第4章 因式分解 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

第四章考点梳理与复习 考点一因式分解的概念 【训练目的】理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。 1.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 A.(x+1)(x-1)=x2-1 B.8a2b3c=2a2·2b3·2c C.x+1=x(1+) D.x2+4x+4=(x+2)2 2.下列因式分解正确的是 叩 A.xy-y-=y(x-y) B.x2-9=(x+9)(x-9) C.4x2-4x+1=(4x-1)2 D.2x2-6x+2=2(x2-3x) 3.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： 4.如果把多项式x2-3x+n因式分解，得(x-1)(x+m),那么m= 5.新考法〔阅读理解〕仔细阅读下面例题，解答问题。 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式以及m的值。 9 解：设另一个因式为x+n,得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则广nn3a小常得n=-7m-21. .另一个因式为x-7,m的值为-21。 问题：仿照以上方法解答下面问题。 已知二次三项式2x+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式以及k的值。 蜜 考点二用提公因式法因式分解 【训练目的】能分辨多项式各项的公因式，会用提公因式法因式分解。 6.把多项式4x2y2z-12xy2z-6xyz2因式分解时，应提取的公因式是 A.xyz B.2xy C.2xyz D.2x2y222 7.下列多项式中，没有公因式的是 A.a(m+n)和(m+n) B.32(x+y)和(-x+y) C.3b(x-y)和2(x-y) D.(3a-3b)和6(b- 8.因式分解：ax2-2ax-a= 9.因式分解： (1)8m2n+2m; (2)-9x3y3-21x3y2+12x2y2; (3)x2(x-y)-2x(x-y); (4)6(n-m)-12(m-n)2; ) (5)(x-2)2-x+2; (6)m(m-x)(m-y）-x(x-m)(y-m)。 ) 考点三用公式法因式分解 【训练目的】掌握平方差公式与完全平方公式的基本特征，能运用公式进行因式分解。 10.下列多项式能用平方差公式因式分解的是 ) A.x2+y2 B.-x2-y2 C.x2-y3 D.-x2+y2 11.下列各式能用完全平方公式因式分解的是 () A.x2+2xy-y2 B.x2-y+4y2 C.x-xy+4 D.x2-5y+10y2 12.如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是 A.a2+2ab+b2=(a+b)2 a B.a2-2ab+b2=(a-b)2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2+ab=a(a+b) 1 3因式分解：m21+1少 14.若多项式x2-(m-1)x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 15.因式分解： (1)(x2-2y)2-(1-2y)2; (2)a4b4-4; ) (3)-4ab-4a2-b2; (4)4-12(x-y)+9(x-y)2。 主题情境学无止境请完成第16-17题 从基础换元法到姬曼定理，数学的探索永无止境。面对复杂问题，敢于创新方法，不断突破认知边 界。正如因式分解从简单到精妙，学习亦需步步为营，在积累中寻求飞跃，这正是“学无止境”的真谛。 16.下面是某同学对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解的过程： 解：设x2-2x=y, 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·25· 原式=y(y+2)+1(第一步) =y2+2y+1(第二步) =(y+1)2(第三步) =(x2-2x+1)2(第四步)。 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了 A.提取公因式 B.平方差公式 C.完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ (填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底，则该因式分 解的最终结果为 (3)请你模仿上述方法，对多项式(x2-2)(x2-6)+4进行因式分解。 17.