专项突破4 因式分解方法的拓展-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

专项突破四 因式分解方法的拓展 类型一分组分解法 1.下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程： 甲：x2+xy-2x-2y 乙：a2-b2+2b-1 =(x+xy)-(2x+2y)(先分成两组) =a2-(b2-2b+1)(先分成两组)》 =x(x+y)-2(x+y) =a2-(b-1)2 =(x+y)(x-2)。 =(a+b-1)(a-b+1)。 两位同学因式分解的方法叫作分组分解法，请你仔细观察并对以 下多项式进行因式分解。 (1)m2-n2+m+n; (2)a2-2ab+b2-1。 类型二添（拆）项法 2.【阅读材料】 对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为(a+b)2的形式，但对 于二次三项式a2+2ab-8b2,就不能直接用公式了，我们可以在二 次三项式a2+2ab-8b2中先加上一项b2,使其成为完全平方式，再 减去b2这项（这里也可把-8b2拆成+b2与-9b2的和），使整个式 子的值不变。 于是有：a2+2ab-8b2=a2+2ab-8b2+b2-b2 =(a2+2ab+b2)-8b2-b2=(a+b)2-962 =[(a+b)+3b][(a+b)-3b]=(a+4b)(a-2b)。 我们把像这样将二次三项式因式分解的方法叫作添（拆）项法。 【应用材料】 (1)上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现因式分解： (2)请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式因 式分解： ①m2+6m+8; ②a+a2b2+b4。 3.何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了 一个有解答过程的例题。 例：若m+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值。 解：.m2+2mn+2n2-6n+9=0,∴.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0。 ∴.(m+n)2+(n-3)2=0。 ∴.m+n=0,n-3=0。∴.m=-3,n=3。 为什么要对2n2进行拆项呢？ 聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问 题。相信你也能很好地解决下面的这两个问题，请写出你的解题 过程。 解决问题： (1)若x2-4xy+5y2+2y+1=0,求x'的值； (2)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+12b-61,c是 △ABC中最短边的边长，且c为整数，则c可能是哪几个数？ 类型三整体法/换元法 4阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到“整体思想”，即对结构比较复 杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，则 能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式 结构复杂程度等方面有独到作用。 下面是小龙同学用“整体思想”对多项式(x2-4x)2+8(x2-4x)+16 进行因式分解的过程。 解：设x2-4x=y, 原式=y2+8y+16(第一步) =(y+4)2(第二步) =(x2-4x+4)2(第三步)。 请根据上述材料回答下列问题： (1)小龙同学的解法中，第二步运用了因式分解的 A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法 (2)你认为小龙同学的结果正确吗？ （填“正确”或“不 正确”)，若不正确，请直接写出你认为正确的结果； (3)请你用“整体思想”对多项式ab(a+b)2-2(a+b)2+4进行因式 分解。 类型四十字相乘法 5.阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：2x2-x-3。 第一步：二次项系数2可以写成1×2，常数项-3可以写成-1×3或 1×(-3): 第二步：如图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将-1、3或1、-3 写在“×”号的右边，共有如图的四种情形； 第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； X3人3 ① ② ④ ①的系数为1×3+2×(-1)=1；②的系数为1×(-3)+2×1=-1； ③的系数为1×1+2×(-3)=-5；④的系数为1×(-1)+2×3=5。 