专题04四边形及多边形期中复习讲义（12大题型+知识梳理）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期

专题04四边形及多边形期中复习讲义 期中复习◆重点 多边形：掌握封闭多边形定义，牢记n边形内角和、外角和、对角线条数核心公式，区分两者不同特点。 四边形基础：明确四边形内角和与外角和，知晓其分为普通四边形与特殊四边形，重点聚焦特殊四边形。 特殊四边形：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（含等腰梯形）的定义、核心性质及判定方法，明确各类图形的区别与联系。 高频考点与技巧：重点掌握角度、边长及对角线计算，四边形类型判定，以及折叠、平移、旋转相关应用题的解题思路。 易错点：规避判定条件混淆、忽略多边形封闭性、公式记错、等腰梯形性质误用、对角线性质遗漏等常见错误。 核心题型◆归纳 题型1四边形的不稳定性 题型2正多边形概念辨析 题型3多边形截角后的边数问题 题型4多边形的周长 题型5网格中多边形面积比较 题型6多边形对角线的条数问题 题型7多边形内角和问题 题型8多边形截角后的内角和问题 题型9复杂图形的内角和 题型10多边形外角和的实际应用 题型11多边形内角和与外角和综合 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01四边形的相关概念与性质 概念：4条线段首尾顺次相接组成的封闭凸多边形，是边数为4的特殊多边形。 核心性质：内角和360°、外角和360°；对角线有2条，可将其分成2个三角形。 知识点02多边形的相关概念 概念：n（n≥3，整数）条线段首尾顺次相接的封闭图形，重点复习凸多边形。 核心要素：边、顶点、内角、外角（与内角互补）。 正多边形：需同时满足各边相等、各内角相等（如正方形是正四边形）。 知识点03正多边形核心计算 周长：C=na（n为边数，a为边长）； 面积：常用分割法（分成n个全等等腰三角形），特殊正多边形用专属公式； 对角线条数：n(n-3)÷2（与普通n边形通用）。 知识点04多边形截角后的内角和问题 边数变化：截线不过顶点（边数+1）、过1个顶点（边数不变）、过2个顶点（边数-1）。 内角和变化：边数变则内角和变（增减180°），边数不变则内角和不变，需先确定新边数再计算。 知识点05多边形的内角和与外角和定理 定理类型 公式结论 适用范围 备注 内角和定理 n边形内角和=（n-2）×180° n≥3的多边形 可通过分割成三角形推导，边数每增加1，内角和增加180°. 外角和定理 任意多边形的外角和为360° 所有多边形 与边数无关，正n边形的每个外角= 知识点06多边形内、外角和综合应用 关联：单个内角+单个外角=180°，可相互推导边数、内/外角度数； 技巧：优先用外角和（360°）快速求边数，简化运算。 知识点07常考题型汇总 计算类：周长、面积、对角线、内/外角和及截角后相关计算； 推导类：由内/外角和求边数、由单个内/外角求相关量； 综合类：截角与内/外角和结合、正多边形与三角形/四边形结合。 知识点08易错点提醒 公式易错：记错内角和公式、混淆内/外角和、误判正多边形对角线条数； 截角易错：误判边数变化规律； 计算易错：面积计算漏乘边数、单位不统一、误用内/外角互补关系； 综合易错：无法灵活推导、忽略正多边形前提条件。 题型解析◆精准备考 题型1四边形的不稳定性 1．下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性与四边形的不稳定性，关键是明确“三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性”的核心知识点，通过分析每个选项的图形结构判断是否具有稳定性： 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 选项A的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项B的图形被对角线分成多个三角形，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项C的图形由三个三角形组成，具有稳定性，故该选项不符合题意； 选项D的图形是梯形，属于四边形，不具有稳定性，故该选项符合题意， 故选：D． 2．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是________________________． 【答案】四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的性质，掌握四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性是解题的关键． 观察伸缩校门的结构，它由多个四边形组成，能够伸缩变形，结合四边形的特性，判断其利用的性质． 【详解】解：伸缩校门可以通过改变形状实现伸缩，这是因为四边形具有不稳定性，容易发生变形，因此它利用的四边形的性质是：四边形的不稳定性． 故答案为：四边形的不稳定性． 3．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 【答案】（1）①④⑥；（2）图见解析 【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个． （2）如图所示： 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 题型2正多边形概念辨析 1．如图是嘉琪的答卷，得分为（   ） 判断题．（每题25分，共100分）    姓名：嘉琪    得分：___________ （1）锐角三角形的高线一定在其内部．（√） （2）三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心．（×） （3）各个角都相等的多边形叫做正多边形．（√） （4）两个全等形的面积一定相等．（×） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】B 【分析】先逐一判断题干中每个说法的正误，再对比嘉琪的答案统计正确题数，最后计算得分． 【详解】解：锐角三角形的三条高线都在其内部，（1）的说法正确，嘉琪判断√，得25分； 三角形三条角平分线的交点是内心，重心是三条中线的交点，（2）的说法错误，嘉琪判断×，得25分； 正多边形需满足各角相等且各边相等，仅各角相等的多边形不一定是正多边形（如矩形），（3）的说法错误，嘉琪判断√，不得分； 全等形能完全重合，面积一定相等，（4）的说法正确，嘉琪判断×，不得分， 总得分为（分）． 2．下列说法中，正确的有______． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 【答案】② 【分析】本题考查了两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：①线段的长度就是点与点的距离，故原说法错误，不符合题意； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故原说法正确，符合题意； ③各边相等，各角都相等的边形是正边形，故原说法错误，不符合题意； ④从直线外一点作点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故答案为：②． 3．