请看下面的问题：把x4+4因式分解。 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和(x2)2+2的形式，要使用公 式就必须添一项4x2,随即将此项减去，即得x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2= (x2+2x+2)(x2-2x+2)。人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫作“姬曼定理”，请你依 照苏菲·姬曼的做法，将下列各式因式分解。 (1)x4+4y4; (2)x2-2ax-b2-2ab。 考点四提公因式法与公式法的综合 【训练目的】能综合运用两种方法进行因式分解。 18.将多项式3x2-6x+3因式分解，下列结果正确的是 A.3(x2-2x) B.3x(x-2) C.3(x2-2x+1) D.3(x-1)2 19.对4x2-16因式分解，嘉嘉的解答为4(x+2)(x-2),琪琪的解答为(2x+2)(2x-2),下列判断正确的是 () A.只有嘉嘉的结果对 B.只有琪琪的结果对 C.两人的结果都对 D.两人的结果都不对 20.把下列各式因式分解： (1)12x2-3y2; (2)x2(x+y)-y2(y+x); ·26· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 (3)a3b-16a2b2+64ab3; (4)(a+b)(a+b-12)+36。 考点五因式分解的应用 【训练目的】能用因式分解解决相关问题，如：代数式求值，面积计算，整除证明等。 21.新考法〔跨学科〕在物理电学中，常用公式U=R1+IR2+IR3求串联电路的总电压，当R1=28.3,R2=61.5, R3=10.2,I=3.1时，电压U的值为 A.200 B.210 C.300 D.310 22.若a+b=6,ab=7,则ab+ab2的值为 23用简便方法计算： （125x+(-25)×+25x(-: (2)(-2)205+(-2)2026; (3)38.52-36.52; (4)992+202×99+1012. 24.发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍。 验证：(1)计算22+42的结果是4的几倍； (2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数)，请论证“发现”中的结论正确； 拓展：(3)任意三个连续偶数的平方和是4的倍数吗？ 25.阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个 完全平方式的和，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解，例如：x2+4x-5=x+4x+22- 22-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=（x+5)(x-1)。 (1)解决问题：运用配方法将x2-2x-15进行因式分解； (2)深入研究：说明多项式x2-6x+11的值总是一个正数； (3)拓展运用：已知a,b,c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ac,试判断△ABC的形状，并说 明理由。在Rt△CDE中，CE=√CD2-DE2=15√3(cm)。 18.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求作。 .CD-CE=(30-15√3)cm。 11.5x-2(30-x)≥10012.60°13.106° 14.(2025,1)【解析】根据题意，得A1(1,1),A2(-1,3), -P:% A2 A3(-4,0),A4(0,-4), .A(5,1),A6(-1,7),A(-8,0),A(0,-8)… 每四个点一个循环，每组第一个点的坐标为(n,1),第二 个点的坐标为(-1，n+1),第三个点的坐标为(-n-1,0), (2)如图所示，△A2B2C2即为所求作。 第四个点的坐标为(0，-n)。 (3)如图所示，点P即为所求。（作图方法不唯一） .·2025=4×506+1, 19.解：已知：如图，△ABC≌△EFG,AD,EH分别是△AB .点A22s的坐标为(2025,1)。 和△EFG的对应边BC,FG上的高。 15.①④【解析】解不等式x2<2,得>1。 求证：AD=EH。 证明：'△ABC≌△EFG,∴.AB=EF,∠B=∠F。 a-1 解不等式2x-a≤-1，得x≤2。 ,·AD,EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC,FG 不等式组的解集是1<x≤3， 的高， .∠ADB=∠EHF=90°。 4,3。a=7。