第6章 平行四边形 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

第六章考点梳理与复习 考点一 平行四边形的性质与判定 【训练目的】探索并证明平行四边形的性质定理与判定定理，理解两条平行线之间 距离的概念。 1.平行四边形一定具有的性质是 A.四条边相等 B.四个角相等 C.两组对边分别平行D.轴对称图形 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC+BD=10,BC=4,则△BOC的周长为 训 A.8 B.9 C.10 D.14 y B 0 第2题图 第5题图 第7题图 3.新素养〔几何直观〕根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是 ( T 6 409 40 359 D 35 40°7 40° 6 4.在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定四边形 ABCD是等腰梯形的是 ( A.AC=BD=BC B.AB=AD=CD C.OB=OC,OA=OD D.OB=OC,AB=CD 5.如图，AD∥BC,若△ABC的面积为15，则△DBC的面积为 ( A.7.5 B.12 C.14 D.15 6.在口ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B的度数为 7.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为(5,0)，（2,3)，若以0，A,P,B为顶点的四边形为 平行四边形，则点P的坐标为 8.如图，已知∠B=∠E=90°，点B,C,F,E在一条直线上，AC=DF,AB=DE。求证：四边形ACDF是平行 四边形。 养 9.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E,F是垂足，求 证：DE=BF。 D 入E 10.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥CD,EF⊥AB,垂足为F。 (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若AE平分∠BAC,BE=5,EF=3,求BF和AD的长。 D 考点二三角形的中位线 【训练目的】探索并证明三角形的中位线定理。 11.新素养〔抽象能力]如图，这是人字梯及其侧面示意图，AB,AC为支撑架，DE为拉杆，D,E分别是AB, AC的中点。若DE=30cm,则B,C两，点之间的距离为 () A.50 cm B.60 cm C.70 cm D.80 cm B 第11题图 第12题图 12.如图，D,E,F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF的度数为 () A.20° B.40° C.70° D.110° 13.如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF并延长交BC于点G,若AC= 12,DE=9,则BG的长为 D D R E 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是CD的中点，N是AB的中点，∠A= 75°，∠ABC=85°，则∠PNM的度数为 A 15.如图，D,E,F分别为AC,BC,BD的中点，若四边形ADEF的面积为3，则△ABC的面积为 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·37· 16如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,延长BC到点P,使得CF=BC,连接DF交 AC于点0。求证：OC=0E。 D 17.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=140°，E,F分别是AB,AD的中点，且∠AFE=50°，连接BD。 (1)求∠BDC的度数； (2)若CD=5,BC比BD长1，求EF的长。 考点三多边形的内角和与外角和 【训练目的】探索并掌握多边形内角和与外角和公式。 18.一个六边形的内角和等于 A.360° B.540° C.720° D.900° 19.如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则∠5的度数为 2 A.70° B.80° C.90° D.100° 20.