如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少? 【答案】剪去的小正三角形的边长是4 【分析】本题考查了等边三角形以及正六边形的定义．由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角形的边长为4． 【详解】解：小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边， ． 又， ， ． 故剪去的小正三角形的边长是4． 题型3多边形截角后的边数问题 1．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型4多边形的周长 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 2．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 3．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解：， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 题型5网格中多边形面积比较 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 3．如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 【答案】面积为13，边长为 【分析】本题主要考查了割补法求图形的面积、算术平方根的应用等知识点，求得阴影正方形的面积是解题的关键． 运用割补法求得阴影正方形的面积，然后运用算术平方根求正方形的边长即可． 【详解】解：根据题意可得，， 正方形的边长为． 题型6多边形对角线的条数问题 1．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据多边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解： 因此九边形对角线的条数为27． 2．从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 【答案】 3 4 9 【分析】根据多边形对角线的相关规律，先确定从六边形一个顶点出发引出的对角线条数，再推导得到分成三角形的个数，最后计算六边形对角线的总条数． 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为，本题中六边形，因此引出对角线条数为， 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为， 边形对角线总条数公式为， 将代入得：． 3．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 题型7多边形内角和问题 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 2．如图，，，，已知，则的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴． 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则　　°，　　°； (2)与平行吗？试说明理由； 【答案】(1)120，30 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据四边形的内角和为求出，结合角平分线定义得出，进而可求解； （2）同（1）的方法求出，由角平分线的定义可知，从而得，根据平行线的判定定理可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于F， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵平分交于F， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型8多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 3．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 题型9复杂图形的内角和 1．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型10多边形外角和的实际应用 1已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】牢记“任意多边形的外角和恒为”，直接利用该定理即可确定四边形的外角和度数． 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，四边形是多边形， 四边形的外角和度数为， 故选：． 2．如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】/270度 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 3．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 题型11多边形内角和与外角和综合 1．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 2．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 3．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为11 (2)8 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为11； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故这个多边形的边数是8． 题型解析◆精准备考 一、单选题 1．下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 2．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边． 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角． 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 3．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查正方形的周长的问题，在一个正方形上的4个角剪去边长1厘米的小正方形，我们可以在脑海里想象这个画面也可以用画图的方法，得出答案． 【详解】解：这个正方形原来的周长：；剪去小正方形后的周长：；那么它的周长不变． 故选D． 4．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据边形从一个顶点出发最多可引出条对角线，根据题意列方程即可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵边形从一个顶点出发最多能引出条对角线， ∴， 解得， 则这个多边形的边数为． 5．