第4章 因式分解 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

第四章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A.x(x+1)=x2+x B.(a+b)(a-b)=a2-b2 叩 C.x2+4x+4=(x+2)2 D.x+1=x(1+ 2.用提公因式法将多项式8a2b-12a3b2c因式分解，提取的公因式是 A.8a2b B.12ab2c C.4ab D.4a2b 3.把多项式ax2-☐ax+16a因式分解的结果为a(x-4)2,则“☐”中的数为 A.-4 B.-8 C.8 D.16 4.将下列多项式因式分解，结果中不含因式(m+2)的是 A.m2+2m B.m2-4 C.m2-4m+4 D.m2+4m+4 5.如图，长方形的长和宽分别为x,y,它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为 救 A.140 B.70 C.14 D.10 0 h b 图1 图2 第5题图 第7题图 6已知是有理数，则多项式x1-子的值 A.一定为负数 B.不可能为正数 C.一定为正数 D.可能是正数或负数或零 7.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式，例如图1可以得到用完全平 方公式进行因式分解的等式a2+2ab+b2=(a+b)2。如图2是由4个长方形拼成的一个大的长方形， 用不同的方式表示此长方形的面积，由此不能得到的因式分解的等式是 A.a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) B.m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n) C.am+bm+an+bn=(a+b)(m+n) D.ab+mn+am+bn=(a+b)(m+n) 8.已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是 A.41,48 B.45,47 C.43,48 D.41,47 9.我们定义：一个整式能表示成a2+b(a,b是整式)的形式，则称这个整式为“完全式”。例如：因为M= x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整式)，所以M为“完全式”。若S=x2+4y2-8x+12y+k(x,y是整式，k 为常数)为“完全式”，则k的值为 () A.23 B.24 C.25 D.26 10.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”。例如：已知8= 32-12,16=52-32,24=7-52,则8,16,24这三个数都是奇特数。如图所示，拼叠的正方形边长是从 1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为203，则阴影部分的面积为() A.19208 B.20000 C.20706 D.20808 二、填空题（本题包括6个小题，每小题3分，共18分） 11.因式分解：a2-7a= 12.利用因式分解简便计算：42.52+85×57.5+57.52= 13.新情境〔实际情境〕小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚 了，中间项是12xy,请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式。（写出一种即可) 原式：■+12xy+■=( )2。 14.已知a,b是△ABC的两边，且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 15.在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简 单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了。有一种用“因式 分解”法产生的密码，方便记忆。其原理如下：对于多项式a4-b4因式分解的结果是(a-b)(a+b) (a2+b2),若取a=8,b=8时，则各个因式的值为a-b=0,a+b=16,a2+b2=128,把这些值从小到大排 列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码。对于多项式27a3-3ab2,取a=4, b=1时，请你写出用上述方法产生的密码： 16.定义：任意两个数a,b,按规则c=a+b-ab扩充得到一个新数c,称所得的新数c为“鸿蒙数”。若a= 2,b=x2-2x+2,比较b,c的大小：b Co 三、解答题（本题包括共6个小题，共52分） 17.(12分)因式分解： (1)(m+n)2-n2; (2)x3y2+2x2y+x; (3)x(a-b)+y(b-a); (4)81a4-72a262+16b。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·27· 18.