专项突破7 易错题专练-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

专项突破七 易错题专练 易错典例一 已知等腰三角形的两条边长分别为4和2，则这个等腰三角形的面 积为 【易错警示】当等腰三角形的底边和腰不确定时，应假设其中一条 边长为底边或腰分类讨论。 变式练习 吹 原创题若等腰三角形的两边a,b满足(a-4)2+1b-61=0,则这个等 腰三角形的面积为 易错典例二 在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,∠DAE= 20°，则∠BAC的度数为 【易错警示】题目中没有图形，垂直平分线交点的位置不能确定，应 根据可能存在的情况分类讨论。 变式练习 在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P,AC的垂直 g 平分线分别交AC,BC于点N,Q。若BC=10,QP=2,则△AQP的周 长为 () A.8或14 B.12或10 C.8或10 D.10或14 易错典例三 如图，直线1,2,3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 个。 蜜 【易错警示】解决此类问题是应注意是否存在多种情况，不要出现漏解。 变式练习 如图，已知OA和OB两条公路，以及C,D两个村庄，建立一个车站 P,使车站到两个村庄距离相等即PC=PD,且P到OA,OB两条公路 的距离相等。 都 易错典例四 x-a≤0， 若关于x的不等式组{ 仅有3个整数解，则a的取值范围是 1-2x<3 () A.2≤a<3 B.2<a≤3 C.2<a<3 D.3≤a<4 【易错警示】在确定取值范围时，要明确整数解是否可以在临界，点。 变式练习 r3x-1 若关于x的不等式组{ 2 <x+1, 有且仅有4个整数解，则所有 2(x+1)≥-x+a 满足条件的整数a的值之和为 易错典例五 小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支 2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小 张购买的铅笔可能有 【易错警示】注意题干中的描述为可能而非最值，因此需要考虑是 否存在多解。 变式练习 数学典籍《孙子算经》中记载了许多著名的数学问题，其中就有“韩 信点兵”问题。相传汉朝大将韩信在点兵时，为了快速统计士兵人 数，韩信让士兵们5人一组列阵，结果多出2人；他又让士兵们7人 一组列阵，结果多出3人。已知士兵总数不超过100人，则士兵总 数可能为 人。（写出一个符合条件的值即可） 易错典例六 如图，在△ABC中，BC=8cm,将△ABC以每秒3cm的速度沿BC所 在直线向右平移，所得图形对应为△DEF,设平移时间为t秒，若要 使AD=3CE成立，则t的值为 【易错警示】平移过程中，图形可能存在多种符合条件的位置，注意 不要漏解。 变式练习 若线段AB∥y轴，且AB=3,点A的坐标为(2,1)，现将线段AB先向 左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后点B的 坐标为 () A.(1,2) B.(1,-4) C.(-1,-1)或(5，-1) D.(1,2)或(1，-4) 易错典例七 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针 旋转得到△ADE(点D与点B对应)，连接BD。当点E落在直线AB 上时，线段BD的长为 () A.2J10 B.2v10或6√/10 C.310 D.√/10或3√10 【易错警示】解决旋转问题需要牢记旋转的三要素：旋转中心，旋转 方向，旋转角度，据此求解，将情况考虑全面。 变式练习 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，将△ABC绕点B逆时针 旋转0(0°<0<90)到△A'BC',边A'C'和边AC相交于点P,边AC和边 BC相交于Q,当△BPQ为等腰三角形时，则0的度数为() A(学或1 ,20 c(g四或6 D(9或1或6 易错典例八 若x2+(a-2)x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值为 () A.-1或5 B.5 C.8 D.8或-4 【易错警示】利用完全平方公式求解，首先判断要求的是哪一项，然 后要注意中间项的系数关系以及中间项存在正负两种情况。