故①正确 ∠ADB=∠EHF, 当a2时，2分 在△ABD和△EFH中，{∠B=∠F, AB=EF. 此时原不等式组无解。故②错误； ∴.△ABD≌△EFH(AAS)。∴.AD=EH。 :不等式组的整数解仅有3个， k=- 4≤0<5。.9≤a<11。故③错误 20怎：(1)报系题意科解 6=- 29 :不等式组有解21 33 ∴.直线y=x+b的表达式为y= ∴.a>3。故④正确。 2x-2° 16解：(1)如图所示，点D即为所求。 y=2x-4, 7 根据题意，得 33解得 22° 18 y= 70 C/D 点4的单标为（号，马。 (2)在Rt△ABC中，：∠C=90°，∠B=35°， ∴.∠BAC=55°。 (2)根据图象可得，2x-4<kx+b≤0的解集为-1≤x< 又AD=BD,∴∠BAD=∠B=35°。 (3)设点P的坐标为(x,0)。 ∴.∠CAD=∠BAC-∠BAD=20°。 17.解：(1)移项，得5x-x>-2+6。 根据题套得5m×1x+1×)。 1 合并同类项，得4x>4。 解得x=6或-8。 系数化为1，得x>1。 ∴.点P的坐标为(6,0)或(-8,0)。 把不等式的解集表示在数轴上如下： -3-2-10123 21(探究发现】解：DE=F船0 ACAC CD r4x+8>3x+7,① 【类比探究】证明：如图，过点D作DN⊥BA于点N, (2)3x+1 2≥2x-1。② DM⊥AC于点M,过点A作AP⊥BD于点P。 N 解不等式①，得x>-1。 解不等式②，得x≤3。 ∴.不等式组的解集是-1<x≤3。 P 把不等式组的解集表示在数轴上如下： 32片10123 'AD平分∠MAN,∴.DN=DM。 ·68· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 24B·DW 长江 SAABD AB SAACD 2AC·DM AC 火车站 铁路 又.Saw 2BD·AP BD AB BD SAACD 2CD·AP CD°ACCD 图2 则MW=BB'=1200m。 22.解：(1)设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学 .BN=B'M。 需资金y万元。 .A,B两点之间的路径为AM+MN+BN=AM+MN+ 根据题意，得215解得x=80, B'M≥AB'+MN,即在MN处修建运输桥可以使A,B两 1x+3y=245。 ly=55。 点之间的路径最短。 答：改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金 由题意可知，AL=BQ=2400m,MN=PQ=1200m, 55万元。 LP=600m, (2)设要改造的小学有m所。 .B'L=BQ-BB'+PQ+LP=3 000 mo 根据题意，得130055m≤8。解得m≥12。 设PM的长度为x。 80 答：要改造的小学至少有12所。 :'S△ABL=S△Mnp+S梯形AMPL, (3)设改造a所中学，则改造(10-a)所小学。 8L·AL-=28Bp.Pn+(Pw+M).D, ∴. 2 限聚题意和g00-5 即X30240=子x240x+7x(x+240)x60, .1 2 解得2≤a≤5。 解得x=1920。 a为整数，∴.a的值可以为2,3,4,5。 ∴.桥与铁路的距离为1920m。 .共有4种改造方案， 方案1：改造2所中学，8所小学； 第四章考点梳理与复习 1.D2.A 方案2：改造3所中学，7所小学； 3.x2+6x+8=(x+2)(x+4) 方案3：改造4所中学，6所小学； 方案4：改造5所中学，5所小学。 4.-22小斗提示：因式分解的结果相乘后与原多项式相等。 23.解：【方法分析】如图1，先画出点A关于y轴的对称点 5.解：设另一个因式为x+a, A',连接A'B交y轴于点C,此时AC+BC的值最小，点C 得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a), 则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a。 即为所求。 3=2a-5, {k=-5a, 解得a=4,k=20。 .另一个因式为x+4,k的值为20。 0 6.C7.B 8.a(x2-2x-1)小斗提示：当多项式某一项与公因式相同时，提 图1 取后该项剩余1，即提取公因式后的多项式与原多项式项数相等。 点A'与点A(4,0)关于y轴对称， 9.解：(1)8m2n+2mn=2mn(4m+1)。 A'(-4,0)。∴.0A'=4。 (2)-9x3y3-21x3y2+12x2y2=-3x2y2(3xy+7x-4)。 设C(0,y),则0C=y。 (3)x2(x-y)-2x(x-y)=x(x-y)(x-2)0 SA0B=SAOC+S△BoC, (4)6(n-m)-12(m-n)2 2oa-20r.0c*0c% =6(n-m)-12(n-m)2 2 =6(n-m)[1-2(n-m)] 分×45=×4+×2，解得y=号。 