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此2x2 x-3=(x+1)(2x-3)。像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项 式因式分解的方法，叫作十字相乘法。仿照以上方法，因式分解： 3x2+5x-12= 类型五待定系数法 6.【例题讲解】 因式分解：x3-1。 x3-1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项 式和一个二次多项式的乘积。 故我们可以猜想x3-1可以分解成(x-1)(x2+ax+b), 展开等式右边，得x3+(a-1)x2+(b-a)x-b, ∴.x3-1=x3+(a-1)x2+(b-a)x-b恒成立。 ∴.等式两边多项式的同类项的对应系数相等， ra-1=0, 「a=1, 即b-a=0,解得 b=1, -b=-1, .x3-1=(x-1)(x2+x+1)。 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为 恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求 的值，这种方法叫待定系数法。 【学以致用】 (1)若x2-mx-12=(x+3)(x-4),则m的值为 (2)若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1,求k的值及另一个因式。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·47.GE交AB的延长线于点H。 ·△ABD≌△ACE,∴.∠ABD=∠ACE。 ·∠ABM+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF, .∠ACE+∠CMF=90°。∴.∠BFC=90°。 (3).∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=LCAE。 rAB=AC, H 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, 图2 LAD=AE. DF=EF. ∴.△ABD≌△ACE(SAS)。∴.BD=CE,∠ADB=∠AEC。 在△ADF和△GEF中， ∠DFA=∠EFG, AD=AE,∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°。 LAF=GF, B,D,E三点共线，.∠ADB=∠AEC=135°。 ∴.△ADF≌△GEF(SAS)。∴.AD=GE,∠DAF=∠EGF。 ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=90°。 ∴.GH∥AD。∴.∠BAD+∠H=180°。 ∠EBF=90°，.CE∥BF。.SACEF=S△cBo :AD=AC,∴.AC=GE。 ∴.SACDE+SAEDF=SACDE+S△BDG,即SAEDF=S△BDGG .∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-（∠BAD-a)-(∠ABE-180°+a) BCEDp =180°-∠BAD+a-∠ABE+180°-a 7.解：(1)①60°【解析】：∠B=30°，∠ACB=90, =∠H+∠EBH=∠GEB。 ∴.∠A=90°-∠B=60°。 AC=GE 由旋转可得AC=CD。∴.△ACD是等边三角形。 在△ABC和△GBE中， ∠ACB=∠GEB, ∴.∠ACD=60°，即旋转角的大小为60°。 BC=BE, ②2【解析】如图1，过点C作CH⊥AD于点H。 .△ABC≌△GBE(SAS)。AB=GB,∠ABC=∠GBE。 .'AC=CD,.∠ACH=∠DCH。 :FG=AF,∴.BF⊥AG,∠ABG=2∠ABF。∴.∠AFB=90°。 :∠ACH+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，.∠ACH=∠B。 :AF=BF,∴.∠ABF=45°。 ∴.∠ACD=2∠ACH=2∠B=2a, 5.解：(1)B(2)40【解析】AB=BC, 即旋转角的大小为2。 .∠BAC=∠ACB=70°。 ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°， 即旋转角是40°。 (3)△BOD是等边三角形。