专项突破6 有关平行四边形的常见问题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

.3x2+5x-12=(x+3)(3x-4)。 11,12,13。 6.解：(1)1【解析】(x+3)(x-4)=x2-x-12, “.符合条件的所有k的值的乘积为正数。 .x2-mx-12=x2-x-12。 .-m=-1。∴.m=1。 &m<4且a1【解折标小：3 x （2)设另一个因式为(x2+ax+k), (x+1)(x2+ax+k)=x+ax2+hx+x2+ax+h =3,解得x=m1 3。 =x3+(a+1)x2+(a+k)x+k。 关于x的分式方程的解小于1，且x≠0， ∴.x3+(a+1)x2+(a+k)x+k=x3+3x2-3x+h。 .a+1=3,a+k=-3。∴.a=2,k=-5。 1,且号0，解得m<4且m≠1。 m-1 ∴.另一个因式为x2+2x-5。 专项突破五利用分式方程的解求字母的值 9解解不等式宁得65。 或取值范围 解不等式5x-2≥x+a,得≥+2 1.A 2.解： .3=1 2x-1…3(x-1)=2x,解得x=3。 由不等式组有且只有四个整数解，得0<0+ 4≤1， 检验：当x=3时，2x(x-1)≠0， 解得-2<a≤2。 ∴，x=3是此方程的解。 解方程ta+2a」 把3代人品受得品4号 y-11-y =2,得y=2-ao 3+43,解得m=6 70 关于y的方程的解为非负数，.2-a≥0。.a≤2。 当m=9时m-2m=(92-2x9 y≠1，即2-a≠1，∴.a≠1。 7499 ∴.满足条件的整数a的值为-1,0,2。 3.B ∴.符合条件的所有整数a的和为-1+0+2=1。 10.A 4.D【解析】去分母，得m-1=2(x-1),解得x=m+1 11.解：(1)去分母，得2(x+1)+mx=3(x-2)。 关于x的分式方程的解为非负数， 去括号、移项、合并同类项，得(m-1)x+8=0。 当方程的增根为x=2时，（m-1)×2+8=0,∴.m=-3。 m≥0且1，解得m≥-1且m1。 (2)当方程有增根时，方程的增根为x=-1或2。 当x=2时，m=-3; 5B【解析：-2-1， 当x=-1时，(m-1)×(-1)+8=0,解得m=9。 x-1 x .m=9或-3。 x(x-@)-2(-1)三x(x-1),解得x 12.B【解析】方程两边同乘(x-1),得mx-1=3x-3。 ∴.(m-3)x=-2。 ·关于x的分式方程有一个正整数解， 当m-3=0,即m=3时，原方程无解，符合题意； .a+1=1或2。.a=0或1。 x-1≠0，.x≠1。.a≠1。.整数a的值为0。 当m-3≠0时，x=-2 m-3° 6.C【解析】解不等式组，得之m, 方程无解，.x-1=0。.x=1。.m-3=-2。 x>3。 .m=1。 不等式组的解集为x>3,.m≤3。 综上，当m=1或3时，原方程无解。 珍方院-9局泽，学兰 2≠2。 13.解：(1)小聪分式的分母不能为0 :关于y的分式方程有非负整数解，且m为整数， (2)mx x-33-x =2,.m+x=2(x-3),解得x=m+6。 .符合条件的整数m为-3，-1,3。 :关于x的方程的解为非负数，.m+6≥0，即m≥-6。 .符合条件的整数m的值的和为-3-1+3=-1。 又x-3≠0，∴.m+6≠3，即m≠-3。 7A【折会 、+2 .∴.m≥-6且m≠-3。 (3) 3-2xw-2-1,3-2x+nx-2=-(x-3)。 (2x+3)(x+3)=+2(x-2)(x+3),解得x=3 x-3x-3 ∴.(n-1)x=2。 -4<x<-1且(x-2)(x+3)≠0， 原方程无解，∴.n-1=0或x=3。 43<-1,解得-75<14且k0。 当n-1=0时，解得m=1;当x=3时，解得n= 3 k为整数， .k=-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 综上所述，当=1或}时，原方程无解。 专项突破六有关平行四边形的常见问题 ∴.∠BAC=∠B'AC=90°。 1.B 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23, 2.333.51°4.108° 5.2或6【解析】如图1，当BF⊥AD时，∠AMB=90°。 AC-3 AB=2.BC=VAB+AC-4 如图3，当∠ADB'=90°时，设CD与AB交于点0。 