第2章 不等式与不等式组 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

第二章考点梳理与复习 考点一不等式以及不等式的解集 【训练目的】掌握描述、表示不等关系的数学工具，为后续函数、优化问题等学习奠 定基础。 1.下列6个式子：①-2<0；②2x-1≠0；③2x-1=0;④2x-1≥0；⑤m-2;⑥-2≤2ab。其中不等式有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.下列实数中，满足不等式x>3的是 训 A.(-3)3 B√2 C.m D.27 3.不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是 01 01 01 A B 4.用不等式表示“x的一半与7的差大于3”为 考点二不等式的基本性质 【训练目的】掌握不等式变形的“规则”，能依据性质进行严谨的代数推理。 5.若x<y,且ax<ay,则a的值可能是 救 A.0 B.1 C.-1 D.-2 6.下列说法正确的是 A.若a>b,则a+4<b+4 B若-lk-1,则a0 c若兰期ae0 D.若a>b,则ac2>bc2 7新考法〔阅读理解〕阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确 性，如下例题： 例：已知实数m,n满足m>n>0,证明：m2>n2。 证明：'m>n且m,n均为正， .m2> mn> (不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变)。 .m2>n(不等式的传递性)。 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2②)尝试证明：若，则y。 考点三一元一次不等式的解法 【训练目的】掌握解一元一次不等式的完整流程，能规范求出解集并准确表示。 8.已知(m-4)xm-3+2>6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 0 2x+y=2k-1, 9.已知关于x,y的方程组{ 的解满足x+y>1,则k的取值范围是 x+2y=-4 10.解下列不等式： 1+2x (1)-x-1≤3x-5; 2x-1< (2)2 5。 11.解不等式：x-2、1-3 4,并写出它的正整数解。 考点四一元一次不等式与一次函数 【训练目的】建立“数”（不等式）与“形”（函数图象）的关联，能用函数视角理解不等 式的意义，同时学会用图象法解决不等式问题。 12.数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法。如图，一次函数y=-x-1与y=mx+n(m,n为常 数，m≠0)的图象相交于点(1，-2)，则不等式-x-1>mx+n的解集在数轴上表示正确的是（) y=mx+n 01 0 A D 13.已知下列表格中的每组x,y的值分别是关于x,y的二元一次方程ax+b=y的解，则关于x的不等式 ax+b≥0的解集为 -3 -2 -1 1 y 0 1 3 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·5· 14.近日，黄沙再次肆虐我国多地，引起公众对沙尘天气的关注。植树造林是应对沙尘暴的重要措施。 某校计划组织学生进行植树活动，现要去育苗基地购买树苗，由于数量较多，需要基地把树苗运送 到植树目的地，育苗基地给出了两种方案： 方案一：基地把树苗运送到植树目的地，按6元/棵的价格支付购买树苗的费用，学校无需支付 运费； 方案二：基地把树苗运送到植树目的地，按3.5元/棵的价格支付购买树苗的费用，另外学校需一次 性支付运费800元。 (1)若学校购买这种树苗x棵，请分别写出按方案一购买树苗所需的总费用y1(单位：元)和按方案 二购买树苗所需的总费用y2(单位：元)（含运费）与x(单位：棵)之间的函数表达式； (2)假设你是学校的决策者，你认为应该选择哪种方案更加合算？并说明理由。 考点五一元一次不等式组的解法 【训练目的】掌握“多个不等关系同时成立”的处理方法，能通过求不等式组的解集 解决更复杂的范围问题。 