC= (2)若∠A=45°，则BC= ,AC= 7.如图，一圆柱的底面圆周长为10cm,高AB为4cm,BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出 发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则此蚂蚁爬行的最短路程是 cm. 8.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12,BD=9.求AB与BC的长 9.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸游戏，已知该纸片的宽AB为8cm,长BC为10cm,当 小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE). (1)求BF的长； (2)求EC的长. E B 考点二勾股定理的证明 【训练目的】了解利用拼图验证勾股定理的方法，会用面积法证明勾股定理。 10.下面四幅图中的四边形均为正方形，其中不能用面积法验证勾股定理的是 S3=5 B D.S2=4 S3=6 S3=10 S=3 主题情境赏数学文化请完成第11~12题 11.我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就.如图所示的 “弦图”是由四个全等的直角三角形（斜边长为13，一条直角边长为12）拼成的大正方形，中空部分 ABCD是一个小正方形.连接AC,则AC的长为 ICME-14 三三 图1 图2 第11题图 第12题图 12.第14届数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的 “弦图”.如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.若AE+ BE=8,GH=2,则大正方形ABCD的面积为 13.勾股定理神秘且美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发 现：当两个全等的直角三角形（阴影部分）按如图所示的方式摆放时，可以用“面积法”来证明勾股 定理：a2+b2=c2.图中∠BAD=90°，四边形ACFE是正方形 (1)请把四边形ACFD的面积用含a、b的式子表示出来； (2)请你利用该图证明勾股定理，并写出过程. a 考点三勾股定理的应用 【训练目的】能够利用勾股定理解决简单的实际问题， 14.新素材〔传统文化〕象棋起源于中国，是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非 物质文化经典产物.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长都为1，则 “车”与“炮”两棋子所在格点之间的距离为 () A.√5 B.3 C.10 D.410 楚河 军议泉 cm 炮 0 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 15.教改题如图，一棵大树在离地面4m,7m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落 在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是 () A.16m B.12m C.10m D.9m 16.如图，在高为3m,斜坡长为5m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要 () A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 17.如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面 的长度为hcm,则h的取值范围是 A.4<h<5 B.5<h<6 C.5≤h≤6 D.4≤h≤5 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·5 主题情境生话中梯子的放置请完成第18~19题 18.如图，一架长为25m的云梯斜靠在竖直的墙上，这时梯子的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面 的点B处，点A到地面的距离AO为24m.如果梯子的底端沿B0向墙一侧移动了2m,那么梯子的 顶端沿墙向上滑动的距离是 () A.(106-24)m B.1m C.2 m D.(4-√5)m C D A B O DB 1m 第18题图 第19题图 第20题图 第21题图 19.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端 距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷 的宽度为 () A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 20.一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板 (填“能”或“不能”)从门 框内通过： 21.如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B,然后把中点C向上拉升6cm至点D,则 橡皮筋被拉长了 cm. 考点四利用勾股定理表示无理数 【训练目的】利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点， 22.