由折叠可得∠B=∠ADC=∠AB'C=30°， BC=B'C=AD,∠ODB'=60°。 :∠AOD=∠B'OC, .△AOD≌△COB'(AAS)。∴.OD=OB'。 图1 .△ODB是等边三角形。.∠CB'D=90°。 由折叠可得∠A=∠F=45°，∴.∠ABM=45°。 同理可得∠ACB'=90°。.∠ACB=90°。 AB=4√2，.AM=BM=4。 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23, 四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=10。 A0=40=。0=Vm-AC-, .DM=AD-AM=6; 如图2，当BF⊥AB时，∠ABF=90°。 A F(M)D 0 图2 图3 图4 由折叠可得∠A=∠BFE=45°， 如图4，当∠B'AD=90°，且点B'与点A在CD的异侧时， 此时点F与，点M重合。 设CD与AB'交于点G。 :AB=BF=4V2,AF=8。.DM=AD-AM=2。 ∠ADG=∠B=30°，DG=B'G=23-AG, 综上所述，DM的长为2或6。 ∴.DG=2AG=2√3-AG。 6.6或4或3或2【解析】如图1，当∠B'AD=90°时，延长 43 B'A交BC于点G。 ÷AG=23 AD=BC,BC=B'C,∴.AD=B'C。 .BC=AD=√DG2-AG=2。 :AD∥BC,∠B'AD=90°，∴.∠B'GC=90°。 综上所述，BC的长为6或4或3或2。 ∠B=30°，AB=2√3， 7.(1)证明：由折叠可得EF=DE,∠CFE=∠D。 AG=2B=5,∠ABrC=30. 四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠B=∠D。 BG-/AR-AG-3.CG-G-. .AE∥BF,∠B=∠CFE。.AB∥EF。 .四边形ABFE为平行四边形。 .G为BC的中，点。.BC=6; (2)解：·四边形ABFE为平行四边形 .BC=AD=6,EF=AB=4。DE=4。 ∴.AE=BF=AD-DE=2。 .四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=12。 8.A 9.B【解析】四边形ABCD是平行四边形， B G ∴.BC=AD=12cm,AD∥BC。 图1 图2 由题可知PD=QB。 如图2，当∠AB'D=90°时，设B'C与AD交于，点F。 .,点P的速度为1cm/秒， AD=BC,BC=B'C,..AD=B'Co .点P运动的时间为12÷1=12（秒）。 .AB'=AB=CD,AC=CA, .点Q运动的路程为12×4=48(cm)。 .△ACB'≌△CAD(SSS)。 .在BC上运动的次数为48÷12=4。 .∠ACB'=∠CAD。∴.AF=CF。 第一次PD=QB时，12-t=12-4t,解得t=0, .B'F=DF。∴.∠DB'F=∠B'DF。 不合题意，舍去； :∠AB'C=∠B=∠ADC, 第二次PD=QB时，12-t=4t-12,解得t=4.8; ∴.∠AB'D=∠CDB'=90°。∴.AB'∥CD。 第三次PD=QB时，12-t=36-4t,解得t=8; AB∥CD,.B,A,B在同一直线上。 第四次PD=QB时，12-t=4t-36,解得t=9.6。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·77· 在运动以后，以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次12.93或123或15√5【解析】如图1，过，点C作CH1 数有3次。 OA于点H。 y 10.C【解析】如图，过点D作DH LAC于点H,过，点C作 点A的坐标为(9,0)， CF⊥AD于点F。 .0A=9。 ·0D=。0A,.0D=3。 O(H)D 3 图1 点C的坐标为(3,3√3)， B :E是对角线AC上的动点， .OH=3,CH=3√3。∴.点D与点H重合。 .CE=4, ∴.当DE⊥AC,即点E与，点H重合时，DE最小，最小值 ∴.BE=BC-CE=OA-CE=5,AD=OA-OD=6。 是线段DH的长。 动，点P,Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以，点D, 四边形ABCD是平行四边形， E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时， ∴.CD=AB=2,∠ADC=∠B=60°。 