理由如下： :AB=BC,∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形。∴.∠ABC=60°。 由旋转可得BD=BO。 :∠OBD=∠ABC=60°，.△BOD是等边三角形。 图1 图2 6.解：(1)①△ACE (2)小扬同学猜想是正确的。证明如下： ②30°【解析】：AD=AE,∠DAE=30°， 如图2，过点B作BN⊥CD交CD延长线于点N,过点E .∠ADE=∠AED=75°。∴∠ADB=180°-∠ADE=105°。 作EM⊥AC交AC延长线于点M。 ,△ABD≌△ACE,.∠AEC=∠ADB=105°。 .∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=30°。 ∴.∠1+∠2=∠3+∠2=90°。∴.∠1=∠3。 （2)①证明：·∠BAC=∠DAE=90°， :BN⊥CD,EM⊥AC,∴.∠BNC=∠EMC=90°。 .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE。 由旋转可得BC=CE,AC=CD。 rAB=AC, ∴.△CBN≌△CEM(AAS)。∴.BN=EM。 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, LAD=AE. y5x-cD:Bw,Sm=4c·E, .△ABD≌△ACE(SAS)。.BD=CE。 ∴.SARDC=S△ACEo ②如图，设AC与BD交于点M。 8.解：(1)PM=PNPM⊥PW【解析】：M,P,N分别是 DE,CD,BC的中点， PM/∥CE,PM=cE,Pw∥BD,PN=BD。 2 .AB=AC,AD=AE,∴.BD=CE。.PM=PN。 PM∥CE,PN∥BD, .∴.∠DPM=∠ACD,∠DPN=∠ADC。 ·76· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 :∠BAC=90°，.∠ADC+∠ACD=90°。 :∠ABA'=60°，∴.∠A'BD=30°。 .∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠ADC=90°， A'B=4,.A'D=2。 即PM⊥PN。 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得BD=√A'B-A'D2=23。 (2)△PMW是等腰直角三角形。理由如下： 如图，连接CE,BD。 ∴.CD=4+23。 在Rt△A'DC中，由勾股定理，得 由旋转可得∠BAD=∠CAE。 AB=AC,AD=AE, A'C=√A'D2+CD2=2√2+2√6， .△ABD≌△ACE(SAS)。 即AP+BP+CP的最小值为2√2+2√6。 ·.∠ABD=∠ACE,BD=CE。 专项突破四因式分解方法的拓展 同(1)可得PN=2BD,PM=2CE。 1.解：(1)m2-n2+m+n=(m2-n2)+(m+n) =(m+n)(m-n)+(m+n) ∴.PM=PW。.△PMWN是等腰三角形。 =(m+n)(m-n+1)。 同(1)可得PM∥CE,PN∥BD。 (2)a2-2ab+b2-1=(a2-2ab+b2)-1 ∴.∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC。 =(a-b)2-1 .∠DPN=∠BCD+∠PNC=∠BCD+∠DBC, =(a-b-1)(a-b+1)。 ∴.∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠BCD+∠DBC 2.解：(1)公式 =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC (2)①m2+6m+8=m2+6m+9-1 =∠ACB+∠ABC。 =(m+3)2-12 :∠BAC=90°，.∠ACB+∠ABC=90° =(m+3+1)(m+3-1) ∴.∠MPV=90°。∴.△PMW是等腰直角三角形。 =(m+4)(m+2)。 (3)在Rt△ABC中，AB=AC,BC=4, ②a4+a2b2+b4=a4+2a22+b4-a2b2 .AB2+AC2=BC2=42。.AB=AC=2W2。 =(a2+b2)2-(ab)2 同理可得AD=AE=√2。 =(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)。 3.解：(1)x2-4xy+5y2+2y+1=0, 由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN= ∴.x2-4xy+4y2+y2+2y+1=0。 .当PM最大时，△PMN面积最大， .(x-2y)2+(y+1)2=0。 