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 二、填空题 6．从八边形的一个顶点引出的对角线有___________条． 【答案】 【分析】n边形经过一个顶点的所有对角线可引出条，将代入计算即可. 【详解】解：八边形的边数. 从一个顶点引出的对角线条数为 . 7．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 8．如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 【答案】/162度 【分析】利用多边形内角和及正多边形性质求得的度数，利用正方形性质求得的度数，然后根据角的和差即可求得答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∵正方形中，， ∴ ． 9．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【答案】 【分析】设出多边形边数和所求内角度数，根据多边形内角和公式列出等式，结合n为正整数和多边形内角度数的取值范围，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，所求内角度数为， 根据多边形内角和公式可得：， 整理得：， 为正整数，且， 为的正整数倍， 计算得， ，满足，符合条件． 10．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是________． 【答案】5，6，7 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 三、解答题 11．正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】(1)20 (2)5 【分析】（1）根据正多边形的内角和求出的值，进而求出周长即可； （2）先求出正边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得， ∵正边形的边长为2， ∴周长为； （2）解：由（1）可知，正边形每个内角的度数为， ∴正边形的每个外角的度数为； ∴． 12．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式求出，根据角平分线的定义求出，再根据四边形的内角和为可求得；再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵五边形的每个内角都相等，且五边形的内角和为， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． ∵， ∴， ∴． 13．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 14．如图，在正六边形中，M，N分别是边，上的点，且，与交于点Q.    (1)求证：； (2)求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据六边形是正六边形，可以得到，即可利用判定全等； （2） 利用全等三角形的性质可得，，观察图形，根据三角形内角和定理可得，再根据正多边形的内角和公式求得正六边形的内角，由此即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵六边形为正六边形， ∴，. ∵， ∴，即. 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， 根据多边形内角和公式，可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形内角和公式，三角形内角和定理，熟练利用全等三角形的性质进行角度的转换是解题的关键． 15．（1）已知多边形的一个角的外角与其他各个内角的和为，求这个多边形的边数及这个内角相应的外角的度数． （2）在中，，边上的中线将分成周长差为的两个小三角形，已知的周长为，求的各边长． 【答案】（1）这个多边形的边数为7或8，这个内角相应的外角的度数为或 （2）各边长为或 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，等腰三角形的定义，三角形的中线与周长，掌握知识点是解题的关键． （1）通过设多边形边数n和对应外角x，结合题目条件列出方程，再根据外角的取值范围，则，求解n的可能值，进而得到外角的度数． （2）分类讨论：①当时，②当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n，这个内角相应的外角的度数为x． 根据多边形内角和定理，依题意，得 ， 解得， ∵， ∴， ， 解得 ∵n为整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴这个多边形的边数为7或8，这个内角相应的外角的度数为或． （2）解：∵边上的中线， ∴， ①当时， 有 ，即， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴的各边长为． ②当时， 有， 即， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴的各边长为． 综上所述，的各边长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04四边形及多边形期中复习讲义 期中复习◆重点 多边形：掌握封闭多边形定义，牢记n边形内角和、外角和、对角线条数核心公式，区分两者不同特点。 四边形基础：明确四边形内角和与外角和，知晓其分为普通四边形与特殊四边形，重点聚焦特殊四边形。 特殊四边形：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形（含等腰梯形）的定义、核心性质及判定方法，明确各类图形的区别与联系。 高频考点与技巧：重点掌握角度、边长及对角线计算，四边形类型判定，以及折叠、平移、旋转相关应用题的解题思路。 易错点：规避判定条件混淆、忽略多边形封闭性、公式记错、等腰梯形性质误用、对角线性质遗漏等常见错误。 核心题型◆归纳 题型1四边形的不稳定性 题型2正多边形概念辨析 题型3多边形截角后的边数问题 题型4多边形的周长 题型5网格中多边形面积比较 题型6多边形对角线的条数问题 题型7多边形内角和问题 题型8多边形截角后的内角和问题 题型9复杂图形的内角和 题型10多边形外角和的实际应用 题型11多边形内角和与外角和综合 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点01四边形的相关概念与性质 概念：4条线段首尾顺次相接组成的封闭凸多边形，是边数为4的特殊多边形。 核心性质：内角和360°、外角和360°；对角线有2条，可将其分成2个三角形。 知识点02多边形的相关概念 概念：n（n≥3，整数）条线段首尾顺次相接的封闭图形，重点复习凸多边形。 核心要素：边、顶点、内角、外角（与内角互补）。 正多边形：需同时满足各边相等、各内角相等（如正方形是正四边形）。 知识点03正多边形核心计算 周长：C=na（n为边数，a为边长）； 面积：常用分割法（分成n个全等等腰三角形），特殊正多边形用专属公式； 对角线条数：n(n-3)÷2（与普通n边形通用）。 知识点04多边形截角后的内角和问题 边数变化：截线不过顶点（边数+1）、过1个顶点（边数不变）、过2个顶点（边数-1）。 