1 10 =6(n-m)(1-2n+2m)。 2 (5)(x-2)2-x+2 点G的坐标为(0,9。 =(x-2)2-(x-2) =(x-2)[(x-2)-1] 【问题解决】如图2，令互相平行的直线11,2与铁路所 =(x-2)(x-3)。 在直线相交于点P,Q,将点B向左平移1200m至点 (6)m(m-x)(m-y)-x(x-m)(y-m） B',连接AB'与l1交于点M,作MN⊥L1交L2于点V,连 =m(m-x)(m-y）-x(m-x)(m-y） 接BN,过点A作AL⊥PQ于点L, =(m-x)(m-y)(m-x) =(m-x)2(m-y）。 22.42 10.D11.C12.C 1&(分m3 23解：(1)25×+(-25)×+25(-宁》 311 14.9或-7小斗提示：完全平方公式有两个。 =25×(424 15.解：(1)(x2-2y)2-(1-2y)2 =25x0 =(x2-2y+1-2y)(x2-2y-1+2y) =0。 =(x2-4y+1)(x2-1) (2)(-2)2025+(-2)2026 =(x2-4y+1)(x-1)(x+1)。 =(-2)2025(1-2) (2)a4b4-4=(a2b2+2)(a2b2-2)。 -22025 (3)-4ab-4a2-b2 (3)38.52-36.52 =-(4ab+4a2+b2) =(38.5+36.5)(38.5-36.5) =-(2a+b)2。 =75×2 (4)4-12(x-y）+9(x-y)2 =150。 =[2-3(x-y)]2 (4)992+202×99+1012 =(2-3x+3y)2。 =992+2×101×99+1012 16.解：(1)C =(99+101)2 (2)不彻底(x-1)4 =2002 【解析】该同学因式分解的结果不彻底。 =40000。 x2-2x+1=(x-1)2, 24.解：(1)22+42=4+16=20,20÷4=5， .该因式分解的最终结果为(x-1)4。 .22+42的结果是4的5倍。 (3)设x2-2=y, (2)设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数)， 原式=y(y-4)+4 则较大的一个为2n+2。 =y2-4y+4 .（2n)2+(2n+2)2 =(y-2)2 =4n2+4n2+8n+4 =(x2-2-2)2 =8n2+8n+4 =(x2-4)2 =4(2n2+2n+1)。 =(x+2)2(x-2)2。 n为整数，∴.2n2+2n+1为奇数， 17.解：(1)x4+4y 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍。 =x4+4x2y2+4y4-4x2y2 (3)设三个连续偶数较小的一个为2n(n为整数)， =(x2+2y2)2-4x2y2 则中间的一个为2n+2,较大的一个为2n+4。 =(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy）。 .(2n)2+(2n+2)2+(2n+4)2 (2)x2-2ax-b2-2ab =4n2+4n2+8n+4+4n2+16n+16 =x2-2ax+a2-a2-b2-2ab =12n2+24n+20 =(x-a)2-(a+b)2 =4(3n2+6n+5)。 =(x-a+a+b)(x-a-a-b) .任意三个连续偶数的平方和是4的倍数。 =(x+b)(x-2a-b)。 25.解：(1)x2-2x-15=x2-2x+1-1-15 18.D19.A =(x-1)2-42=(x+3)(x-5)。 20.解：(1)12x2-3y2 (2)x2-6x+11=x2-6x+9+2=(x-3)2+2。 =3(4x2-y2) (x-3)2≥0， =3(2x+y)(2x-y)。 .(x-3)2+2>0。 (2)x2(x+y）-y2(y+x) .多项式x2-6x+11的值总是一个正数。 =(x+y)(x2-y2) (3)由条件可知，2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac, =(x+y)(x+y)(x-y) .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0. =(x+y)2(x-y)。 .a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2=0。 (3)a3b-16a2b2+64ab3 .(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0。 =ab(a2-16ab+64b2)） (a-b)2≥0，(b-c)2≥0，(a-c)2≥0， =ab(a-8b)2。 .∴.a-b=0,b-c=0,a-c=0。 (4)(a+b)(a+b-12)+36 ∴.a=b=c。 =(a+b)2-12(a+b)+36 ∴.