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 .51· 变式练习 在多项式4x2+1中添加一个单项式，使它能用完全平方公式因式分 解，添加的单项式是 易错典例九 因式分解：3a3-3a= 【易错警示】求解因式分解问题，先注意提取公因式，再考虑利用公 式法，最后注意分解要彻底。 变式练习 因式分解：2x2-12xy+18y2= 易错典例十 当a= 时，分式投行的值为零。 【易错警示】根据分式的值为零求字母的值一定要注意分式的分母 不能等于零。 变式练习 若分式二-0，则：的值为 x-1 易错典例十一 能使等式3x-3 成立的飞的取值范围是 y y A.k≠1 B.k≠0 C.k≠-1 D.k为任意实数 【易错警示】应用分式的基本性质时，要注意分式的值不变，分式的 分母不能等于零。 变式练习 已知x-1)(x-2)x-1 成立，则x的取值范围是 x(x-2)》 易错典例十二 x+3 3、.2x 先化简（-2x+1十x)-1然后从-2，-1,01,2中选取-个你 认为合适的数作为x的值代入求值。 ·52· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 【易错警示】化简求值时，选取字母的值要保证分式的分母和除式 均不等于零。 变式练习 已知x为整数且满足代数式3x+8-1:-1 的值为整数，求x的 x+1 x x2+2x 所有取值。 易错典例十三 关于云的分式方程，：3的解为正数，则m的取值范围是 【易错警示】根据分式方程的解的情况确定字母的取值范围时，易 忽视分式的分母不等于零。 变式练习 若关于<的分式方程，21的解为非负数则m的取值范围 x-2 是 易错典例十四 解下列方程： 2x2 (1 .3 x+222+2x (2)12.4 x+11-xx2-19 【易错警示】解分式方程去分母时不要漏乘不含分母的项，同时牢 记要验根。 变式练习 解分式方程： 234 (2)31.18 x-3x+3x2-99 111111111 郡 易错典例十五 在□ABCD中，AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC 交BC于点F,且EF=2,则AB的长为 【易错警示】当题目没有给出图形或者题目给出的条件是动点时， 应考虑是否存在多解。 变式练习 如图，在口ABCD中，AB=2,BC=4,∠B=60°，P是四边形上的一个 动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为 D 易错典例十六 如图，五边形ABCDE为正五边形，一条直线将它分割成两个多边 形，这两个多边形的内角和分别为x,y,则x+y的最大值 为 C D 【易错警示】一个多边形（三角形除外）截去一个角后，按不同的截 法可得到不同的多边形，即边数增加1或不变或减小1，切勿忽视任 意一种情况导致漏解。 变式练习 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1260°，则原多边形的边数为∴.四边形ABMD是平行四边形。 分两种情况： .AB=DM,BM=AD。.AB+CD=DM+CD=CM。 ①当4是腰长时，三角形的三边长分别为4,4,6， 'AD⊥BC,∴.∠CBM=∠COD=90°。 满足三角形的三边关系定理， .BC=6,AD=4,∴.BM=4。 此时这个等腰三角形底边上的高为√42-32=√7。 .CM=√JBC2+BM2=2√13。 .AB+CD=2√/13。 这个等腰三角形的面积为2X6x7=37; (2)①如图2，在AC上取一点E,使AE=CD,连接BE交 ②当6是腰长时，三角形的三边长分别为4,6,6， AD于点P。 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形底边上的高为√62-22=42， 这个等腰三角形的面积为×44万=8几。 综上所述，这个等腰三角形的面积为37或8√2。 易错典例二 图2 80°或100°【解析】如图1， ②如图2，作BQ⊥BC,DQ⊥AD,BQ与DQ交于点Q, DM,EN分别垂直平分AB和AC, 则∠DBQ=∠ADQ=90°。 .AD=BD,AE=CE。 ∠C=90°，∴.∠BDQ+∠ADC=90°=∠CAD+∠ADC。 .∠BAD=∠B,∠CAE=∠C。 .∠BDQ=∠CAD。 ·∠BAD+∠B+∠CAE+∠C-∠DAE=180°， r∠BDQ=∠CAD, .2(∠B+∠C)=200°。.