内角和变化：边数变则内角和变（增减180°），边数不变则内角和不变，需先确定新边数再计算。 知识点05多边形的内角和与外角和定理 定理类型 公式结论 适用范围 备注 内角和定理 n边形内角和=（n-2）×180° n≥3的多边形 可通过分割成三角形推导，边数每增加1，内角和增加180°. 外角和定理 任意多边形的外角和为360° 所有多边形 与边数无关，正n边形的每个外角= 知识点06多边形内、外角和综合应用 关联：单个内角+单个外角=180°，可相互推导边数、内/外角度数； 技巧：优先用外角和（360°）快速求边数，简化运算。 知识点07常考题型汇总 计算类：周长、面积、对角线、内/外角和及截角后相关计算； 推导类：由内/外角和求边数、由单个内/外角求相关量； 综合类：截角与内/外角和结合、正多边形与三角形/四边形结合。 知识点08易错点提醒 公式易错：记错内角和公式、混淆内/外角和、误判正多边形对角线条数； 截角易错：误判边数变化规律； 计算易错：面积计算漏乘边数、单位不统一、误用内/外角互补关系； 综合易错：无法灵活推导、忽略正多边形前提条件。 题型解析◆精准备考 题型1四边形的不稳定性 1．下列图形中，不具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是________________________． 3．（1）下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号） （2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性． 题型2正多边形概念辨析 1．如图是嘉琪的答卷，得分为（   ） 判断题．（每题25分，共100分）    姓名：嘉琪    得分：___________ （1）锐角三角形的高线一定在其内部．（√） （2）三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心．（×） （3）各个角都相等的多边形叫做正多边形．（√） （4）两个全等形的面积一定相等．（×） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 2．下列说法中，正确的有______． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 3．如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少? 题型3多边形截角后的边数问题 1．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型4多边形的周长 1．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 2．一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 3．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 题型5网格中多边形面积比较 1．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 3．如图，每个小正方形的边长为1，图中阴影部分是一个大正方形，求这个大正方形的面积和边长． 题型6多边形对角线的条数问题 1．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 2．从六边形的一个顶点出发，可以引_________条对角线，将六边形分成_________个三角形，六边形共有_________条对角线． 3．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 题型7多边形内角和问题 1．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，已知，则的度数为______． 3．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则　　°，　　°； (2)与平行吗？试说明理由； 题型8多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 2．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 3．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 题型9复杂图形的内角和 1．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 3．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型10多边形外角和的实际应用 1已知一个四边形，它的外角和的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 3．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 题型11多边形内角和与外角和综合 1．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 3．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 题型解析◆精准备考 一、单选题 1．下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 3．一个边长的正方形，把4个角各剪去边长的小正方形．那么它的周长（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．保持不变 4．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．从八边形的一个顶点引出的对角线有___________条． 7．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 8．如图，以正方形的边向外作正五边形，则的度数为_____． 9．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 10．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是________． 三、解答题 11．正多边形的每条边都相等．每个角都相等．已知正边形的内角和为．边长为2． (1)求正边形的周长； (2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 12．如图，五边形的内角都相等，平分，交于点F，延长至点M，使得，连接，交于点N，求的度数． 13．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 14．如图，在正六边形中，M，N分别是边，上的点，且，与交于点Q.    (1)求证：； (2)求的度数. 15．（1）已知多边形的一个角的外角与其他各个内角的和为，求这个多边形的边数及这个内角相应的外角的度数． （2）在中，，边上的中线将分成周长差为的两个小三角形，已知的周长为，求的各边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $