专项突破1 三角形的有关证明与计算-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

专项突破一三角形的有关证明与计算 类型一 直接运用三角形内角和定理及其推论 1.【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形形象地 称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系。 【解决问题】 (1)如图1，探究∠ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系。 小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C,他的证明过程如下： 孙 证明：连接DB并延长到点E。 请你将小明的证明过程补充完整； 【类比探究】 (2)如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数； 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 救 图1 图2 图3 2.小琪利用三角形卡纸对几何图形中角的关系进行探究，在△ABC中，已知BP,CP分别为∠ABC 和LBCA的平分线。 (1)如图1，若∠A=60°，则∠P= ; (2)如图1，证明：∠A=2∠P-180°； (3)如图2，小琪将△ABC沿DE剪下一角后得到四边形DBCE,试猜测∠BDE+∠CED与∠P之间的 关系，并说明理由。 D 图1 图2 类型二直接运用等腰（边）三角形的性质与判定 3.如图，已知点D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF,若AF∥BC。 (1)求证：△ABC是等腰三角形； D G F (2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°，求∠AGC的度数。 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交 边AB,AC于点E,F。 (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)求证：BE=AF。 5.在△ABC中，AB=AC。 (1)AD是BC上的高，AD=AE。 ①如图1，若∠BAD=20°，则∠EDC= o. ②如图2，若∠BAD=50°，则∠EDC= (2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示 (3)如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE,(2)中关系是否仍成立？如成立，请说明理由。 B D C D D 图1 图2 图3 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·41· 类型三作平行线构造等边三角形 6.新考法〔过程性学习〕已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且DE=CE。 (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB (填“>”“<”或“=”)； (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为边AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”“<”或“=”)； 理由：如图2，过点E作EF∥BC,交AC于点F。(请你完成理由的过程) (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且DE=CE,若△ABC的边 长为1，AE=2,求CD的长。（请你画出相应图形，并直接写出结果) D B 图1 图2 类型四直接运用勾股定理及其逆定理 7.如图，在四边形ABCD中，AB=12,CD=5,AD=13,AE⊥BC,E是BC的中点，且AE=9,连接AC。 (1)判断△ADC的形状并证明； (2)求四边形ABCD的面积。 8.【问题情境】如图，在△ABC中，AD为边BC上的高。 【特例研究】 (1)若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB⊥AC; .42· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 【猜想证明】 (2)根据(1)中的结论，小明猜想：当满足AD=BD·CD时，利用勾股定理及其逆定理，可证明△ABC 是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确。 B 类型五连接线段的两端，运用线段垂直平分线的性质与判定 9.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,边AC的垂直平分线分别交AC,BC 于点N,E,MD,NE的延长线交于点O,连接AD,AE。 (1)若BC=12,求△ADE的周长； (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由。 B 类型六作垂线，运用角平分线的性质与判定 10.如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E,过点E作EG⊥BA交BA的延长线于点G,EF⊥AC于 点F。 (1)求证：EG=EF; (2)连接AE,求证：∠AEG=∠AEF。 D 11.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F,EG⊥CD于点G,且EF=EG。 (1)求证：CE是∠ACD的平分线； B (2)求证：AC=AF+CG。.n为正整数，∴.多边形内角和不可能为1520°。 tAB=CD, (2)设一个外角为a。 在△ABM和△CDN中，{∠ABM=∠CDN, 根据题意，得(n-2)·180°+a=1520°。 BM=DN, .a=1520°-(n-2)·180°。 ∴.△ABM≌△CDN(SAS)。 .0<a<180°，.0<1520°-(n-2)·180°<180°。 ∴.AM=CN,∠AMB=∠CND。∴.AM∥CN。 解得94 n<10 g。该多边形的边数为10， .四边形ANCM为平行四边形。故甲方案正确； 由乙方案可知，AN⊥BD,CM⊥BD, .(10-2)×180°=1440°， ∴.AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°。 即该多边形的内角和为1440°。 r∠ABN=∠CDM, 24.证明：方法1：由平角的定义可知， 在△ABN和△CDM中，∠ANB=∠CMD, ∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°， LAB=CD. ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDA=180°， ∴.△ABN≌△CDM(AAS)。∴.AN=CM。 ∴.∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+ ∴.四边形ANCM为平行四边形。故乙方案正确； ∠CDA=180°×4=720°。 ,·∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， 由丙方案可知，LBAN=2LBMD,LDCM= 2∠BCD。 .∠1+∠2+∠3+∠4=360°。 .'∠BAD=∠BCD,∴.∠BAN=∠DCM。 方法2：如图，连接BD。 IL BAN=∠DCM, 在△ABN和△CDM中，{AB=CD, L∠ABN=∠CDM, '.△ABN≌△CDM(ASA)。 ∴.AN=CM,∠ANB=∠CMD。 ∴.∠ANM=∠CMN。∴.AN∥CM。 ·∠1=∠ABD+LADB,∠3=∠CBD+∠CDB, .四边形ANCM是平行四边形。故丙方案正确。 .∠1+∠2+∠3+∠4 11.52° 12.1313.48 7 14.102° =∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4 =180°×2=360°。 15.14【解析】如图，过，点B作BE∥AD, 第六章学业水平测试 1.A2.C3.D4.C5.D6.C7.A 8.D【解析】设原多边形为n边形，则当n多边形截去一 个角后，可形成(n-l)或n或(n+1)边形。 .(n-1-2)×180°=900°或(n-2)×180°=900°或(n+1- 2)×180°=900°。 .∠ADC=∠BEC。 解得n=8或7或6。所以只有甲、乙正确。 .·∠ADC+∠BCD=90°，∴.∠BEC+∠BCD=90°。 9.C【解析】由题可知，DQ=CP。 ∴.∠CBE=90°。∴.BE2+BC2=CE2。 当点P在BC上时， AB∥CD,∴.四边形ABED为平行四边形。 .DQ=AD-AQ=16-t,CP=21-3t, ∴.BE=AD,DE=AB。 、.16-t=21-3t,解得i=2 5 S2=S1+S3,∴.AB2=AD2+BC2。 .AB2=BE2+BC2=CE2。.CE=AB。 当点P在BC的延长线上时， DE=AB,∴.CD=2AB。 .DQ=AD-AQ=16-t,CP=3t-21, S2=49,.AB=√49=7。.CD=2AB=14。 161=3-2,解得=。 16.①③【解析】当t=3时，AP=3×1=3(cm)。 'BC=3cm,.AP=BC。 综上所述，以点P,Q,D,C为顶点的四边形是平行四边 l1∥L2,∴.四边形ABCP是平行四边形。 形时4的植为或。 ..四边形ABCP的周长为2(AB+BC)=2×(4+3) 14(cm)。故结论①正确； 10.D【解析】·四边形ABCD是平行四边形， :11∥L2,AB⊥BC, .AB=CD,AB∥CD。∴.∠ABM=∠CDN。 由甲方案可知，BN=ON=号0B,OM=DM=)0D,且 2 ÷5A版=号40：B=2X34=6(m） 1 2 .在点P运动过程中，△PBC的面积是定值6。 OB=OD,∴.BN=ON=OM=DM 故结论②错误； ABM=DN=3BD。 M,N分别是线段PB,PC的中点， 4 六.MN是△PBC的中位线。∴MW=,BC=,cm .线段MN的长度不可能为2cm。故结论③正确。 17解：(1：正十二边形的每一个外角的度数为360° 30°， 12 图1 ∴.正十二边形每一个内角的度数为180°-30°=150°。 :DE∥BC,.LDEN=LFCN。 (2)设多边形的边数是n, ,N是CE的中点，∴.EN=CN。 则(n-2)·180°=1800°。 又.∠DNE=∠FNC, 解得n=12。.它是十二边形。 ∴.△DEN≌△FCN(ASA)。∴.DN=FN. 18.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 又：M是BD的中点，∴.MN是△DBF的中位线。 .AD∥BC,AD=BC,即AF∥CE。 AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形。 .AF=CE。BE=DF。 之w/aF且N-号P。 19.证明：(1)DE,EF是△ABC的中位线， ∴.DE∥CF,EF∥CD。 :MN/DE/Bc且AN=(C+E。 【学以致用】 四边形EFCD是平行四边形。0B=2CE。 .M,N分别是BD,CE的中点，MN=12cm, .DE+BC=24cm。 (2)DE,EF是△ABC的中位线， 如图2，过点D作DG⊥BC于点G。 ∴.D,F分别是AC,BC的中点。 D DF是△ABC的中位线。DF=2AB。 20.(1)证明：·BD∥CE∥FG, G ∴.LACE=∠ABD,∠DEC=∠EFGO 图2 ∠ABD+∠EFG=180°，∠ACE+∠DEC=180°。 .∠B=30°，BD=8cm,∴.DG=4cm。 .BC∥DE。.四边形BCED是平行四边形。 (2)解：：四边形BCED是平行四AN ∴.S梯形BCED= BC+DE)DG=X24x4=48(cr 边形， 专项突破一三角形的有关证明与计算 ∴.CE=BD=20cm。 C 1.(1)证明：如图1，连接DB并延长到点E。 如图，延长AC交FG于点H。 :·∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE 由(1)知，CH∥EF,CE∥FH, 且∠ABC=∠ABE+∠CBE, ∴.四边形CHFE是平行四边形 :.∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C=∠A+∠ADC+∠C。 ∴.CH=EF=50cm,FH=CE=20cm。 .'AH=AC+CH=100 cm,GH=FG-FH=60 cmo .∠AGF=90°，.AG=√A-G=80cm, .R 即椅子最高点A到地面FG的距离为80cm。 21.解：(1)当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边 形。理由如下： :∠AEB=∠CFD,∴.∠AEO=∠CFO。∴.AE∥CF。 图1 图2 四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC。 (2)解：如图2，连接CF。 ∠AE0=∠CF0, 由(1)知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF, 在△AOE和△COF中 ∠AOE=∠COF ∠D=∠E+∠EFC+∠DCF。 LOA=0C, :∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， .△AOE≌△COF(AAS)。∴.AE=CF。 ∴.∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF=150°， ∴.四边形AECF是平行四边形。 即90°+∠AFE=150°。∴.∠AFE=60°。 (2)当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形。理由 (3)100°【解析】如图3，在直线EW上取一点P,连接AP。 如下： :四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD。 多 2 BE=DF,∴OB-BE=OD-DF, 即OE=OF。∴.四边形AECF是平行四边形。 2,解：（探究学习】MN∥DE,∥BC且MN=之(BC+DBE)。 3 NP 证明：如图1，连接DW并延长交BC延长线于点F。 图3 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 .73· 由(2)知，∠B+∠D=∠1+∠3+∠C+∠E=150°。 的高， .∠C+∠E=50°，∠1+∠3=100°。 .∠BAD=∠CAD。 .AM∥EN,.∠2=∠3。 '∠BAD=20°，∴.∠BAD=∠CAD=20°。 ∴.∠1+∠2=100°，即∠MAB=100°。 AD=AE,.∠ADE=∠AED=80°。 2.(1)120【解析】.∠A=60°， AD是BC上的高，∠EDC=90°-∠ADE=10°。 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°。 ②25【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高！ :BP,CP分别为∠ABC和∠BCA的平分线， .∠BAD=∠CAD。 ∠cP=7∠ABc,LBCP=∠ACB。 :∠BAD=50°，∴.∠BAD=∠CAD=50°。 AD=AE,∴.∠ADE=∠AED=65°。 LCBP+L8CP-LABC+LACB)60 AD是BC上的高，∴.∠EDC=90°-LADE=25°。 ∴.∠P=180°-（∠CBP+∠BCP)=120°。 (2)LEDC= 2∠BAD (2)证明：由(I),得∠CBP+∠BCP(LAC+LACB) (3)仍成立。理由如下： :AD=AE,.∠ADE=∠AED。 =2180-∠40=9074A。 ∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED ∠EDC=(∠EDC+LC)+∠EDC=2∠EDC+∠C。 又.AB=AC,∴.∠B=∠C。 ALP=180-(LCBP+LBCP)=180°-(90°-7∠ 六∠BAD=2LEDC,即∠EDC= F2∠BAD。 =900+1 A。 6.解：(1)= ∴.2∠P=180°+∠A。∴.∠A=2∠P-180°。 (2)= (3)解：∠BDE+∠CED=2LP。 :△ABC为等边三角形，.△AEF为等边三角形。 理由：由(2)知，乙P=903∠A。 ∴AE=EF,BE=CF。 DE=CE,.∠D=∠ECD。 在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-∠A。 ·∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, :∠BDE=180°-∠ADE,∠CED=180°-∠AED, .∠DEB=∠ECF。 ∴.∠BDE+∠CED=360°-（∠ADE+∠AED) rDE=EC. =360°-(180°-∠A)=180°+∠A。 在△DBE和△EFC中，∠DEB=∠ECF, ∴.∠BDE+∠CED=2∠P。 BE=FC, 3.(1)证明：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF。 ∴.△DBE≌△EFC(SAS)。∴.DB=EF。∴.AE=DB。 AF∥BC,∴.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB。 (3)如图，当点E在AB的延长线上时，作EF∥AC, .∠B=∠ACB。.△ABC是等腰三角形。 则△EFB为等边三角形。 (2)解：AB=AC,∠B=40°，.∠ACB=∠B=40°。 ∴.∠BAC=100°。∴.