此时点D在BA的延长线上。 ∴.x-2y=0,y+1=0。 ∴.x=-2,y=-1。 .BD=AB+AD=22+√2=32。 故x=(-2)1= 1 ·PM=32 2 (2):a2+b2=10a+12b-61, 9.解：(1)6【解析】由旋转可得∠A'BA=60°，A'B=AB= .a2-10a+25+b2-12b+36=0。 2,AP=A'C。 .(a-5)2+(b-6)2=0。 .△A'BA是等边三角形。.AA'=AB=2。 ∴.a-5=0,b-6=0。 在△AA'C中，A'C<AA'+AC,即AP<6。 .a=5,b=6。 当A',A,C三点共线时，A'C=AA'+AC, ∴.1<c<11。 即AP=6。∴.AP的最大值为6。 :c为最短边的边长，且c为整数， (2)①旋转后的图形如图。 .c为2,3,4,5。 4解：(1)C (2)不正确【解析】小：小龙分解不彻底， “结果不正确。 (x2-4x+4)2=[(x-2)2]2=(x-2)4。 (3)把a+b作为一个整体， ②如图，连接A'C,A'A,过点A'作A'D⊥CB的延长线于 .ab(a+b)2-2(a+b)2+4 点D。 =a(a+b)·b(a+b)-2(a+b)(a+b)+(-2)×(-2) △ABC是等腰直角三角形，∴.AB=BC=4。 =[a(a+b)-2][b(a+b)-2] 由旋转可得∠ABA'=60°，AB=A'B=4,AP=A'P',BP= =(a2+ab-2)(b2+ab-2)。 BP',∠PBP'=60°。 5.(x+3)(3x-4)【解析】用十字相乘法分解3x2+5x-12 .PBP'是等边三角形。 所采用的十字如下： ∴.BP=PP'=4。∴AP+BP+CP=A'P'+PP'+CP。 \/3 当A',P',P,C四点共线时，A'P+PP'+CP最短， 3 即线段A'C最短，∴.AP+BP+CP=A'C。 3×3+1×(-4)=5 .3x2+5x-12=(x+3)(3x-4)。 11,12,13。 6.解：(1)1【解析】(x+3)(x-4)=x2-x-12, “.符合条件的所有k的值的乘积为正数。 .x2-mx-12=x2-x-12。 .-m=-1。∴.m=1。 &m<4且a1【解折标小：3 x （2)设另一个因式为(x2+ax+k), (x+1)(x2+ax+k)=x+ax2+hx+x2+ax+h =3,解得x=m1 3。 =x3+(a+1)x2+(a+k)x+k。 关于x的分式方程的解小于1，且x≠0， ∴.x3+(a+1)x2+(a+k)x+k=x3+3x2-3x+h。 .a+1=3,a+k=-3。∴.a=2,k=-5。 1,且号0，解得m<4且m≠1。 m-1 ∴.另一个因式为x2+2x-5。 专项突破五利用分式方程的解求字母的值 9解解不等式宁得65。 或取值范围 解不等式5x-2≥x+a,得≥+2 1.A 2.解： .3=1 2x-1…3(x-1)=2x,解得x=3。 由不等式组有且只有四个整数解，得0<0+ 4≤1， 检验：当x=3时，2x(x-1)≠0， 解得-2<a≤2。 ∴，x=3是此方程的解。 解方程ta+2a」 把3代人品受得品4号 y-11-y =2,得y=2-ao 3+43,解得m=6 70 关于y的方程的解为非负数，.2-a≥0。.a≤2。 当m=9时m-2m=(92-2x9 y≠1，即2-a≠1，∴.a≠1。 7499 ∴.满足条件的整数a的值为-1,0,2。 3.B ∴.符合条件的所有整数a的和为-1+0+2=1。 10.A 4.D【解析】去分母，得m-1=2(x-1),解得x=m+1 11.解：(1)去分母，得2(x+1)+mx=3(x-2)。 关于x的分式方程的解为非负数， 去括号、移项、合并同类项，得(m-1)x+8=0。 当方程的增根为x=2时，（m-1)×2+8=0,∴.m=-3。 m≥0且1，解得m≥-1且m1。 (2)当方程有增根时，方程的增根为x=-1或2。 当x=2时，m=-3; 5B【解析：-2-1， 当x=-1时，(m-1)×(-1)+8=0,解得m=9。 x-1 x .m=9或-3。 x(x-@)-2(-1)三x(x-1),解得x 12.B【解析】方程两边同乘(x-1),得mx-1=3x-3。 ∴.(m-3)x=-2。 ·关于x的分式方程有一个正整数解， 当m-3=0,即m=3时，原方程无解，符合题意； .a+1=1或2。.a=0或1。 x-1≠0，.x≠1。.a≠1。.整数a的值为0。 当m-3≠0时，x=-2 m-3° 6.C【解析】解不等式组，得之m, 方程无解，.x-1=0。.x=1。.m-3=-2。 x>3。 .m=1。 不等式组的解集为x>3,.m≤3。 综上，当m=1或3时，原方程无解。 珍方院-9局泽，学兰 2≠2。 13.解：(1)小聪分式的分母不能为0 :关于y的分式方程有非负整数解，且m为整数， (2)mx x-33-x =2,.m+x=2(x-3),解得x=m+6。 .符合条件的整数m为-3，-1,3。 :关于x的方程的解为非负数，.m+6≥0，即m≥-6。 .符合条件的整数m的值的和为-3-1+3=-1。 又x-3≠0，∴.m+6≠3，即m≠-3。 7A【折会 、+2 .∴.m≥-6且m≠-3。 (3) 3-2xw-2-1,3-2x+nx-2=-(x-3)。 (2x+3)(x+3)=+2(x-2)(x+3),解得x=3 x-3x-3 ∴.(n-1)x=2。 -4<x<-1且(x-2)(x+3)≠0， 原方程无解，∴.n-1=0或x=3。 43<-1,解得-75<14且k0。 当n-1=0时，解得m=1;当x=3时，解得n= 3 k为整数， .k=-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 综上所述，当=1或}时，原方程无解。 专项突破六有关平行四边形的常见问题 ∴.∠BAC=∠B'AC=90°。 1.B 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23, 2.333.51°4.108° 5.2或6【解析】如图1，当BF⊥AD时，∠AMB=90°。 AC-3 AB=2.BC=VAB+AC-4 如图3，当∠ADB'=90°时，设CD与AB交于点0。 由折叠可得∠B=∠ADC=∠AB'C=30°， BC=B'C=AD,∠ODB'=60°。 :∠AOD=∠B'OC, .△AOD≌△COB'(AAS)。∴.OD=OB'。 图1 .△ODB是等边三角形。.∠CB'D=90°。 由折叠可得∠A=∠F=45°，∴.∠ABM=45°。 同理可得∠ACB'=90°。.∠ACB=90°。 AB=4√2，.AM=BM=4。 在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=23, 四边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=10。 A0=40=。0=Vm-AC-, .DM=AD-AM=6; 如图2，当BF⊥AB时，∠ABF=90°。 A F(M)D 0 图2 图3 图4 由折叠可得∠A=∠BFE=45°， 如图4，当∠B'AD=90°，且点B'与点A在CD的异侧时， 此时点F与，点M重合。 设CD与AB'交于点G。 :AB=BF=4V2,AF=8。.DM=AD-AM=2。 ∠ADG=∠B=30°，DG=B'G=23-AG, 综上所述，DM的长为2或6。 ∴.DG=2AG=2√3-AG。 6.6或4或3或2【解析】如图1，当∠B'AD=90°时，延长 43 B'A交BC于点G。 ÷AG=23 AD=BC,BC=B'C,∴.AD=B'C。 .BC=AD=√DG2-AG=2。 :AD∥BC,∠B'AD=90°，∴.∠B'GC=90°。 综上所述，BC的长为6或4或3或2。 ∠B=30°，AB=2√3， 7.(1)证明：由折叠可得EF=DE,∠CFE=∠D。 AG=2B=5,∠ABrC=30. 四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠B=∠D。 BG-/AR-AG-3.CG-G-. .AE∥BF,∠B=∠CFE。.AB∥EF。 .四边形ABFE为平行四边形。 .G为BC的中，点。.BC=6; (2)解：·四边形ABFE为平行四边形 .BC=AD=6,EF=AB=4。DE=4。 ∴.AE=BF=AD-DE=2。 .四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=12。 8.A 9.B【解析】四边形ABCD是平行四边形， B G ∴.BC=AD=12cm,AD∥BC。 图1 图2 由题可知PD=QB。 如图2，当∠AB'D=90°时，设B'C与AD交于，点F。 .,点P的速度为1cm/秒， AD=BC,BC=B'C,..AD=B'Co .点P运动的时间为12÷1=12（秒）。 .AB'=AB=CD,AC=CA, .点Q运动的路程为12×4=48(cm)。 .△ACB'≌△CAD(SSS)。 .在BC上运动的次数为48÷12=4。 .∠ACB'=∠CAD。∴.AF=CF。 第一次PD=QB时，12-t=12-4t,解得t=0, .B'F=DF。∴.∠DB'F=∠B'DF。 不合题意，舍去； :∠AB'C=∠B=∠ADC, 第二次PD=QB时，12-t=4t-12,解得t=4.8; ∴.∠AB'D=∠CDB'=90°。∴.AB'∥CD。 第三次PD=QB时，12-t=36-4t,解得t=8; AB∥CD,.B,A,B在同一直线上。 第四次PD=QB时，12-t=4t-36,解得t=9.6。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·77·