(6分)先因式分解，再求值：(4x+5y)2-(3x-2)2,其中x= ,y=1。 19.(6分)两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9), 另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),请将原多项式因式分解。 20.(8分)阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分 解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解。 例1：“两两”分组：ax+ay+bx+by。 例2：“三一分组”：2xy+x2-1+y2。 解：原式=(ax+ay)+(bx+by) 解：原式=(x2+2xy+y2)-1 =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)2-1 =(a+b)(x+y）。 =(x+y+1)(x+y-1)。 归纳总结：用分组分解法因式分解要先恰当分组，然后用提公因式法或公式法继续分解。 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 因式分解： (1)x2-xy+4x-4y; (2)x2-y2+4y-4。 21.（10分)阅读理解：将多项式x2+3x-10因式分解，得x2+3x-10=(x-2)(x+5),说明多项式x2+3x-10 有一个因式为x-2,还可知，当x-2=0时，x2+3x-10=0。 请你学习上述阅读材料解答以下问题： (1)若多项式x2+x-6有一个因式为x-3,求k的值； (2)若x+2,x-1是多项式2x3+ax2+5x-b的两个因式，求a,b的值。 ·28· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 22.（10分)综合与实践。 数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。我 们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，如：探索整式乘法的一些 法则和公式。 (1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可 得一个多项式的因式分解： (2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为α的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一 个棱长为b(b<a)的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 (3)将图3中的几何体分割成三个长方体①②③，如图4，图5所示。 BC=a,AB=a-b,CF=b,∴.长方体①的体积为ab(a-b)。 类似地，长方体②的体积为 ,长方体③的体积为 ;(结果不需要化简) (4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式为 (5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6,ab=2,求a3-b3的值。 B C S ①②0 E e ③ R a-b a G 少 病 图1 图2 图3 图4 T ①D 0 ②0o ③ E N H 图5 选做题 定义：若一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n>1,则称这个正整数为“智慧优数”。 例如：16=52-32,16就是一个智慧优数，可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究。若将智慧优数从小 到大排列，则第10个智慧优数是=(m-x)2(m-y）。 22.42 10.D11.C12.C 1&(分m3 23解：(1)25×+(-25)×+25(-宁》 311 14.9或-7小斗提示：完全平方公式有两个。 =25×(424 15.解：(1)(x2-2y)2-(1-2y)2 =25x0 =(x2-2y+1-2y)(x2-2y-1+2y) =0。 =(x2-4y+1)(x2-1) (2)(-2)2025+(-2)2026 =(x2-4y+1)(x-1)(x+1)。 =(-2)2025(1-2) (2)a4b4-4=(a2b2+2)(a2b2-2)。 -22025 (3)-4ab-4a2-b2 (3)38.52-36.52 =-(4ab+4a2+b2) =(38.5+36.5)(38.5-36.5) =-(2a+b)2。 =75×2 (4)4-12(x-y）+9(x-y)2 =150。 =[2-3(x-y)]2 (4)992+202×99+1012 =(2-3x+3y)2。 =992+2×101×99+1012 16.解：(1)C =(99+101)2 (2)不彻底(x-1)4 =2002 【解析】该同学因式分解的结果不彻底。 =40000。 x2-2x+1=(x-1)2, 24.解：(1)22+42=4+16=20,20÷4=5， .该因式分解的最终结果为(x-1)4。 .22+42的结果是4的5倍。 (3)设x2-2=y, (2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数)， 原式=y(y-4)+4 则较大的一个为2n+2。 =y2-4y+4 .（2n)2+(2n+2)2 =(y-2)2 =4n2+4n2+8n+4 =(x2-2-2)2 =8n2+8n+4 =(x2-4)2 =4(2n2+2n+1)。 =(x+2)2(x-2)2。 n为整数，∴.2n2+2n+1为奇数， 17.解：(1)x4+4y 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍。 =x4+4x2y2+4y4-4x2y2 (3)设三个连续偶数较小的一个为2n(n为整数)， =(x2+2y2)2-4x2y2 则中间的一个为2n+2,较大的一个为2n+4。 =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy）。 .(2n)2+(2n+2)2+(2n+4)2 (2)x2-2ax-b2-2ab =4n2+4n2+8n+4+4n2+16n+16 =x2-2ax+a2-a2-b2-2ab =12n2+24n+20 =(x-a)2-(a+b)2 =4(3n2+6n+5)。 =(x-a+a+b)(x-a-a-b) .任意三个连续偶数的平方和是4的倍数。 =(x+b)(x-2a-b)。 25.解：(1)x2-2x-15=x2-2x+1-1-15 18.D19.A =(x-1)2-42=(x+3)(x-5)。 20.解：(1)12x2-3y2 (2)x2-6x+11=x2-6x+9+2=(x-3)2+2。 =3(4x2-y2) (x-3)2≥0， =3(2x+y)(2x-y)。 .(x-3)2+2>0。 (2)x2(x+y）-y2(y+x) .多项式x2-6x+11的值总是一个正数。 =(x+y)(x2-y2) (3)由条件可知，2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac, =(x+y)(x+y)(x-y) .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0. =(x+y)2(x-y)。 .a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2=0。 (3)a3b-16a2b2+64ab3 .(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0。 =ab(a2-16ab+64b2)） (a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(a-c)2≥0， =ab(a-8b)2。 .∴.a-b=0,b-c=0,a-c=0。 (4)(a+b)(a+b-12)+36 ∴.a=b=c。 =(a+b)2-12(a+b)+36 ∴.△ABC是等边三角形。 =(a+b-6)2。 第四章学业水平测试 21.D 1.c 2.D =x(a-b)-y(a-b) 小斗总结 =(a-b)(x-y)。 找公因式的步骤：1.各系数的最小公因数；2.各项都含有的字 (4)81a4-72a2b2+16b4 母；3.相同字母的最小指数。 =(9a2-4b2)2 3.C4.C5.B =(3a+2b)2(3a-2b)2。 6.B【解析】x-1- -(g 18.解：(4x+5y)2-(3x-2y)2 =[(4x+5y)+(3x-2y)][(4x+5y)-(3x-2y)] 1 =(4x+5y+3x-2y)(4x+5y-3x+2y) =-（2t-1)2≤0， =(7x+3y)(x+7y)。 .多项式x-1- 的值不可能为正数。 当x=7y=1时， 7.D 8.C小斗提示：利用平方差公式，对已知的多项式进行因式分解 原式=(7x7+3x1)×号+7x1)=20。 1 7 即可得出结论。 19.解：设原多项式为ax2+bx+c。 【解析】74-1=(72+1)(72-1) 2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9) =(72+1)(7+1)(7-1) =2x2-20x+18,∴.a=2,c=18。 =(72+1)(7+1)(73+1)(73-1) 2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8) =(72+1)(76+1)(7+1)(72-7×1+12)(7-1) =2x2-12x+16,.b=-12。 (72+7×1+12) .原多项式为2x2-12x+18。 =(72+1)(7+1)×8×43x6×57 将它因式分解，得2x2-12x+18 =(72+1)(76+1)×48×43×57。 =2(x2-6x+9)=2(x-3)2。 ·724-1可被40至50之间的两个整数整除， 20.解：(1)x2-xy+4x-4y .这两个整数是43,48。 =x(x-y)+4(x-y） 9.C =(x-y)(x+4)。 