∠ACE=∠BAC+∠B=140°。 CG平分L4 CELACG=-人ACB=70. :AF∥BC, ∴.∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°。 4.(1)证明：AB=AC,∠BAC=120°，ADLBC, 同理可得△DBE兰△CFE。 ∠BMD=∠CMD=∠BMC=60. AB=1,AE=2,.BE=1。 .DB=CF=BF+BC=2,..CD=BC+DB=3. :AD=AB,.△ABD是等边三角形。 7.解：(1)△ADC是直角三角形。证明如下： (2)证明：：△ABD是等边三角形， AE⊥BC,E是BC的中点， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。 ∴.AE垂直平分BC。∴.AB=AC=12。 ,∠EDF=60°，∴.∠ADB=∠EDF。 AD=13,CD=5,..CD2+AC2=AD2 ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE. ∴.△ADC是直角三角形，∠ACD=90°。 .∠BDE=∠ADF。 (2)在Rt△ABE中，AB=12,AE=9, r∠DBE=∠DAF=60°， 由勾股定理，得BE=√AB-AE2=3√7。 在△BDE与△ADF中，BD=AD, E是BC的中点，∴.BC=2BE=67。 L∠BDE=∠ADF, ∴.S四边形ABCD=S△ABc+S△4CD .△BDE≌△ADF(ASA)。∴.BE=AF。 1、 5.解：(1)①10【解析】在△ABC中，AB=AC,AD是BC上 =2x67x9+7x12x5=277+30。 2 ·74· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 8.(1)证明：AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°。 ∴.Rt△EAF≌Rt△EAM(HL)。∴.AF=AM。 由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=5。 同理可证Rt△ECG≌Rt△ECM(HL),∴.CG=CM。 同理可得AB2=AD+BD2=20。 ∴.AC=AM+CM=AF+CG。 .BC2=(CD+BD)2=25,..AB2+AC2=BC2 专项突破二确定不等式（组）中字母的值或取值范围 ∴.△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。∴.AB⊥AC。 1.02.a<13.B4.-12 (2)解：：AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°。 5.解：(1)不是 由勾股定理，得AC2=AD2+CD2。 (2)解不等式x-3a≥0，得x≥3a。 同理可得AB2=AD2+BD2。 解不等式1-2x>x-14,得x<5。 :BC2=(CD+BD)2=CD2+2CD·BD+BD2,AD2=BD·CD, :这两个不等式互为“云不等式”， .BC2=CD2+2AD2+BD2=AB2+AC2 .3a≤x<5。 ∴，△ABC为直角三角形，∠BAC=90°。∴.AB⊥AC。 又：它们有2个公共的整数解， 9.解：(1)：AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E, ∴.其公共整数解为3和4。 ∴.AD=BD,AE=CE。 ∴.AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=12。 2<3a≤3，解得3<a≤1， .△ADE的周长为12。 6.m≤47.44 (2)点O在边BC的垂直平分线上。理由如下： rx>-1, 如图，连接OA,OB,OC, 8解：(1)当k=0时，原不等式组为x>1, x<3, M 此时解集为1<x<3; fx>2, 当k=3时，原不等式组为{x>1, B --八E.----- G 0 lx<3, OM,ON分别是AB,AC的垂直平分线， 此时解集为2<x<3。 ∴.OA=0B,0A=0C。∴.0B=0C。 (2)不等式组的解集是1<x<3, .点O在边BC的垂直平分线上。 .k-1≤1，解得k≤2。 10.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于点H。 .当k≤2时，不等式组的解集是1<x<3。 G 9m=8【解析每不学式宁1，得8。 :不等式组无解，∴.m≤8。 10.c r2x+5a≤3(x-2),① D BE平分∠ABC,EG⊥BA,EH⊥BD,∴.EG=EH。 屏：行巴 ,CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD, 解不等式①，得x≥6+5a。 ∴.EF=EH。.EG=EF。 解不等式②，得x<3a。 (2),EG⊥BA,EF⊥AC,∴.∠AGE=∠AFE=90°。 ∴.不等式组的解集是6+5a≤x<3a。 在AMBc和△F巾，品 每一个解x均不在-12≤x≤-10范围内， .有两种情况： ·.Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)。 情况一：3a≤-12，獬得a≤-4； .∠AEG=∠AEF。 16 情况二：5a+6>-10,解得a> 11.证明：(1)如图，过点E作EM⊥AC于点M。 5 D 同时5a+6≤x<3a有解， 1 .∴.3a>5a+6。∴.a<-3。. 5<a<-3。 综上，a的取值范围是a≤-4或a<-3。 点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB,∴.EF=EM。 12.3<m≤4 .∵EF=EG,.∴.EM=EG。 :EM⊥AC,EG⊥CD,.点E在∠ACD的平分线上。 13解：(1)解不等式5x+2>3(-1）,得。 ∴.CE是∠ACD的平分线。 (2)在Rt△EAF和Rt△EAM中， AE=AE, 廊不等式宁≤7子得7空。 EF=EM, 不等式组有解，