△ABC是等边三角形。 =(a+b-6)2。 第四章学业水平测试 21.D 1.c 2.D =x(a-b)-y(a-b) 小斗总结 =(a-b)(x-y)。 找公因式的步骤：1.各系数的最小公因数；2.各项都含有的字 (4)81a4-72a2b2+16b4 母；3.相同字母的最小指数。 =(9a2-4b2)2 3.C4.C5.B =(3a+2b)2(3a-2b)2。 6.B【解析】x-1- -(g 18.解：(4x+5y)2-(3x-2y)2 =[(4x+5y)+(3x-2y)][(4x+5y)-(3x-2y)] 1 =(4x+5y+3x-2y)(4x+5y-3x+2y) =-（2t-1)2≤0， =(7x+3y)(x+7y)。 .多项式x-1- 的值不可能为正数。 当x=7y=1时， 7.D 8.C小斗提示：利用平方差公式，对已知的多项式进行因式分解 原式=(7x7+3x1)×号+7x1)=20。 1 7 即可得出结论。 19.解：设原多项式为ax2+bx+c。 【解析】74-1=(72+1)(72-1) 2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9) =(72+1)(7+1)(7-1) =2x2-20x+18,∴.a=2,c=18。 =(72+1)(7+1)(73+1)(73-1) 2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8) =(72+1)(76+1)(7+1)(72-7×1+12)(7-1) =2x2-12x+16,.b=-12。 (72+7×1+12) .原多项式为2x2-12x+18。 =(72+1)(7+1)×8×43x6×57 将它因式分解，得2x2-12x+18 =(72+1)(76+1)×48×43×57。 =2(x2-6x+9)=2(x-3)2。 ·724-1可被40至50之间的两个整数整除， 20.解：(1)x2-xy+4x-4y .这两个整数是43,48。 =x(x-y)+4(x-y） 9.C =(x-y)(x+4)。 10.D【解析】第1个阴影部分的面积为32-12=8， (2)x2-y2+4y-4 第2个阴影部分的面积为7-52=24=8+16， =x2-(y2-4y+4) 第3个阴影部分的面积为112-92=40=8+16×2， =x2-(y-2)2 第4个阴影部分的面积为152-132=56=8+16×3， =(x+y-2)(x-y+2)。 21.解：(1)多项式x2+x-6有一个因式为x-3, 2032-2012=808=8+16×50,即第51个阴影部分的面积。 .当x=3时，x2+kx-6=0, 所有阴影部分的面积为8+24+40+56+…+808 即32+3k-6=0。.k=-1。 (2)x+2,x-1是多项式2x3+ax2+5x-b的两个因式， F2×51x(8+808)=20808 .当x=-2,x=1时，2x3+ax2+5x-b=0, 11.a(a-7)12.1000013.3x+2y(答案不唯一) 即2×(-2)3+a×(-2)2+5×(-2)-b=0,① 14.等腰三角形15.111213 2×13+a×12+5×1-b=0。② 16.≥【解析】当a=2,b=x2-2x+2时， 由①，得4a-b=26。③ c=a+b-ab=2+(x2-2x+2)-2(x2-2x+2) 由②，得a-b=-7。④ =2+x2-2x+2-2x2+4x-4 联立③④，解得a=11,b=18。 =-x2+2x。 22.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) ,b-c=(x2-2x+2)-(-x2+2x) (2)a3-b3 =x2-2x+2+x2-2x (3)b2(a-b)a2(a-b) =2x2-4x+2 (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) =2(x2-2x+1) 【解析】(1)：题图1中阴影部分的面积为a2-b2, =2(x-1)2≥0， 题图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b), .b≥co .a2-b2=(a+b)(a-b)。 17.解：(1)(m+n)2-n2 (3).EN=b,DE=6,DM=a-6, =[(m+n)+n][(m+n)-n] .长方体②的体积为b2(a-b)。 =m(m+2n)。 .GH=a,FG=a-b,HR=a, (2)x3y2+2x2y+x .长方体③的体积为a(a-b)。 =x(x2y2+2xy+1) (4)由(2)和(3)，得a3-b3 =x(xy+1)2。 =ab(a-b)+b2(a-b)+a2(a-b) (3)x(a-b)+y(b-a) =(a-b)(a2+ab+b2)。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·69·