10.D【解析】第1个阴影部分的面积为32-12=8， (2)x2-y2+4y-4 第2个阴影部分的面积为7-52=24=8+16， =x2-(y2-4y+4) 第3个阴影部分的面积为112-92=40=8+16×2， =x2-(y-2)2 第4个阴影部分的面积为152-132=56=8+16×3， =(x+y-2)(x-y+2)。 21.解：(1)多项式x2+x-6有一个因式为x-3, 2032-2012=808=8+16×50,即第51个阴影部分的面积。 .当x=3时，x2+kx-6=0, 所有阴影部分的面积为8+24+40+56+…+808 即32+3k-6=0。.k=-1。 (2)x+2,x-1是多项式2x3+ax2+5x-b的两个因式， F2×51x(8+808)=20808 .当x=-2,x=1时，2x3+ax2+5x-b=0, 11.a(a-7)12.1000013.3x+2y(答案不唯一) 即2×(-2)3+a×(-2)2+5×(-2)-b=0,① 14.等腰三角形15.111213 2×13+a×12+5×1-b=0。② 16.≥【解析】当a=2,b=x2-2x+2时， 由①，得4a-b=26。③ c=a+b-ab=2+(x2-2x+2)-2(x2-2x+2) 由②，得a-b=-7。④ =2+x2-2x+2-2x2+4x-4 联立③④，解得a=11,b=18。 =-x2+2x。 22.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) ,b-c=(x2-2x+2)-(-x2+2x) (2)a3-b3 =x2-2x+2+x2-2x (3)b2(a-b)a2(a-b) =2x2-4x+2 (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) =2(x2-2x+1) 【解析】(1)：题图1中阴影部分的面积为a2-b2, =2(x-1)2≥0， 题图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b), .b≥co .a2-b2=(a+b)(a-b)。 17.解：(1)(m+n)2-n2 (3).EN=b,DE=6,DM=a-6, =[(m+n)+n][(m+n)-n] .长方体②的体积为b2(a-b)。 =m(m+2n)。 .GH=a,FG=a-b,HR=a, (2)x3y2+2x2y+x .长方体③的体积为a(a-b)。 =x(x2y2+2xy+1) (4)由(2)和(3)，得a3-b3 =x(xy+1)2。 =ab(a-b)+b2(a-b)+a2(a-b) (3)x(a-b)+y(b-a) =(a-b)(a2+ab+b2)。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·69· (5)a-b=6,ab=2, 1 1 4(x+2)(x-2) .(a-b)2=a2-2ab+b2,即36=a2+b2-4。 6x-3x2=3x(x-2)12x(x+2)(x-2)2 .a2+b2=40。 2x 2x 24x2(x-2) a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)=6×(40+2)=252。 x2-4(x+2)(x-2)12x(x+2)(x-2)2 选做题 12.C13.B14.B 32【解析】·两个正整数m,n满足m-n>1, 1 ∴.m-n=2或m-n=3或m-n=4或m-n=5 15. m-4 16.ab atb 17.- a+1 或m-n=6… 18解：(1)L+4 a-2 4 当m-n=2时，m=n+2, a+2a2-4(a+2)(a-2)'(a+2)(a-2) .m2-n2=(n+2+n)(n+2-n)=4(n+1), a+2 1 得到的智慧优数为8,12,16，… (a+2)(a-2)a-2° 当m-n=3时，m=n+3, .m2-n2=(n+3+n)(n+3-n)=3(2n+3), (22-2+1,1。(-1)2 x2+x x2-1x2+x(x-1)(x+1)x-1 得到的智慧优数为15,21,27，； 当m-n=4时，m=n+4, (x-1)2,x(x+1) (x-1)(x+1)x-1 =x0 .m2-n2=(n+4+n)(n+4-n)=8(n+2), 得到的智慧优数为24,32,40，…； (32a6(82·4=2a0 a2 a 46246 当m-n=5时，m=n+5, .m2-n2=(n+5+n)(n+5-n)=5(2n+5), =2n6.4w.a-2ab。 得到的智慧优数为35,45,55，…； a2462 当m-n=6时，m=n+6, 4)02.a-21-11 .m2-n2=(n+6+n)(n+6-n)=12(n+3), 'a-2a3a+1aa+1 得到的智慧优数为48,60,72，； a+1 1 1 a(a+1)a(a+1)a(a+1)a2+a° 把这些智慧优数从小到大排列为8,12,15,16,20,21,24， 21 22+x-1 )= 27,28,32,33,35,36,39,40,…, (5) x+1(1tx+)x+1x+1)(x- 故第10个智慧优数是32。 