专项突破3 与旋转有关的探究题-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

专项突破三 与旋转有关的探究题 类型一探究线段的长度或数量关系 1.如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。 (1)线段AC,BD的数量关系是 ;直线AC,BD的位置关系是 (2)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图2中画出旋转后的△OAB; (3)将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC,BD得到图3，这时(1)中的两个结论是 否成立？作出判断并说明理由。若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出 判断，不必说明理由。 训 图1 图2 图3 2.下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务。 救 【问题探究】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AB上，连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋 转90°得到线段CE,连接BE,请猜想AD和BE的数量关系与位置关系，并说明理由； 【问题再探】 (2)在(1)的条件下，连接AE。兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现△CAE和 △CDB的面积相等。为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至点F,使CF=AC,连接EF,从 而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作DM⊥BC于点M,过点E作EN⊥AC于点N,从而得以 证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程 【问题解决】 (3)如图4，∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点D在AB上，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点 E,使SACAE=SACDR,请直接写出相应的BE的长。 图1 图2 图3 图4 类型二探究角的度数或数量关系 3.(1)如图1,0是等边三角形ABC内一点，连接0A,0B,OC,且OA=3,OB=4,0C=5,将△BA0绕点B 顺时针旋转后得到△BCD,连接OD。 求：①旋转角的度数为—； ②线段OD的长为 ③求∠BDC的度数； (2)如图2，O是等腰直角三角形ABC(∠ABC=90)内一点，连接OA,OB,OC,将△BA0绕点B顺时 针旋转后得到△BCD,连接OD。当OA,OB,OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明。 A D 图1 图2 4.已知：线段AB和点C,将线段AC绕点A逆时针旋转α(0°<α≤90)，得到线段AD,将线段BC绕点B 顺时针旋转180°-，得到线段BE,连接DE,F为DE的中点，连接AF,BF。 (1)如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，求出∠AFB的度数； (2)如图2，点C在线段AB的上方，AF=BF,请写出∠ABF的度数，并说明理由。 D A B A✉ 图1 图2 类型三探究三角形的形状 5.如图，在△ABC中，AB=BC,O是△ABC内一点，将△AB0旋转后能与△BCD重合。 (1)旋转中心是点 ； (2)若∠ACB=70°，旋转角是 (3)若∠ACB=60°，请判断△BOD的形状并说明理由。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·45. 类型四探究规律问题 6.某数学兴趣小组开展“共顶点等腰三角形旋转”实验，将两个有公共顶点A的等腰三角形ABC和等腰 三角形ADE绕点A旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律。请结合操作过程完成以下问题： (1)如图1，在等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=30°(AB> AD),同学将△ADE绕点A旋转，使点D落在边AC上，且B,D,E三点共线，连接BD,CE。 ①与△ABD全等的三角形是 ②∠BEC的度数为 (2)如图2，在等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°(AB> AD),同学将△ADE绕点A旋转，连接BD,CE交于点F。 ①证明：BD=CE; ②求∠BFC的度数； (3)如图3，在(2)的操作中，同学将△ADE绕，点A旋转，使B,D,E三点共线，连接CD并延长交EA的 延长线于点F,连接BF,通过测量得到此时BF=BE,∠EBF=90°，请直接写出线段BD与△EDF 面积之间的数量关系。 图1 图2 图3 7.新考法〔过程性学习〕如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°。若 固定△ABC,将△DEC绕点C旋转。 (1)当△DEC绕点C顺时针旋转到点D恰好落在边AB上时，如图2。 ①当∠B=∠E=30时，此时旋转角的大小为 ②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)。 (2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相 等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想；若不正确，请说明理由。 B(E D A(D) 图1 图2 图3 ·46· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 类型五探究最值问题 8.如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接CD,M,P,N分别 为DE,CD,BC的中点。 (1)观察猜想： 图1中，线段PM与PW的数量关系是 ,位置关系是 (2)探究证明： 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MW,判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出△PMW面积的最大值。 W W 图1 图2 9.新考法〔阅读理解〕阅读下面材料： 小莹遇到这样一个问题：如图1，在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中，AB=2,AC=4,以BC 为边在BC的下方作等边三角形PBC,求AP的最大值。 小莹是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合。她的方法是以点B为旋转中心将 △ABP逆时针旋转60得到△A'BC,连接A'A(如图2)，当点A落在A'C上时，此题可解。 (1)请你回答：AP的最大值为 (2)参考小莹同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在等腰直角三角形ABC中，边AB=4,P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小 值长的解题思路。 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法。 把△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'。 ①请画出旋转后的图形； ②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）。 B 图1 图2 图37新得m12。 （2)去分母，得3x-3>mx+1。 移项、合并同类项，得(3-m)x>4。 57+m (2)由(1)知，>2x≤2。 由(1)知，3-m<0,x<3-m 该不等式组有且恰有四个整数解， ∴.整数解为-2，-1,0,1。 19.解：(1)解方程组，得=03， y=-2a-4e 1s22,解得-5≤m<-3, 方程组中x为非正数，y为负数， 2x+1>x+a, a-3≤0，解得-2<a≤3。 -2a-4<0, 14.解：解不等式组 1. (2)在(1)的条件下，x=a-3,y=-2a-4, ∴.2x-y=2(a-3)-(-2a-4)=2a-6+2a+4=4a-2<6。 关于x的不等式组所有整数解的和为14,5+4+3+2= .a<2。∴.-2<a<2。.a的最小整数解为-1。 14,5+4+3+2+1+0+(-1)=14, 20.解：(1)无缘解 .a-1=1或a-1=-2,解得a=2或a=-1。 （2)解方程3x-6=0,得x=2。 15.解：(1)③ 解不等式2a,得3a (2)解不等式组十233。，得-1≤x<),整数解为 12x-4≤3+9x, .2 -1,0,1,2。 :关于x的组合是“梦想解”，3a<2,解得a<3。 解不等式组+2得-2<x<-2a-1。 14x+2>3x, (3)m≤6 1 【解析】解方程2-x=x-2m,得x=m+1。 “关于x的不等式组+2>33。与2，是“整数 解不等式写41x+m,得03。 3-4m 2x-4≤3+9x14x+2>3x 同解”的， 关于x的组合是“无缘解”， 3 34≥m+1,解得m≤60 1 ∴.2<-2a-1≤3，解得-2≤a<- 20 2 1 (3)解不等式 2x>-2'得-2x<a。 