x-1 x 15.若不等式组{23 1，有解，则m的取值范围是 [x>3m 2 A.m3 B.m<-1 C.m≤-1 D.-1<m<3 16.点P(2m-3,m+2)在第二象限，则m的取值范围是 0 2x≥x-1,① 17.解一元一次方程组{ 2(x+2)<3,② 并在数轴上表示。 解：解不等式①，得 -5-4-3-2-1012345 解不等式②，得 在数轴上表示如图所示。 所以，原不等式组的解集为 18.解下列不等式组： 2x-2<4x-3, (1) (2) 2,4 13 6-3x≤5-2x; -2x-11≥4x-5。 r2(x-1)-1>-5, 19.解不等式组 x+1 并写出它的所有整数解。 x-1 2’ ·6 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 考点六不等式（组）的实际应用 【训练目的】掌握“用不等关系解决现实问题”的流程，能从复杂场景中抽象出多个 限制条件，通过列不等式（组）、求解集、结合实际意义验证，最终解决问题，培养数学建 模与综合应用能力。 主题情境校园“科创马拉松”挑战赛请完成第20~21题 20.在“科创马拉松”的机器人竞速组装环节，参赛者需完成总计5700个标准组件的拼接任务。手动拼 接速度为90个/分钟，使用电动工具辅助拼接的速度为210个/分钟。本环节总时长严格限制为 52分钟。为确保任务完成，参赛者至少需要使用电动工具工作多少分钟？设使用电动工具的时间 为x分钟，则所列不等式为 A.210x+90(52-x)≥5700 B.210x+90(52-x）≤5700 C.210x+90(52-x)≥5.7 D.210x+90(52-x)≤5.7 21.在“科创马拉松”的项目答辩环节，设有20道专业知识选择题。评审规则为：答对一题得10分，答 错或不答则倒扣5分（以考核严谨性）。若项目团队想确保在本环节获得“优秀”评级（得分不低于 90分)，则至少需要答对的题数是 ) A.13 B.14 C.15 D.16 22.某超市购进一批水果，运输过程中质量损耗10%，只计购进水果的费用，其它费用忽略不计。 (1)若该超市在进价的基础上提高10%作为售价，请通过计算说明超市是否亏本； (2)若该超市至少获得26%的利润，请通过计算说明这种水果的售价最低应提高百分之几？ 编 23.某学校地理兴趣小组计划开展一次山地地形测绘研学活动。为确保活动顺利进行，需采购一批基 础测绘设备和安全装备。现掌握如下信息： 材料一：经市场调研，购买3套A型号手持GPS定位仪（地理-地形坐标采集）和2套B型号徒步安 全装备包（含登山杖、头盔等）共需380元，购买5套A型号GPS定位仪和4套B型号安全装备包共 需700元。 材料二：根据活动计划与车辆载重限制，需采购A,B两种设备共200套，总预算不超过15300元。 同时，为满足小组协作测绘的基本要求，安全装备包(B)的数量不能少于GPS定位仪(A)数量的易 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A型号GPS定位仪与B型号安全装备包每套的单价各是多少元？ 格 任务二：共有哪几种符合预算与活动要求的采购方案？ 任务三：哪种采购方案总花费最低？最低费用是多少元？结论⑤正确； 方法二：如图2，分别过点B,C作BF⊥AE,交AE的延 没有条件证出OP=OQ,结论③错误。 长线于点F,CG⊥AE于点G。 17.解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB的垂直平 .∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE=90°，BE=CE, 分线上。 ∴.△BEF≌△CEG(AAS)。∴.BF=CG。 又.∠AFB=∠DGC=90°，∠BAF=∠CDG .△ABF≌△DCG(AAS)。.AB=CD。 方法三：如图3，过点C作CF∥AB,交DE的延长线于 点F,则∠BAE=∠F。 ·∠BEA=∠CEF,BE=CE, ∴.△BEA≌△CEF(AAS)。∴.AB=FC。 又：∠CDE=∠BAE,∠F=∠D。 图1 图2 .FC=CD。.AB=CD。 以点C为圆心，CA长为半径作弧， 作线段AB的垂直 22.