如图，数轴上的点0表示的数是0，点A表示的数是2,4B10A,垂足为A,且AB=】0A,以点0为圆 心，OB长为半径画弧，交数轴于点C(点C位于点A左侧)，则点C表示的数为 A.-5 B.5 C.-2-√/5 D.2-√/5 B BM -4-3-2-101234 01 第22题图 第23题图 第24题图 23.如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于 点M(点M位于点A右侧)，则点M表示的数为 A.√5 B.5-1 C.√10 D./10-1 24.如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，以点A为圆心，分别以AB,AC长为半径画弧，且 与数轴分别相交于点E,F(点E,F都在点A右侧)，若点F表示的数为√2-2，则点E表示的数为 25.如何在数轴上作出表示5的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为 点A与点C,作BC⊥AC,且BC=1,以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B',则点B 表示的数即为5.参照上述方法，在图2的数轴上画出表示-√13的点，并说明该点表示的数是-√13. CLiB' 1 -5-4-3-2-1012345 图1 图2 ·6 全程复习大考卷·数学·八年级下册 考点五勾股定理的逆定理 【训练目的】掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否 为直角三角形 26.若a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2=b2-c2,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 27.下列各组数中能作为直角三角形三边长的是 A.3,3,5 B.9,6,8 C.4,5,6 D.5,12,13 28.若△ABC的三边长分别为2,2√2，√10，则△ABC的面积为 A.2 B.4 C.√5 D.25 主题情境绿化环境请完成第29~30题 29.教改题某中学有一块空地ABCD,如图所示，为了绿化环境，学校计划在该空地上种植草皮，经测量， AD=8m,CD=6m,∠D=90°，AB=26m,BC=24m.求该空地的面积. D 30.新素养〔应用意识〕为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空 地ABCD种植上花草.经测量，∠B=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米.若每平方米空 地需要购买150元的花草，则将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？ D 闻 A 31.新考法〔阅读理解〕阅读与理解： 阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题. 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理a2+b2=c2的三个正整数a,b,c,其中a和b是直角三角形的两 条直角边长，c是斜边长. 勾股数可以通过以下公式生成：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m和n都是正整数，且m>n. 例如，当m=2,n=1时，a=22-12=3,b=2×2×1=4,c=22+12=5.因此，(3,4,5)是一组勾股数. (1)使用勾股数生成公式，当m=4,n=1时，求对应的勾股数(a,b,c); (2)若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数(5,12,13)，请你计算他代入的正整数m和n (m>n)的值.(3)由题意，得剩余木板的长为3v2dm,宽为4√2- ∴.CF=BC-BF=10-6=4. 3√2=√2(dm). 由折叠，得EF=DE, 因为1×4<3√2<1×5,0.7×3>√2>0.7×2， 设CE=xcm,则EF=DE=(8-x)cm. 所以最多能截出2×4=8（根）这样的木条 在Rt△EFC中，由勾股定理， 得CE2+CF2=EF2,x2+42=(8-x)2,解得x=3, 5，得= h h /60 21.解：(1)把h=60m代入t= = 即EC的长为3cm. /12=23(s). 10.D 答：物体从60m的高空落到地面的时间为2√3s. 11.72【解析】如图，在Rt△AEF中， (2)不正确.理由如下： 根据勾股定理，得 /120 AE=√EF2-AF2=√J132-122=5, 当h=120m时，t= 5 =√24=26(s). ∴.AD=12-5=7..CD=AD=7. 因为26≠2×23，所以小明的说法不正确. 在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=√72+7=7√2. （3)当=5：时，5=质解得=125m 12.34【解析】由题意，得AH=BE,EH=GH=2.AE+ BE=AH+EH+BE=2AH+2=8,..AH=3...AE=5,BE= 所以这个鸡蛋在下落过程中所带能量为10×0.06× 3.∴.大正方形ABCD的面积=AB2=AE2+BE2=34. 125=75(J). 1B.(1)解：San(4c+Dr)·CF=2(6+6a)b 1 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人 22.解：(1)这里m=6,n=5.