可分以下情况： CF⊥AD,△CDF和△CFA都是直角三角形。 ①点P在OC上，点Q在BC上，如图2， 在Rt△CDF中，∠DCF=90°-∠ADC=30°， 点P与点0重合， Dr-方cD=l SOPDEO=PDCH=3X33=93; y 由勾股定理，得CF=√CD2-DF2=,√3。 E 在Rt△CFA中，AF=AD-DF=2, (P) (P) 由勾股定理，得AC=√AF严+CF产=√7。 O(HD A GDAD CF. 图2 图3 2 DE是对角线，如图3， ÷DH=AD.CF=3x/33V2I SOPDOE=PDCD=3x33=93; AC 7 ②点Q在0C上，点P在0A上，如图4， DB的最小值为3y2I 点C与点Q重合， 7 Sa0oPg=PD·CD=4×33=123; 11.①③④【解析】小：四边形ABCD是平行四边形， C(Q)E B C E B(P 1 六SAADG=Sae=2 SEANCR0故①正确； E是BC上的动点，.∠AED不一定是90°。 O(HD OA .AE与CG不一定平行。 图4 图5 .四边形AECG不一定是平行四边形。故②错误； ③点Q在OA上，点P在AB上，如图5， 当EG⊥AC时，：AB⊥AC,AB∥CD, 点P与点B重合， ∴.CD⊥AC。∴.CD∥EGo SDOPE=PE·CD=5x33=15V3。 DG∥CE, 综上所述，平行四边形的面积为9√3或123或15√5。 ,四边形CDGE是平行四边形。故③正确； 13.解：(1)当t=2.5时，四边形EDCF是平行四边形。 当AE⊥BC时，如图， 理由：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AD=BC=10cm,OB=OD。 ∴.∠ODE=∠OBF。 r∠ODE=∠OBF, B 在△DE0和△BF0中，OD=OB, ∠B=60°，AD∥BC, ∠DOE=∠BOF, ∴.∠BAD=120°，∠BAE=30°，∠DAE=90°。 ∴.△DEO≌△BFO(ASA)。.DE=BF=2tcm。 AB⊥AC,.∠BAC=90°，∠CAD=30°。 BC=10cm,∴.CF=(10-2t)cm。 设AB=CD=m,则AD=2CD=2m,BE= CF∥DE,∴.CF=DE,即10-2t=2t,解得t=2.5。 2m (2)如图，过点D作DM⊥BC于点M,过点O作ON1 AE=√AB2-BE-3 BC于点N。 m。 2ms DE=VAD+AET=19 2B。故④正确。 ·78· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 BD LCD,AB=CD=6 cm,BC=10 cm, （2)解：，D是AC的中点，AC=12cm,∴.CD=6cm。 ∴.由勾股定理，得BD=8cm。 .DE=4cm,∴.BC=8cm。 :SAc-28D.GD=2C·DM, 由勾股定理，得BD=√CD+BC2=I0cm。 DE=BF,DE∥BC,∴.四边形DEFB为平行四边形。 .6×8=10DM。∴.DM=4.8cm。 .四边形DEFB的周长=2×(4+10)=28(cm)。 OD=0B,.ON=DM=2.4 cm. 19.(1)证明：D,E分别是BC,AC的中点， .DE是△ABC的中位线。 Sae=76x8=24(em)。 .DE∥AB,DE=AB。 21 当t=3时，DE=BF=6cm, =1x2.4x6=7.2(cm2)。 .SABOF=2 AF=2AB,DE=AF。 又DE∥AF,∴.四边形ADEF为平行四边形。 .S四边形orcn=SARDC-S AROF=16.8cm2。 .AD∥EF。 14.c (2)解：如图，设AC与DF交于点H。 15.3cm 16.证明：，BD,CE分别是边AC,AB上的中线， ∴D,E分别是AC和AB的中点。 .DE是△ABC的中位线。 nE∥BC,DE=2BC。 R :M与N分别是线段OB,OC的中点， :AB2+AC2=62+82=100=102=BC2,.∠BAC=90°。 .MN是△OBC的中位线，.MN∥BC,MN= :E是AC的中点，AF=2AB,AB=6,AC=8, .DE∥MN,DE=MN。 .AE=CE=4,AF=3。 .四边形DEMN是平行四边形。 由(1)知，四边形ADEF为平行四边形， 17.