已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为 A.10 B.11 C.12 D.13 21.如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形ABCDE密铺而成，其中∠C=∠E=90°，∠A=∠B =∠D,则∠A的度数为 B 图1 图2 ·38· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 22.小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转 0,接着沿直线前进6米后，再向左转0…如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了72米， 0的度数为 A 23.阅读小明和小红的对话，解决下列问题。 甲 小明 多边形的内角和不可能是1520°，我看了你的过程，你 我把一个多边形的各内角相加，得到的和为1520°。 多加了一个外角。 (1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1520”的理由； (2)求该多边形的内角和。 24.请用两种方法证明：四边形的外角和为360°。 已知：如图，四边形ABCD,∠1，∠2，∠3，∠4是它的外角。 求证：∠1+∠2+∠3+∠4=360°。 B D 备用图m-2 m-2 =- x2-1 m(2+m）2m+m2 x4+120 .-2≤m≤2，m(m-1)≠0，(2+m)(2-m)≠0， x 1 ..m=-1。 《2)由2x+7知，**0， -1-2 当m=-1时，原式=2x-)+-1-3。 -+1=7,即g-1+=7。“x+=8。 1 (2):关于x的二次三项式2x2+mx+15有一个因式为 x4+x2+1 t-(x+克)2-1=82-1=68。 1 =x2+1+ 2x-3, x2 .2x2+mx+15=(2x-3)(x-5)。 x2 1 即2x2+mx+15=2x2-13x+15。 x4+x2+1639 .∴.m=-13。 19.解：(1)16是“和谐数”。理由如下： (3)由条件可得=1+1=1,1+1-3+x xyx'y3’yzyz 4’zx 假设16是“和谐数”，则存在两个连续奇数n,n+2使 16=(n+2)2-n2,即4n+4=16。 11=1, x z 解得n=3,符合题意。 .16=52-32。.16是“和谐数”。 ytz+x=111-1, -=( z x y 3 +1)÷2=25 xyz 49 (2)是。理由如下： xyz 24 (2k+1)2-(2k-1)2 =(2k+1-2k+1)(2k+1+2k-1) xy+yz+zx 25 23.解：(1)设“朝阳”的行进速度为x米/秒，则“天元”的行 =2×4h=8k。 8k是8的倍数， 进速度为(x+0.8)米/秒。 4 .构造的“和谐数”是8的倍数。 20.解：(1)平方差公式等式两边乘同一个数或式子，等 根据题意， 30×5_30 式仍然成立 、tx+0.8°解得x=3.2。 (2)二 二 经检验，x=3.2是原方程的解，且符合题意。 (3)选择习题1： 答：“朝阳”的行进速度是3.2米/秒。 原式= 1 (2)不能同时到达。理由如下： a+1)(a-1)'a+1 调整后“天元”的行进路程为30×(1+)=36（米）， a(a-1) 36 (a+1)(a-1)'(a+1)(a-1) =a2-a+1 “天元”到达终点所用的时间为3.240.89（秒）， a2-1 30 选择习题2： “朝阳”到达终点所用的时间为329,375（秒）， ∴.两个机器人不能同时到达。 方程两边同乘(1)，得+(1少 L=x2-1, (3)设调整后“天元”的行进速度为y米/秒。 3630 1+x(x-1)=x2-1。 根据题意，得一= y3.2。解得y=3.84。 解得x=2。 检验：当x=2时，x2-1≠0。 答：调整后“天元”的行进速度为3.84米/秒，使两个机 器人能同时到达终点。 故原方程的解是x=2。 21.解：(1)原式=x2-6x+9-9+8 第六章考点梳理与复习 =(x-3)2-1 1.C2.B3.C =(x-3+1)(x-3-1) 4.C【解析】A.AC=BD=BC,不能判定四边形ABCD是等 =(x-2)(x-4)。 腰梯形。故不符合题意；B.AB=AD=CD,不能判定四边 (2)令A=x-y, 形ABCD是等腰梯形。故不符合题意；C如图， 则原式=A2-16A+64=(A-8)2。 (x-y)2-16(x-y）+64=(x-y-8)2。 