2(x+1)(x-1)_2(x-1)_2x-2 第五章考点梳理与复习 x+1x+1 x+1 (6)-4+43 x+1o 1.B2.D 2 ÷( 3.3 x2+x+1+1)+ +2 4.-2 -（x-2)24-x22 小斗总结… x(x+1)x+1x+2 分式的值为0必须满足两个条件：1.分子等于0；2.分母不等 =(x-2)2 x+1 2 一十 于0。 x(x+1)）·-(x+2)(x-2)x+2 5.D6.A7.C 2-x 2x 1 8.12x+2y小斗提示：先通过分母观察变化情况，然后分子作相同 x(x+2)Tx(x+2)=x。 的变化。 19. b 9 ￥：-4x+4÷(1-。)=·x-2 0 20.解：- x+2x+2x+2 10解：1)24-3。 =(x-2)2,x+2 =x-2。 8y'z x+2x-2 (22-2a+1(a-1)2 =a~1 当x=√2+2时，原式=√2+2-2=√2。 a2-1(a+1)(a-1)a+1 x2-4÷-2+x-x 11.解：(1)1=- 3y2z2 8x'y 24x 21解：2+4x+42+2x- =(x+2)(x-2）.x(x+2)x(x-1) 216x2z (x+2)2 x-2x-1 3xy:24x =x+x=2x。 520x23y3 由题意，得x≠0,1，±2， 6xz224xy2 当x=-1时，原式=2×(-1)=-2。 (2)x 3x2(x+2) 2）(2-4）240x-2）212(+2)0x-2) 22.解.a-ba÷02-62 "atb a+b a2-2ab+b2 ·70· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 =a-b_a:(a+b)(a-6) 和40立方米。 atb a+b (a-b)2 (2)设安排甲队工作m天。 =a-b a a-b 根据题意，得60m+40×30≥1560。 a+b a+b a+b 解得m≥6。 a2-b2 a2-ab ab-62 答：至少安排甲队工作6天。 (a+b)2(a+b)2(a+b)2 29.解：(1)设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人 .…b-2a=0,∴.b=2a。 机模型的单价为(x+600)元。 原式=0·2a-(2a)2 2 (a+2a)2 90 根据题意，得900-5400 x+600 23.B 解得x=900。 号 经检验，x=900是原分式方程的解，且符合题意。 .x+600=900+600=1500。 25解：小斗提示：解分式方程必须检验。 答：A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模 (1)方程两边乘(x-1), 型的单价为900元。 得3=5(x-1)-3x0 (2)设购买A款无人机模型m架，B款无人机模型n架。 解得x=4。 根据题意，得1500m+900n=18000。 检验：当x=4时，x-1≠0。 .原分式方程的解为x=4。 整理，得m=12- 5n (2)方程两边乘x(x+1)(x-1), m,n均为正整数， 得5(x-1)-(x+1)=0。 3 9成0皮西 In=5 解得x= 2 有3种购买方案： 时，x(x+1)(x-1)≠0。 3 ①购买A款无人机模型9架，B款无人机模型5架； 检验：当x= ②购买A款无人机模型6架，B款无人机模型10架； 3 ·原分式方程的解为x=2 ③购买A款无人机模型3架，B款无人机模型15架。 第五章学业水平测试 (3)方程两边乘(x+2)(x-2), 1.C2.D3.A4.A5.A 得2(x+2)-4=x-2。 6.A【解析】设汽艇的速度为α，河水流动的速度为b, 解得x=-2。 60 则汽艇在平静的河水中所用时间为2= 检验：当x=-2时，（x+2)(x-2)=0, 因此x=-2不是原分式方程的解。 30.30 在流动的河水中所用时间为t1= ·原分式方程无解。 a+b a-b (4)方程两边乘(2x-5)(2x+5), 30,30606062 t1-t2= 得2x(2x+5)-2(2x-5)=(2x-5)(2x+5)。 a+b a-b aa(a+b)(a-b) 解得x二35 a>b>0,.a+b>0,a-b>0。 0 6062 a(a+b)(a-b) 0,即t1-l2>0。∴.t1>20 检验：当x=-35 ，(2x-5)(2x+5)≠0。 7.C 小斗提示：把u,v当作常数，解方程即可。 ·原分式方程的解为x=35。 8.C 6 9.D【解析】当x=-4时，分式+”无意义， 26.D 2x-m 27.78、65 即2×(-4)-m=0,解得m=-8; x+3 x 28.解：(1)设乙采冰队每天能采冰的体积为x立方米，则 当=4时，分式的位为0， 甲采冰队每天能采冰的体积为1.5x立方米。 即4+n=0,解得n=-4。 根据题意，得360360 x1.5 3。 分式为-4 2x+8 解得x=40。 a-4_1 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意。 当=a时2a+83解得a=20。 .1.5x=1.5×40=60。 检验：当a=20时，2a+8≠0， 答：甲、乙两个采冰队每天采冰的体积分别为60立方米 ∴.分式方程的解为a=20。