(1)证明：D,E是线段AB,AC的中点， .AH=EH=2,FH=DH。 ∴.DE是△ABC的中位线。 在Rt△AFH中，FH=√AF2+AH=√I3。 DE/Bc,DE=Bc。 .DF=2√13。 20.证明：如图，过点D作DF∥AB。 DE=EF,∴DE=,DF。÷BC=DFg AD∥BC, ∴.四边形ABFD是平行四边形。 :BC∥DF,.四边形DFCB是平行四边形。 .AB=DF,∠DFC=∠B。 (2)解：如图，过点D作DM⊥BC于点M。 .∠B=∠C,∠DFC=∠C。 :AB=BC=6,D为AB的中点， ∴.DF=CD。.AB=CD。 BD=】AB=3。 21解：选②（答案不唯一）。 2 如图，连接BF,DE。 :四边形DFCB是平行四边形， ∴.∠B=∠F=60°。 :DM⊥BC,.∠DMB=90°。 ∠BDM=90°-LB=30°。·BM=2BD= 20 四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD。 在R△BDM中，DM=√BD2-BM_3 2。 OE=OF,.四边形BEDF为平行四边形。 .BE=DF。 二平行四边形DFCB的面积为，3×6=9w3。 22.解：(1)如图1，作BM∥AD交CD的延长线于点M。 18.(1)证明：D,E分别是AC,AB的中点， ∴.DE为△ABC的中位线。 .DE∥BC,DE=BC。 2 图1 CF=3BF,.BF=BC。∴.DE=BF。 2 :AB∥CD,∴.AB∥DM。 ∴.四边形ABMD是平行四边形。 分两种情况： .AB=DM,BM=AD。.AB+CD=DM+CD=CM。 ①当4是腰长时，三角形的三边长分别为4,4,6， 'AD⊥BC,∴.∠CBM=∠COD=90°。 满足三角形的三边关系定理， .BC=6,AD=4,∴.BM=4。 此时这个等腰三角形底边上的高为√42-32=√7。 .CM=√JBC2+BM2=2√13。 .AB+CD=2√/13。 这个等腰三角形的面积为2X6x7=37; (2)①如图2，在AC上取一点E,使AE=CD,连接BE交 ②当6是腰长时，三角形的三边长分别为4,6,6， AD于点P。 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形底边上的高为√62-22=42， 这个等腰三角形的面积为×44万=8几。 综上所述，这个等腰三角形的面积为37或8√2。 易错典例二 图2 80°或100°【解析】如图1， ②如图2，作BQ⊥BC,DQ⊥AD,BQ与DQ交于点Q, DM,EN分别垂直平分AB和AC, 则∠DBQ=∠ADQ=90°。 .AD=BD,AE=CE。 ∠C=90°，∴.∠BDQ+∠ADC=90°=∠CAD+∠ADC。 .∠BAD=∠B,∠CAE=∠C。 .∠BDQ=∠CAD。 ·∠BAD+∠B+∠CAE+∠C-∠DAE=180°， r∠BDQ=∠CAD, .2(∠B+∠C)=200°。.∠B+∠C=100°。 在△BDQ和△CAD中，{DB=AC, ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=80°； L∠DBQ=∠C, .△BDO≌△CAD(ASA)。.∴.DQ=AD,BQ=CD。 ∴.∠QAD=∠AQD=45°。 :∠DBQ+∠C=180°，CD=AE, .BQ∥AE,BQ=AE。 ∴.四边形AEBQ是平行四边形。 图1 图2 ∴.BE∥AQ。∴.∠BPD=∠QAD=45°。 如图2，同理可得∠BAD=∠B,∠CAE=∠C。 ③BE=√2AD。 .'∠BAD+∠B+∠CAE+∠C+∠DAE=180°， 证明：由②，得∠ADQ=90°，DQ=AD, ∴.2（∠B+∠C)=160°。.∠B+∠C=80°。 ∴.AQ=√DQ+AD2=√2AD。 ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠C)=100°。 :四边形AEBQ是平行四边形 变式练习 ∴.AQ=BE。∴.BE=√2AD。 D【解析】如图1，由线段垂直平分线性质可知， 专项突破七易错题专练 AP=BP,AQ=CQ, 易错典例一 ∴.△AQP的周长为AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=10; √1巧【解析】分两种情况： ①当2是腰长时，三角形的三边分别为2,2,4， 2+2=4,不能组成三角形； ②当2是底边长时，三角形的三边分别为2,4,4， 能组成三角形。 