2解：()片 【解析】由，x=1 2+12知，x≠0， B .OB=OC,OA=OD,.∠OBC=∠OCB,∠OAD=∠ODA。 +1=2,即x+=2。 rOA=OD. 在△AOB和△DOC中，{∠AOB=∠D0C, x4+1 1 (+)2-2=2-2=2。 1 =x2+ 0B=0C, .△AOB≌△DOC(SAS)。 ·72· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ∴.∠OBA=∠OCD,∠OAB=∠ODC,AB=CD。 ∴.EF=CE。∴.AD=EF=3。 :∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， 在Rt△BEF中，BE=5, .∠BAD+∠ABC=180°。 ∴.由勾股定理，得BF=√BE2-EF2=4。 ∴.AD∥BC。∴.四边形ABCD是梯形。 11.B12.C AB=CD,.四边形ABCD是等腰梯形。故符合题意； 13.6 D.OB=OC,AB=CD,不能判定四边形ABCD是等腰梯形。 14.10°【解析】小：P,N分别是BD,AB的中点， 故不符合题意。 5.D PW是△MBD的中位线。PN=AD,PN/AD。 6.130° P,M分别是BD,CD的中点， 7.(3,-3)或(-3,3)或(7,3) 【解析】设P(x,y),分三种情况： PM是△BCD的中位线。PM=2BC,PM/BC。 y 'AD=BC,∴.PN=PM。∴.∠PMN=∠PNM。 P P3 设∠ABD=,则∠CBD=85°-a。 PN∥AD,∠A=75°， ∴.∠PNB=75°。∴.∠NPD=75°+a。 PM∥BC,∴.∠MPD=∠CBD=85°-a。 P ∴.∠MPN=∠NPD+∠MPD=160°。 5+0x+20+0y+3 ①当0A为对角线时，2=2,22’ ∠PWM=180°-160 2 =10°。 解得x=3,y=-3。∴P(3,-3); 15.8【解析D,E,F分别为AC,BC,BD的中点， 2+0x+53+0y+0 ②当0B为对角线时，2=2,2=2， ∴.AD=CD,BF=DF,DE是△ABC的中位线。 ∴.SAARD=SACBD,S△ADF=S AABF, 解得x=-3,y=3。∴P(-3,3); BFc0-0,B欧/a0.5gm 1 国当0印为对扇数时，生0529-0生 S△DEr+SAADF=3,.SAADF=2。 解得x=7,y=3。.P(7,3)。 ∴.SAARD=4。.S△ABc=8。 综上所述，点P的坐标为(3，-3)或(-3,3)或(7,3)。 16.证明：D,E分别是AB,AC的中点， 8.证明：∴∠B=∠E=90°， ∴.DE是△ABC的中位线 .△ABC和△DEF都是直角三角形。 在Rt△ABC和R△DEF中，AB=DE, 「AC=DF DE/BC,DE=BC。∠0ED=∠0CP. .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。.BC=EF。 CF-BCDE=CF 点B,C,F,E在一条直线上， :∠DOE=∠F0C,.△DOE≌△FOC(AAS)。 ∴.BC+CF=EF+CF,即BF=EC。 .0C=0E。 tAB=DE, 17.解：(1)E,F分别是AB,AD的中点， 在△ABF和△DEC中，{∠B=∠E, ∴EF是△ABD的中位线。∴.EF∥BD。 BF=EC, ∴.∠ADB=∠AFE=50°。 ∴.△ABF≌△DEC(SAS)。∴.AF=DC。 ∴.∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°。 又.AC=DF,.四边形ACDF是平行四边形。 (2)由(1)知，∠BDC=90°。 9.证明：：四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△BDC中，CD=5,BC=BD+1, ∴.AD∥BC,AD=BC。∴.∠ADE=∠CBF。 由勾股定理，得BD+CD2=BC2, :AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AED=∠CFB=90°。 即BD+52=(BD+1)2,解得BD=12。 r∠AED=∠CFB, 由(1)知，EF是△ABD的中位线， 在△AED与△CFB中，∠ADE=∠CBF, (AD=CB, Bf=80=6。 ∴.△AED≌△CFB(AAS)。∴.DE=BF。 18.C19.B20.A 10.(1)证明：，∠ACB=∠CAD=90°，∴.AD∥BC。 21.120°22.30° AE∥CD,∴.四边形AECD是平行四边形。 