1 21解：(1)01【解析】不等式x<)有0个正叁教解，因 x<a, 1 此是0阶不学气： 解不等式组 x<2a+2’ 3(x-1)≤4x-3, 0医2 不等友组②0的解集为1<3，这个不学式组有1个 1 关于x的不等式组 2xx-2'与 x<2a+2' .1 是 压垫资解，因比不等式血风1阶不等式组。 x<a 3(x-1)≤4x-3 (2)4<a≤5 “整数同解”的， 【解析：关于x的不等式组三1，是4 Ix<a r0<a≤1， 阶不等式组， 1 0<2a+2≤1 解得0<a≤4。 1 关于x的不等式组≥1，有4个正整数解， Ix<a 16.C【解标12=4，① 即1≤x<a有4个正整数解。∴.4<a≤5。 lx+2y=-3m+2。② (3)由题意，得m是正整数，且p≤x<m有(m-3)个正 ①-②，得x-y=3m+2。 整数解， ”关于x,y的方程组的解满足》- 2 2p≤32-5。m=10 3n+2 2,解得m> 6。m的最小整数解为-1。 专项突破三与旋转有关的探究题 1.解：(1)AC=BDAC⊥BD 1+2m ,【解析】解方程3x-2m=1,得x= (2)如图1所示。 30 关于x的方程的解为正数， ,1+2m>0,解得m>2° 1 3 18.解：(1)解方程4x+2m+3=2x+9,得x=3-m。 由条件可知，3-m<0,∴.m>3。 图 图2 (3)成立。理由如下： 如图2，延长CA交OD于点H,交BD于点E。 BM=GH=FH=5BC=2。 2 由旋转可得∠AOC=∠BOD。 ·∠BCD=15°，CE⊥CD, OC=OD. ∴.∠ECH=∠DCE-∠BCD-∠BCH=30°。 在△AOC和△BOD中，{∠AOC=∠BOD, ∴.CE=2EH。 LOA=0B .△AOC≌△BOD(SAS)。∴.AC=BD,∠OCA=∠ODB。 EPACIP-CE2 0 又.∠DHE=∠CHO,∴.∠CED=∠COD=90°，即AC⊥BD 将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立， BE=BH+EH=2+2√3 理由同上。 0 2.解：(1)AD=BE,AD⊥BE。理由如下： 当E'F=EF时，SACAE=SAcE=SACBD0 由旋转可得CD=CE,∠DCE=90°。 '∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠BCE。 此时，E'F=EF=FH-EH=2-23 .·AC=BC,.∴.△CBE≌△CAD(SAS)。 ∴.BE'=BH+FH+EF=6 23 .AD=BE,∠A=∠CBE。 3。 ∴.∠CBE+∠ABC=∠A+∠ABC=90°，即AD⊥BE。 (2)选甲组同学的方法证明：如图1，延长线段AC至点 3或623 综上所述，BE的长为2+2 3 F,使CF=AC,连接EF, 3.解：(1)①60°②4【解析】由旋转可得0B=BD。 ∴.SACAE=SACEF,CF=BC。 而∠OBD=60°，∴.△BOD是等边三角形。 .∠ACB=90°，∴.∠BCF=90°。∴.∠ECF=∠DCB。 .∴.0D=0B=4。 CF=CB. ③.△BOD是等边三角形，∴.∠BD0=60°。 在△CEF和△CDB中 ∠ECF=∠DCB, 由旋转可得CD=A0=3。 CE=CD, .·CD2+0D2=32+42=52=0C。 ∴.△CEF≌△CDB(SAS)。 .△OCD为直角三角形，∠0DC=90°。 .SACEF=SACDBO SACAE=SACDBO F ∴.∠BDC=∠BD0+∠ODC=150°。 (2)0A2+20B2=0C2。证明如下： .·△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD, ∴.∠OBD=∠ABC=90°，B0=BD,CD=A0。 ∴.△OBD为等腰直角三角形。 .0D=√20B。 当CD2+0D2=0C2时，∠0DC=90°， 图1 图2 ∴.当0A2+20B2=0C2时，∠0DC=90°。 选乙组同学的方法证明：如图2，过点D作DM⊥BC于 4.解：(1)补全图形如图1，延长AF交BE的延长线于 点M,过点E作EN⊥AC的延长线于点N, 点G。 ∴.∠CMD=∠CNE=90°。 .·∠ACD=∠BCE,∴.∠DCM=∠ECN。 r∠CNE=∠CMD, 在△CEN和△CDM中，∠ECN=∠DCM, CE=CD. ∴.△CEN≌△CDM(AAS)。∴.EN=DM。 1 图1 SACAE=4AC·EN,SAcB=BC·DM 2 由旋转可得∠BAD=a,∠ABE=180°-a, AC=BC,.'.SACAE=SACDB .∠BAD+∠ABE=180°。∴.AD∥BE。.∠DAF=∠GO (3)如图3，过点C作CE⊥CD交BM于点E,CH⊥BM r∠DAF=∠G. 于点H,连接AC并延长交BM于点F。 在△ADF和△GEF中，{ ∠DFA=∠EFG, 由(2)知，SAcE=SACBDO AN DF=EF ·∠ACB=90°，AC=BC, .△ADF≌△GEF(AAS)。∴.AD=GE,AF=GF。 .∠ABC=45°。 AD=AC,.GE=AC。 ·∠ABM=90°，∴.