由于5+1=6,5×1=5， b2 2 (5)2+12=6,5×1=√5， (2)证明：如图，连接BD.由题意知BF=b-a. 所以W6-25=√(5)2-2x/5x1+12=√(5-1)2=√5-1. (2)√3-22+√5-26+√7-212+…+ :S四边A形BED=SABE+SAADE=28 √21-2√110=√(2-1)2+√(3-2)2+ S四边A形BD=SA4DB+SADER三2C2+ +2a(b-a), √（√4-3）2+…+√（√1I-√10）2=2-1+5-√2+ t2(6-a). √4-3+…+/1I-√10=-1+√1I, .a2+b2=c2. 第二十章考点梳理与复习 14.C15.B16.C 1.C2.D3.B4.D5.3 17.C小斗提示：当牙刷与杯底垂直时，h最大.当牙刷与杯底直 6.(1)225(2)222√27.√41 径、杯高构成直角三角形时，h最小. 8.解：CD⊥AB,∴.∠CDB=∠CDA=90° 18.A19.C .在Rt△BDC中，BC=√CD2+BD2=√122+92=15， 20.能小斗提示：只要求出门框对角线的长，再与已知薄木板的 在Rt△ADC中，AD=√AC2-CD2=√202-122=16. 宽相比较即可. .AB=AD+BD=16+9=25. 【解析】如图，连接AC,则AC与AB,BC 9.解：(1)：四边形ABCD是长方形， 构成直角三角形.在Rt△ABC中，根据 .CD=AB=8,AD=BC=10,∠B=∠C=90 勾股定理，得AC=√AB2+BC2 由折叠，得AF=AD=10. √12+22=√5.(V5)2=5,2.22=4.84, m 在Rt△ABF中，AB=8,AF=10, ∴.√5>2.2，即AC>2.2.故薄木板能从门框内通过. .BF=√AF2-AB2=√102-82=6， 21.4小斗分析：根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出腰 即BF的长为6cm. 长，再用两腰长之和减去AB的长即可. (2)由(1)知，BF=6, 【解析】由题意，得AB=16cm,CD=6cm,△ADB为等 ·58· 全程复习大考卷·数学·八年级下册 腰三角形，CD⊥AB. .a=m2-n2=42-12=15,b=2mn=2×4×1=8,c=m2+ yC为AB的中点，4C=号AB=8mD= n2=42+12=17. .对应的勾股数为(15,8,17). √AC2+CD2=√82+62=10(cm)..橡皮筋被拉长了 (2)根据题意，得m2-n2=5,2mn=12,m2+n2=13, AD+BD-AB=2AD-AB=20-16=4(cm). .∴.mn=6. 22.A23.D24.-1 ,m>n,m,n都是正整数， 25.解：如图，在数轴上找出表示0与3的点，分别记为点A .m=6,n=1或m=3,n=2. 与点C,作BC⊥AC,且BC=2,以点A为圆心，AB长为 当m=6,n=1时，m2-n2≠5，不符合题意； 半径画弧，交数轴负半轴于点D,则点D表示的数即为 当m=3,n=2时，m2-n2=5,m2+n2=13,符合题意 -√13.BC⊥AC,.AB=√AC+BC=√32+22=√3， .m=3,n=2. AD=AB=√I3.点D位于点A的左侧，.点D表示 第二十章学业水平测试 的数是-√13. 1.B2.C3.C4.B 5.A【解析】如图，过点B作BC⊥AC于点C.在Rt△ABC 中，AC=7-2+1=6(cm),BC=4+4=8(cm), 与时个支：古 .AB=√AC+BC=√6+82=10(cm). 单位：cm .7+4+2+4+1-10=8(cm). 26.C27.D28.A 4 .如此爬行比从点A直接爬到点B 29.小斗提示：将不规则的四边形补形成规则的特殊三角形，再利用 多爬行8cm. 特殊三角形面积的差求解。 6.B小斗分析：连接AD,设上方网格线左端点为E,先由作法得出 解：如图，连接AC. AD的长，再在Rt△ADE中，根据勾股定理求出DE的长，最后由 在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102 CD=CE-DE即可推出结果. 在△ABC中，AB2=262,BC2=242, 7.C 而102+242=262，即AC+BC2=AB2, 8.A【解析】52+122=169=132，.△ABC是直角三角 .∴.∠ACB=90°. ACBCA CD 形，且∠4CB=90心.由图可知，月移事分的面教=)× =×10x242×8x6=96(m). D 答：该空地的面积为96m2. 18m+30-169 7=30. 30.解：如图，连接AC. 9.D【解析】观察表格中的数，得a2+b2=c2,且c=b+2,则 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+ a2+b2=(b+2)2.当a=24时，242+b2=(b+2)2,解得b= 42=52. 143,.c=143+2=145.∴.b+c=143+145=288. 在△CAD中，AD2=132,CD2=122, 10.D【解析】①如图1，沿CC1展开，连接MN, 而122+52=132， 则MN=√B,N2+B,M=√22+6=2W/10(cm); 即AC2+CD2=AD2,∴.∠DCA=90°. D B B N B Saw=Sac+ac=2Bc,AB+2CD:AC 74x37×12x5=36,36x150=540(元. D1 M2C1 4 B1 D M2C2H 图1 图2 答：将这块空地全部绿化需要购买5400元的这种 ②如图2，沿B,C1展开，过点N作NH⊥DC1于点H, 花草 连接MW,则MN=√MH+W=√42+42=4√2(cm). 31.解：(1)m=4,n=1, 42<2√10，.最短路线长是42cm