如图，过，点A作AD LBC于点D。 图1 图2 AB=AC-4BD=CD-2BC-1. 如图2，同理可得AP=BP,AQ=CQ。 .'.△AOP的周长为AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BP+CP 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 PQ+PQ=BC+2PQ=14。 AD=√AB2-BD2=√/15。 综上所述，△AQP的周长为10或14。 △ABC的面积为2BC·AD=X2x/下=V下。 1 易错典例三 4【解析】小：中转站要到三条公路的距离都相等， 综上所述，这个等腰三角形的面积为√下。 .货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内 变式练习 角或外角平分线的交点， 3√7或82【解析】.(a-4)2+1b-61=0, 而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点。 ∴.a-4=0,b-6=0。.a=4,b=6。 .货物中转站可供选择的地址有4个。 变式练习 解：如图，点P,点P'即为所求。 ÷aC=BR4C&=8R66=8om A .BE=6cm。∴.t=6÷3=2。 变式练习 D D【解析】线段AB∥y轴，且AB=3,其中点A的坐标为 0 (2,1), 易错典例四 ∴.点B的坐标为(2,4)或(2，-2)。 A【解析】解不等式x-a≤0，得x≤a。 .线段AB先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单 解不等式1-2x<3,得x>-1。 位长度后点B的坐标为(1,2)或(1，-4)。 不等式组仅有3个整数解， 易错典例七 .这3个整数解为0,1,2。 D【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3, .a的取值范围是2≤a<3。 由勾股定理，得AB=√AC+BC2=5。 变式练习 如图1，当，点E落在线段AB上时， -6【每标]部不等式 <x+1,得x<3。 由旋转可得AE=AC=4,DE=BC=3, ∠AED=∠C=90°， 解不等式2(x+1)≥+，得x≥a,2 ∴.∠BED=90°，BE=AB-AE=1。 o 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 不等式组有且仅有4个整数解， BD=√DE+BE=√/I0; .这4个整数解为-1,0,1,2。 2×0-2 ≤-1，解得-4<a≤-1。 .整数a的值为-3，-2，-1， ∴.整数a的值之和为-3+(-2)+(-1)=-6。 易错典例五 3支或1支【解析】设小张购买的铅笔有x支。 图1 图2 根据题意，得202“>。解得<50 20-3-3x 17 如图2，当，点E落在AB反向延长线上时， 由旋转可得AE=AC=4,DE=BC=3, .x的正整数值为3,2,1。 ∠AED=∠C=90°，∴.BE=AB+AE=9。 11-38-4: 在Rt△BDE中，由勾股定理，得 当x=3时，2 BD=√DE2+BE2=3√10。 17-3x=5.5,舍去 当x=2时，2 综上所述，线段BD的长为√10或3√10。 变式练习 17-3%-1。 当x=1时，2 B【解析】如图，过，点B作BD⊥AC于，点D,作BE⊥A'C 于点E。 .小张购买的铅笔可能有3支或1支。 将△ABC绕点B逆时针旋转0(0°<0<90)到△A'BC', 变式练习 ..△ABC≌△A'BC'。 17(答案不唯一）【解析】设5人一组可分为x组，7人 .BD=BE。BP平分∠A'PC 组可分为y组，则5x+2=7y+3。 :∠C=∠C'=40°，∠BQC=∠PQC, .5x+2≤100,7y+3≤100， ∴.∠CBQ=∠CPQ=0。 ∠BPQ=2(180°-LCPQ)=90- 1 9897. 六x≤5y≤7(x,y均为正整数)。 2。 分三种情况： .当x=3,y=2时，士兵总数为17人， ①如图1，当PB=PQ时， 当x=10,y=7时，士兵总数为52人， ∠PBQ=∠PQB=∠C+∠CBQ=40°+0。 当x=17,y=12时，士兵总数为87人。 .∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°， 易错典例六 2或4【解析】①当，点E在点C右侧时， .90°- 29+2(40+0)=180°，解得9=( AD=BE=BC+CE=3CE, .CE=2 BC=4cm。.AD=12cm .t=12÷3=4; Q ②当点E在点B,点C之间时， AD=BE=CF=3CE, 图1 图2 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 。79.专项突破六 有关平行四边形的常见问题 类型一 平行四边形中的折叠问题 1.如图，在口ABCD中，∠A=70°，将口ABCD折叠，使点D,C分别落在点F,E处（点F,E都在AB所在 的直线上)，折痕为MN,则∠AMF的度数为 A.70° B.40° C.30° D.20° D E D 孙 E 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在口ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B=60°， AB=3,则AC的长为 3.如图，E为口ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE,点F在BD上，且EF=DF。 若∠C=52°，则∠ABE的度数为 0 4.如图，在口ABCD中进行折叠操作，使得点C恰好落在边AD上的点C'处。已知∠1=60°，∠2=42°， 则∠C的度数为 B 救 B 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在口ABCD中，AB=4V2,BC=10,∠A=45°，E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠得到 △FEB,设BF与AD交于点M,当BF与口ABCD的一边垂直时，DM的长为 0 6.如图，在口ABCD中，∠B=30°，AB=2√3，将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连接B'D。当BC的长为 时，△AB'D是直角三角形。 7.如图，将☐ABCD沿CE折叠，使点D落在边BC上的F处，点E在AD上。 (1)求证：四边形ABFE为平行四边形； (2)若AB=4,BC=6,求四边形ABFE的周长。 类型二平行四边形中的动点问题 8.如图，E是口ABCD的边CD上一动点，以BE为一条边作口BEFG,使点A始终在边FG上，在动点E 从点C向点D运动的过程中，关于口BEFG的面积，下列说法正确的是 A.始终不变 B.逐渐减小 C.先减小再增大 D.变化情况不能确定 A-P D D 料 0 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在口ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点 Q在边BC上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D 时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有 （) A.4次 B.3次 C.2次 D.1次 10.如图，在□ABCD中，AB=2,AD=3,∠B=60°，E是对角线AC上的动点，连接DE,则DE的最小值为 A.3 B.7 3√21 C. 1 D.221 3 11.如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB⊥AC,E是线段BC上一动点，连接AE,DE,过点C作线段DE的垂 线，垂足为F,与AD交于点G,下列说法正确的有 ①S△4Bc=S△4DE;②四边形AECG是平行四边形；③连接EG,当EG⊥AC时，四边形CDGE是平行四边 形；④当AE⊥BC时，DE=19A 2AB。 ODA 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(9,0)，点C的坐标为(3,3√3)，四边形OABC是平 行四边形，点D,E分别在边01，BC上，且0D=?01,CE=4。动点P,Q在平行四边形0ABC的一组 邻边上，以点D,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 13.