23.解：(1)设多边形的边数为n。 (2)解：由(1)知，四边形AECD是平行四边形， 根据题意，得(n-2)·180°=1520°。 ∴CE=AD。 :AE平分∠BAC且EF⊥AB,∠ACB=90°， 解得n=104 0 .n为正整数，∴.多边形内角和不可能为1520°。 tAB=CD, (2)设一个外角为a。 在△ABM和△CDN中，{∠ABM=∠CDN, 根据题意，得(n-2)·180°+a=1520°。 BM=DN, .a=1520°-(n-2)·180°。 ∴.△ABM≌△CDN(SAS)。 .0<a<180°，.0<1520°-(n-2)·180°<180°。 ∴.AM=CN,∠AMB=∠CND。∴.AM∥CN。 解得94 n<10 g。该多边形的边数为10， .四边形ANCM为平行四边形。故甲方案正确； 由乙方案可知，AN⊥BD,CM⊥BD, .(10-2)×180°=1440°， ∴.AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°。 即该多边形的内角和为1440°。 r∠ABN=∠CDM, 24.证明：方法1：由平角的定义可知， 在△ABN和△CDM中，∠ANB=∠CMD, ∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°， LAB=CD. ∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDA=180°， ∴.△ABN≌△CDM(AAS)。∴.AN=CM。 ∴.∠1+∠BAD+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+ ∴.四边形ANCM为平行四边形。故乙方案正确； ∠CDA=180°×4=720°。 ,·∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， 由丙方案可知，LBAN=2LBMD,LDCM= 2∠BCD。 .∠1+∠2+∠3+∠4=360°。 .'∠BAD=∠BCD,∴.∠BAN=∠DCM。 方法2：如图，连接BD。 IL BAN=∠DCM, 在△ABN和△CDM中，{AB=CD, L∠ABN=∠CDM, '.△ABN≌△CDM(ASA)。 ∴.AN=CM,∠ANB=∠CMD。 ∴.∠ANM=∠CMN。∴.AN∥CM。 ·∠1=∠ABD+LADB,∠3=∠CBD+∠CDB, .四边形ANCM是平行四边形。故丙方案正确。 .∠1+∠2+∠3+∠4 11.52° 12.1313.48 7 14.102° =∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+∠CDB+∠4 =180°×2=360°。 15.14【解析】如图，过，点B作BE∥AD, 第六章学业水平测试 1.A2.C3.D4.C5.D6.C7.A 8.D【解析】设原多边形为n边形，则当n多边形截去一 个角后，可形成(n-l)或n或(n+1)边形。 .(n-1-2)×180°=900°或(n-2)×180°=900°或(n+1- 2)×180°=900°。 .∠ADC=∠BEC。 解得n=8或7或6。所以只有甲、乙正确。 .·∠ADC+∠BCD=90°，∴.∠BEC+∠BCD=90°。 9.C【解析】由题可知，DQ=CP。 ∴.∠CBE=90°。∴.BE2+BC2=CE2。 当点P在BC上时， AB∥CD,∴.四边形ABED为平行四边形。 .DQ=AD-AQ=16-t,CP=21-3t, ∴.BE=AD,DE=AB。 、.16-t=21-3t,解得i=2 5 S2=S1+S3,∴.AB2=AD2+BC2。 .AB2=BE2+BC2=CE2。.CE=AB。 当点P在BC的延长线上时， DE=AB,∴.CD=2AB。 .DQ=AD-AQ=16-t,CP=3t-21, S2=49,.AB=√49=7。.CD=2AB=14。 161=3-2,解得=。 16.①③【解析】当t=3时，AP=3×1=3(cm)。 'BC=3cm,.AP=BC。 综上所述，以点P,Q,D,C为顶点的四边形是平行四边 l1∥L2,∴.四边形ABCP是平行四边形。 形时4的植为或。 ..四边形ABCP的周长为2(AB+BC)=2×(4+3) 14(cm)。故结论①正确； 10.D【解析】·四边形ABCD是平行四边形， :11∥L2,AB⊥BC, .AB=CD,AB∥CD。∴.∠ABM=∠CDN。 由甲方案可知，BN=ON=号0B,OM=DM=)0D,且 2 ÷5A版=号40：B=2X34=6(m） 1 2 .