∠CBM=45°。 :BC=BE,GE+BE=AC+BC,即BA=BG。 ∠BCF=90°， AF=GF,.BF⊥AG,即LAFB=90°。 ∴.∠BCH=∠FCH=45°。 H E FE'M (2)∠ABF=45°。理由如下： 图3 如图2，延长AF至点G,使FG=AF,连接BG,GE,延长 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·75· GE交AB的延长线于点H。 ·△ABD≌△ACE,∴.∠ABD=∠ACE。 ·∠ABM+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF, .∠ACE+∠CMF=90°。∴.∠BFC=90°。 (3).∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=LCAE。 rAB=AC, H 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, 图2 LAD=AE. DF=EF. ∴.△ABD≌△ACE(SAS)。∴.BD=CE,∠ADB=∠AEC。 在△ADF和△GEF中， ∠DFA=∠EFG, AD=AE,∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=45°。 LAF=GF, B,D,E三点共线，.∠ADB=∠AEC=135°。 ∴.△ADF≌△GEF(SAS)。∴.AD=GE,∠DAF=∠EGF。 ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=90°。 ∴.GH∥AD。∴.∠BAD+∠H=180°。 ∠EBF=90°，.CE∥BF。.SACEF=S△cBo :AD=AC,∴.AC=GE。 ∴.SACDE+SAEDF=SACDE+S△BDG,即SAEDF=S△BDGG .∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-（∠BAD-a)-(∠ABE-180°+a) BCEDp =180°-∠BAD+a-∠ABE+180°-a 7.解：(1)①60°【解析】：∠B=30°，∠ACB=90, =∠H+∠EBH=∠GEB。 ∴.∠A=90°-∠B=60°。 AC=GE 由旋转可得AC=CD。∴.△ACD是等边三角形。 在△ABC和△GBE中， ∠ACB=∠GEB, ∴.∠ACD=60°，即旋转角的大小为60°。 BC=BE, ②2【解析】如图1，过点C作CH⊥AD于点H。 .△ABC≌△GBE(SAS)。AB=GB,∠ABC=∠GBE。 .'AC=CD,.∠ACH=∠DCH。 :FG=AF,∴.BF⊥AG,∠ABG=2∠ABF。∴.∠AFB=90°。 :∠ACH+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，.∠ACH=∠B。 :AF=BF,∴.∠ABF=45°。 ∴.∠ACD=2∠ACH=2∠B=2a, 5.解：(1)B(2)40【解析】AB=BC, 即旋转角的大小为2。 .∠BAC=∠ACB=70°。 ∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°， 即旋转角是40°。 (3)△BOD是等边三角形。理由如下： :AB=BC,∠ACB=60°， ∴.△ABC是等边三角形。∴.∠ABC=60°。 由旋转可得BD=BO。 :∠OBD=∠ABC=60°，.△BOD是等边三角形。 图1 图2 6.解：(1)①△ACE (2)小扬同学猜想是正确的。证明如下： ②30°【解析】：AD=AE,∠DAE=30°， 如图2，过点B作BN⊥CD交CD延长线于点N,过点E .∠ADE=∠AED=75°。∴∠ADB=180°-∠ADE=105°。 作EM⊥AC交AC延长线于点M。 ,△ABD≌△ACE,.∠AEC=∠ADB=105°。 .∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠BEC=∠AEC-∠AED=30°。 ∴.∠1+∠2=∠3+∠2=90°。∴.∠1=∠3。 （2)①证明：·∠BAC=∠DAE=90°， :BN⊥CD,EM⊥AC,∴.∠BNC=∠EMC=90°。 .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE。 由旋转可得BC=CE,AC=CD。 rAB=AC, ∴.△CBN≌△CEM(AAS)。∴.BN=EM。 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, LAD=AE. y5x-cD:Bw,Sm=4c·E, .△ABD≌△ACE(SAS)。.BD=CE。 ∴.SARDC=S△ACEo ②如图，设AC与BD交于点M。 8.解：(1)PM=PNPM⊥PW【解析】：M,P,N分别是 DE,CD,BC的中点， PM/∥CE,PM=cE,Pw∥BD,PN=BD。 