∠B+∠C=100°。 在△BDQ和△CAD中，{DB=AC, ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=80°； L∠DBQ=∠C, .△BDO≌△CAD(ASA)。.∴.DQ=AD,BQ=CD。 ∴.∠QAD=∠AQD=45°。 :∠DBQ+∠C=180°，CD=AE, .BQ∥AE,BQ=AE。 ∴.四边形AEBQ是平行四边形。 图1 图2 ∴.BE∥AQ。∴.∠BPD=∠QAD=45°。 如图2，同理可得∠BAD=∠B,∠CAE=∠C。 ③BE=√2AD。 .'∠BAD+∠B+∠CAE+∠C+∠DAE=180°， 证明：由②，得∠ADQ=90°，DQ=AD, ∴.2（∠B+∠C)=160°。.∠B+∠C=80°。 ∴.AQ=√DQ+AD2=√2AD。 ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=100°。 :四边形AEBQ是平行四边形 变式练习 ∴.AQ=BE。∴.BE=√2AD。 D【解析】如图1，由线段垂直平分线性质可知， 专项突破七易错题专练 AP=BP,AQ=CQ, 易错典例一 ∴.△AQP的周长为AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=10; √1巧【解析】分两种情况： ①当2是腰长时，三角形的三边分别为2,2,4， 2+2=4,不能组成三角形； ②当2是底边长时，三角形的三边分别为2,4,4， 能组成三角形。 如图，过，点A作AD LBC于点D。 图1 图2 AB=AC-4BD=CD-2BC-1. 如图2，同理可得AP=BP,AQ=CQ。 .'.△AOP的周长为AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BP+CP 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 PQ+PQ=BC+2PQ=14。 AD=√AB2-BD2=√/15。 综上所述，△AQP的周长为10或14。 △ABC的面积为2BC·AD=X2x/下=V下。 1 易错典例三 4【解析】小：中转站要到三条公路的距离都相等， 综上所述，这个等腰三角形的面积为√下。 .货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 变式练习 角或外角平分线的交点， 3√7或82【解析】.(a-4)2+1b-61=0, 而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点。 ∴.a-4=0,b-6=0。.a=4,b=6。 .货物中转站可供选择的地址有4个。 变式练习 解：如图，点P,点P'即为所求。 ÷aC=BR4C&=8R66=8om A .BE=6cm。∴.t=6÷3=2。 变式练习 D D【解析】线段AB∥y轴，且AB=3,其中点A的坐标为 0 (2,1), 易错典例四 ∴.点B的坐标为(2,4)或(2，-2)。 A【解析】解不等式x-a≤0，得x≤a。 .线段AB先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单 解不等式1-2x<3,得x>-1。 位长度后点B的坐标为(1,2)或(1，-4)。 不等式组仅有3个整数解， 易错典例七 .这3个整数解为0,1,2。 D【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3, .a的取值范围是2≤a<3。 由勾股定理，得AB=√AC+BC2=5。 变式练习 如图1，当，点E落在线段AB上时， -6【每标]部不等式 <x+1,得x<3。 由旋转可得AE=AC=4,DE=BC=3, ∠AED=∠C=90°， 解不等式2(x+1)≥+，得x≥a,2 ∴.∠BED=90°，BE=AB-AE=1。 o 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 不等式组有且仅有4个整数解， BD=√DE+BE=√/I0; .这4个整数解为-1,0,1,2。 2×0-2 ≤-1，解得-4<a≤-1。 .整数a的值为-3，-2，-1， ∴.整数a的值之和为-3+(-2)+(-1)=-6。 易错典例五 3支或1支【解析】设小张购买的铅笔有x支。 图1 图2 根据题意，得202“>。解得<50 20-3-3x 17 如图2，当，点E落在AB反向延长线上时， 由旋转可得AE=AC=4,DE=BC=3, .x的正整数值为3,2,1。 ∠AED=∠C=90°，∴.BE=AB+AE=9。 11-38-4: 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 当x=3时，2 BD=√DE2+BE2=3√10。 17-3x=5.5,舍去 当x=2时，2 综上所述，线段BD的长为√10或3√10。 变式练习 17-3%-1。 当x=1时，2 B【解析】如图，过，点B作BD⊥AC于，点D,作BE⊥A'C 于点E。 .小张购买的铅笔可能有3支或1支。 将△ABC绕点B逆时针旋转0(0°<0<90)到△A'BC', 变式练习 ..△ABC≌△A'BC'。 17(答案不唯一）【解析】设5人一组可分为x组，7人 .BD=BE。BP平分∠A'PC 组可分为y组，则5x+2=7y+3。 :∠C=∠C'=40°，∠BQC=∠PQC, .5x+2≤100,7y+3≤100， ∴.∠CBQ=∠CPQ=0。 ∠BPQ=2(180°-LCPQ)=90- 1 9897. 六x≤5y≤7(x,y均为正整数)。 2。 分三种情况： .当x=3,y=2时，士兵总数为17人， ①如图1，当PB=PQ时， 当x=10,y=7时，士兵总数为52人， ∠PBQ=∠PQB=∠C+∠CBQ=40°+0。 当x=17,y=12时，士兵总数为87人。 .∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°， 易错典例六 2或4【解析】①当，点E在点C右侧时， .90°- 29+2(40+0)=180°，解得9=( AD=BE=BC+CE=3CE, .CE=2 BC=4cm。.AD=12cm .t=12÷3=4; Q ②当点E在点B,点C之间时， AD=BE=CF=3CE, 图1 图2 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 。79. ②如图2，当PB=QB时，∠BPQ=∠BQP, 当d=-2时，x=1(舍去)； .90°- 0=4046,解得0=(9) 当d=4时，x=-2(舍去)； 当d=-4时，x=0(舍去)。 ③当QP=QB时，∠PBQ=∠BPQ=90° 38 综上所述，x的所有取值为-5，-3,3。 易错典例十三 .∠BPQ+∠PBQ+LPQB=2(90°-20)+(40°+0) m<3且m≠2【解析】去分母，得2x-m=3(x-1)。 解得x=3-m。 =220>180(不合题意，舍去)。 方程的解为正数，.3-m>0且3-m≠1， 苏上所莲，8的度数为（学或（四。 解得m<3且m≠2. 变式练习 易错典例八D m≥1且m≠3【解析】去分母，得-3=(x-2)-m。 变式练习4x4或4x或-4x 解得x=m-1。 易错典例九3a(a+1)(a-1) :方程的解为非负数，∴.m-1≥0且m-1≠2， 变式练习2(x-3y)2 解得m≥1且m≠3。 易错典例十-1 易错典例十四 变式练习0 解：(1)方程的两边都乘(x2+2x),得 易错典例十一B 2x2-2(x2+2x)=3。 变式练习x≠0且x≠2 3 解这个方程，得x= 易错典例十二 解：原式=+3+3(x-).(x+1)(x-1) (x-1)2 2x 经检验=了是原方程的根。 4x (x+1)(x-1)2x+2 (2)方程的两边都乘(x2-1),得 (x-1)2 2xx-19 x-1+2(x+1)=4。 ,x-1≠0且x+1≠0且x≠0， 解这个方程，得x=1。 x可以取-2或2。 经检验，x=1是原方程的增根。 -4+22 所以原分式方程无解。 当x=-2时，原式=2-13 变式练习 解：(1)方程的两边都乘(2x-3),得 当x=2时，原式=2-1 4+2 =6。 x-5=4(2x-3)。 变式练习 解这个方程，得x=1。 解：3x+81.2-1 检验：当x=1时，2x-3≠0， 所以x=1是原方程的解。 x+1 xx2+2x (2)方程的两边都乘(x-3)(x+3),得 3x+8x-1,x(x+2) 3(x+3)-(x-3)=18。 x+1x(x-1)(x+1) 解这个方程，得x=3。 3x+8x+2 检验：当x=3时，(x-3)(x+3)=0, x+1x+1 所以x=3是原方程的增根。所以原分式方程无解。 2x+6 易错典例十五 x+1 3或5【解析】如图1， =2(x+3) BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB, x+10 ∴.∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠CFD。 设2x+3)=k(k为整数)，则2(x+3)=k(+1)。 ·.:AE平分∠BAD,DF平分∠ADC. x+1 ∴.∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF。 整理，得x(2-k)=k-6,∴.x= -6 .∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF。 2-k9 AB=BE,CF=CD。 4 令d=2-k(d为整数且d≠0)，得x=-1- EF=2,∴.BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8。 d .AB=5: 为壁数“身为整数。 故d为4的因数：±1，±2，±4。 当d=1时，x=-5;当d=-1时，x=3; 当d=2时，x=-3; 图 图2 ·80· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ②如图2， 变式练习 同理可得AB=BE,CF=CD。 8或9或10【解析】设截去一个角后，多边形的边数为n。 EF=2,..BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8, 根据题意，得(n-2)×180°=1260°。解得n=9。 .AB=3。 多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 综上所述，AB的长为3或5。 .原多边形的边数可能为8或9或10。 变式练习 期末综合水平测试 2或23或√19【解析】分三种情况： 1.B2.D ①如图1，当∠BPC=90°，点P在边AB上时， 3.D【解析】A.当x=2时，分子x+2=4≠0，分母x+3=5≠0， :∠B=60,∠BCP=30。BP=)BC=2: ∴.分式的值不为0。不符合题意； B.当x=-3时，分母x-3=-6≠0， A(P) 分式有意义。不符合题意； C.当x=2时，分母x-2=0, ∴分式无意义。不符合题意； D.当x=2时，分子x2-4=0,分母x+3=5≠0， 图1 图2 .分式的值为0： ②如图2，当∠BPC=90°，点P在边AD上，AP=DP=2时， 当x=-3时，分母x+3=0,.分式无意义。 四边形ABCD是平行四边形， 4.B5.D6.C7.A8.D9.D .CD=AB=2,∠D=∠B=60°。.DP=CD。 10.C【解析】·四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 .△PCD是等边三角形，CP=CD=2。 0,且0A=0C,0B=0D, .BP=√BC-CP2=23; ∴.四边形ABCD是平行四边形。 ③如图3，当∠BCP=90°时，CPD=90° 故选项A正确； E是AB的中点，AE=2AB。 0是AC的中点，F是CE的中点， 1 图3 :CD=AB=2,∠D=∠ABC=60°， 故选项B正确； .∠PCD=30°。 当点E在AB上时， .DP= 2CD=1,CP=WCD2-Dp=3。 :AE≤AB,且AE=20F,AB=6, .20F≤6。.0F≤3。.0F的长的最大值为3； .BP=√BC+CP2=√/19。 如图1，当点E在AD上时， ·AE≤AD,且AE=20F,AD=BC=8, 综上所述，当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2√5 .20F≤8。.0F≤4。.0F的长的最大值为4。 或√19。 故选项C不正确； 易错典例十六 900°【解析】①x+y=180°+720°=900°； ②x+y=180°+360°=540°； ③x+y=180°+540°=720°； ④x+y=360°+540°=900°； ⑤x+y=360°+360°=720°。 图 图2 如图2， 0B=0C,0A=0C,∴.OA=0B。 .·OF∥AE,∠C0F=60°，.∴.∠C0F=∠OAB=60°。 .△AOB是等边三角形。故选项D正确。 11.(-1,0)12.x=013.16 14.11【解析】(k+a)2-(k-b)2 =(k+a+k-b)(k+a-k+b) =(a+b)(2k+a-b)。 a+b=11,.原式=11(2k+a-b)。 (④ k为整数，.11(2k+a-b)能被11整除。 综上所述，x+y的最大值为900°。 即(k+a)2-(k-b)2的值总能被11整除。