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD⊥CD,AB=6cm,BC=10cm。点E从点D出发 沿DA方向以2c/s的速度匀速运动，到点A时停止运动，连接EO并延长交BC于点F。设运动时 间为ts。 (1)当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由； (2)当t=3时，求四边形OFCD的面积。 类型三平行四边形与三角形的中位线结合问题 14.如图，在△ABC中，AB≠AC,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，则下列结论错误的是 A.DE∥BC B.∠B=∠EFC C.∠BAF=∠CAF D.OD=OE D B 第14题图 第15题图 15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OA,OB的中点。若AC+ BD=24cm,△OAB的周长为18cm,则EF的长为 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·49. 16.如图，在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线，BD与CE相交于点O,M与N分别是线段 OB,OC的中点，连接DE,EM,MN,DN。求证：四边形DEMN是平行四边形。 17.如图，在△ABC中，D,E分别是线段AB,AC的中点。连接DE并延长至点F,使EF=DE,连接CF。 (1)求证：四边形DFCB是平行四边形； (2)若AB=BC=6,∠F=60°，求四边形DFCB的面积。 18.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,AB的中点，F是CB延长线上的一点，且CF=3BF,连接DB,EF。 若∠ACB=90°，AC=12cm,DE=4cm。 (1)求证：DE=BF; (2)求四边形DEFB的周长。 19.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，延长BA至点F,使得AF=。AB,连接DE,AD, EF,DF。 (1)求证：AD∥EF; (2)若AB=6,AC=8,BC=10,求DF的长。 类型四做辅助线构造平行四边形问题 20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠C,求证：AB=CD。 ·50· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 21.在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程。 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上， (填 写序号)。 求证：BE=DF。 E 22.【类比学习】在八年级上学期，我们学习了全等三角形后，发现有些试题通过构造全等三角形，再利 用全等三角形的性质就可以解决这类几何问题。 本学期我们学习平行四边形，现在我们一起研究，通过构造平行四边形解决某类几何问题。 例：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE∥AB,AD=4,BE=3,求AB-DE的值。 通过同学们的思考与交流，归纳以下四种构造平行四边形方法： 思路一：如图2，过点D作DF∥BE,构造平行四边形BEDF,得BE=DF=3,DE=BF,∠ACB= ∠ADF=90°，由勾股定理，得AF=5,即AB-DE=5; 思路二：如图3，过点E作EF∥AD; 思路三：如图4，过点A作AF∥BE; 思路四：如图5，过点B作BF∥AD。 【迁移应用】利用在上述案例中学到的知识与方法，解决以下问题： (1)如图6，AD,BC相交于点0，AB∥CD,BC=6,AD=4,AD⊥BC,垂足为O,求AB+CD的值； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别为线段BC,AC上一点，BD=AC,CD=AE,BE交AD于点P。 ①根据题意在图7上补全图形； ②直接写出∠BPD的度数； ③猜想BE与AD的数量关系，并证明你的结论。 D 图1 图2 图3 图4 D C 图5 图6 图7