2 .AB=AC,AD=AE,∴.BD=CE。.PM=PN。 PM∥CE,PN∥BD, .∴.∠DPM=∠ACD,∠DPN=∠ADC。 ·76· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 :∠BAC=90°，.∠ADC+∠ACD=90°。 :∠ABA'=60°，∴.∠A'BD=30°。 .∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠ADC=90°， A'B=4,.A'D=2。 即PM⊥PN。 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得BD=√A'B-A'D2=23。 (2)△PMW是等腰直角三角形。理由如下： 如图，连接CE,BD。 ∴.CD=4+23。 在Rt△A'DC中，由勾股定理，得 由旋转可得∠BAD=∠CAE。 AB=AC,AD=AE, A'C=√A'D2+CD2=2√2+2√6， .△ABD≌△ACE(SAS)。 即AP+BP+CP的最小值为2√2+2√6。 ·.∠ABD=∠ACE,BD=CE。 专项突破四因式分解方法的拓展 同(1)可得PN=2BD,PM=2CE。 1.解：(1)m2-n2+m+n=(m2-n2)+(m+n) =(m+n)(m-n)+(m+n) ∴.PM=PW。.△PMWN是等腰三角形。 =(m+n)(m-n+1)。 同(1)可得PM∥CE,PN∥BD。 (2)a2-2ab+b2-1=(a2-2ab+b2)-1 ∴.∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC。 =(a-b)2-1 .∠DPN=∠BCD+∠PNC=∠BCD+∠DBC, =(a-b-1)(a-b+1)。 ∴.∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠BCD+∠DBC 2.解：(1)公式 =∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC (2)①m2+6m+8=m2+6m+9-1 =∠ACB+∠ABC。 =(m+3)2-12 :∠BAC=90°，.∠ACB+∠ABC=90° =(m+3+1)(m+3-1) ∴.∠MPV=90°。∴.△PMW是等腰直角三角形。 =(m+4)(m+2)。 (3)在Rt△ABC中，AB=AC,BC=4, ②a4+a2b2+b4=a4+2a22+b4-a2b2 .AB2+AC2=BC2=42。.AB=AC=2W2。 =(a2+b2)2-(ab)2 同理可得AD=AE=√2。 =(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)。 3.解：(1)x2-4xy+5y2+2y+1=0, 由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN= ∴.x2-4xy+4y2+y2+2y+1=0。 .当PM最大时，△PMN面积最大， .(x-2y)2+(y+1)2=0。 此时点D在BA的延长线上。 ∴.x-2y=0,y+1=0。 ∴.x=-2,y=-1。 .BD=AB+AD=22+√2=32。 故x=(-2)1= 1 ·PM=32 2 (2):a2+b2=10a+12b-61, 9.解：(1)6【解析】由旋转可得∠A'BA=60°，A'B=AB= .a2-10a+25+b2-12b+36=0。 2,AP=A'C。 .(a-5)2+(b-6)2=0。 .△A'BA是等边三角形。.AA'=AB=2。 ∴.a-5=0,b-6=0。 在△AA'C中，A'C<AA'+AC,即AP<6。 .a=5,b=6。 当A',A,C三点共线时，A'C=AA'+AC, ∴.1<c<11。 即AP=6。∴.AP的最大值为6。 :c为最短边的边长，且c为整数， (2)①旋转后的图形如图。 .c为2,3,4,5。 4解：(1)C (2)不正确【解析】小：小龙分解不彻底， “结果不正确。 (x2-4x+4)2=[(x-2)2]2=(x-2)4。 (3)把a+b作为一个整体， ②如图，连接A'C,A'A,过点A'作A'D⊥CB的延长线于 .ab(a+b)2-2(a+b)2+4 点D。 =a(a+b)·b(a+b)-2(a+b)(a+b)+(-2)×(-2) △ABC是等腰直角三角形，∴.AB=BC=4。 =[a(a+b)-2][b(a+b)-2] 由旋转可得∠ABA'=60°，AB=A'B=4,AP=A'P',BP= =(a2+ab-2)(b2+ab-2)。 BP',∠PBP'=60°。 5.(x+3)(3x-4)【解析】用十字相乘法分解3x2+5x-12 .PBP'是等边三角形。 所采用的十字如下： ∴.BP=PP'=4。∴AP+BP+CP=A'P'+PP'+CP。 \/3 当A',P',P,C四点共线时，A'P+PP'+CP最短， 3 即线段A'C最短，∴.AP+BP+CP=A'C。 3×3+1×(-4)=5