在点P运动过程中，△PBC的面积是定值6。 OB=OD,∴.BN=ON=OM=DM 故结论②错误； ABM=DN=3BD。 M,N分别是线段PB,PC的中点， 4 六.MN是△PBC的中位线。∴MW=,BC=,cm .线段MN的长度不可能为2cm。故结论③正确。 17解：(1：正十二边形的每一个外角的度数为360° 30°， 12 图1 ∴.正十二边形每一个内角的度数为180°-30°=150°。 :DE∥BC,.LDEN=LFCN。 (2)设多边形的边数是n, ,N是CE的中点，∴.EN=CN。 则(n-2)·180°=1800°。 又.∠DNE=∠FNC, 解得n=12。.它是十二边形。 ∴.△DEN≌△FCN(ASA)。∴.DN=FN. 18.证明：，四边形ABCD是平行四边形， 又：M是BD的中点，∴.MN是△DBF的中位线。 .AD∥BC,AD=BC,即AF∥CE。 AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形。 .AF=CE。BE=DF。 之w/aF且N-号P。 19.证明：(1)DE,EF是△ABC的中位线， ∴.DE∥CF,EF∥CD。 :MN/DE/Bc且AN=(C+E。 【学以致用】 四边形EFCD是平行四边形。0B=2CE。 .M,N分别是BD,CE的中点，MN=12cm, .DE+BC=24cm。 (2)DE,EF是△ABC的中位线， 如图2，过点D作DG⊥BC于点G。 ∴.D,F分别是AC,BC的中点。 D DF是△ABC的中位线。DF=2AB。 20.(1)证明：·BD∥CE∥FG, G ∴.LACE=∠ABD,∠DEC=∠EFGO 图2 ∠ABD+∠EFG=180°，∠ACE+∠DEC=180°。 .∠B=30°，BD=8cm,∴.DG=4cm。 .BC∥DE。.四边形BCED是平行四边形。 (2)解：：四边形BCED是平行四AN ∴.S梯形BCED= BC+DE)DG=X24x4=48(cr 边形， 专项突破一三角形的有关证明与计算 ∴.CE=BD=20cm。 C 1.(1)证明：如图1，连接DB并延长到点E。 如图，延长AC交FG于点H。 :·∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE 由(1)知，CH∥EF,CE∥FH, 且∠ABC=∠ABE+∠CBE, ∴.四边形CHFE是平行四边形 :.∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C=∠A+∠ADC+∠C。 ∴.CH=EF=50cm,FH=CE=20cm。 .'AH=AC+CH=100 cm,GH=FG-FH=60 cmo .∠AGF=90°，.AG=√A-G=80cm, .R 即椅子最高点A到地面FG的距离为80cm。 21.解：(1)当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边 形。理由如下： :∠AEB=∠CFD,∴.∠AEO=∠CFO。∴.AE∥CF。 图1 图2 四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC。 (2)解：如图2，连接CF。 ∠AE0=∠CF0, 由(1)知，∠B=∠A+∠AFC+∠BCF, 在△AOE和△COF中 ∠AOE=∠COF ∠D=∠E+∠EFC+∠DCF。 LOA=0C, :∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°， .△AOE≌△COF(AAS)。∴.AE=CF。 ∴.∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF=150°， ∴.四边形AECF是平行四边形。 即90°+∠AFE=150°。∴.∠AFE=60°。 (2)当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形。理由 (3)100°【解析】如图3，在直线EW上取一点P,连接AP。 如下： :四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD。 多 2 BE=DF,∴OB-BE=OD-DF, 即OE=OF。∴.四边形AECF是平行四边形。 2,解：（探究学习】MN∥DE,∥BC且MN=之(BC+DBE)。 3 NP 证明：如图1，连接DW并延长交BC延长线于点F。 图3 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 .73·