(1)解：BD平分∠ABC,CD平分∠ACN, 圆弧经过点B即可判定点C在线 平分线经过点C。 段AB的垂直平分线上。 .设∠ABD=∠CBD=,∠ACD=∠NCD=B。 18.证明：在△ABC中，AB=AC,∴.∠B=∠C。 ∴.∠ABC=2a,∠ACN=2B。 假设∠B≥90°，则∠B+∠C≥180°。 .∠ACN是△ABC的外角，∴.∠ACN=∠ABC+∠BAC。 .∠A+∠B+∠C>180°。 ·∠BAC=68°，.2B=68°+2a。∴.B-=34°。 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 :∠NCD是△BCD的外角， ∴.假设∠B≥90°不成立。∴.∠B<90°。 ∴.∠NCD=∠CBD+∠BDC, 19.小斗提示：等腰三角形“三线合一”。 ∴.B=a+∠BDC。∴.∠BDC=B-a=34°。 解：AB=AC,AE平分∠BAC,.AE⊥BC。 (2)证明：过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥AM于点H, :∠ADC=125°，∴.∠CDE=55。 如图。 M ..∠DCE=90°-∠CDE=35°， .BD平分∠ABC,CD平分∠ACN 又.CD平分∠ACB,∴.∠ACB=2∠DCE=70°。 DE⊥BN于点E, 又，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=70°。 ∴.DH=DE,DF=DE ∴.∠BAC=180°-（∠B+∠ACB)=40°。 ∴.DH=DF。 20.解：(1)∠D是直角。 .点D在∠CAM的平分线上c 理由：如图，连接AC。 .AD平分∠CAM。 .∠B=90° .AC2=AB2+BC2=202+152=625。 (3)解：在Rt△BDH和Rt△BDE中，LDE' AD2+CD2=242+72=625=AC2。 ∴.Rt△BDH≌Rt△BDE(HL)。∴.BH=BE。 ∴.△ADC是直角三角形，即∠D是 同理可得Rt△CDF≌Rt△CDE(HL), 直角。 Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)。 (2)S脑o=Sae+sAe=方4B,BC+分A0·CD ∴.CF=CE,AF=AH。 ·.CF+AF=CE+AH,即AC=CE+AH。 2X20x15+7*x24x7=234. 1 △ABC的周长为20，.AB+BC+AC=20。 ∴.AB+BC+CE+AH=20。∴.BE+BH=20。 21.证明：方法一：如图1，延长DE至点F,使EF=DE,连 BH=BE,.BE=BH=10。 接BF。 选做题 E是BC的中点，∴BE=CE。 (1)解：AB=BC,AC=2,D为AC的中点， :LBEF=∠CED,EF=DE,∴.△BEF≌△CED(SAS)。 ∴.BF=CD,∠F=∠CDE。 ·BD⊥AC,CD=BD=2AC=1。 又.∠BAE=∠CDE,∴∠F=∠BAE。 1 1 1 .BF=AB。.AB=CD。 S6m=2CD·BD=2X1x1=20 (2)①证明：如图，连接BD,则BD垂 直平分AC。 在Rt△ABC中，AB=BC, ∴.∠A=∠C=45°。 .·BD⊥AC, ∴.△BCD,△ABD是等腰直角三角形。 F ∴.BD=CD,∠C=∠DBN=45°。 图1 图2 图3 ·.∠CDM=90°-∠BDM=∠BDN 62 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ∴.△CDM≌△BDN(ASA)。∴.DM=DN。 可；当x>320时，选择方案二更加合算。 ②解：重叠部分的面积不发生变化。理由如下： 由①知，△CDM≌△BDN,∴.SACDM=SABDNO 8-1x-1,① 15.B【解析】23 ∴.S四边形BMDN=SABDM+S ARDN=SARDMT+S△cDM=S△BGD, x>3m。② 即此条件下重叠部分面积不发生变化。 解不等式①，得x<-3。 (3)解：DM=DN的结论仍成立，面积不变。 不等式组有解，.3m<-3。∴.m<-1。 第二章考点梳理与复习 16.-2<m<1.5 1.B2.C 17.解：x≥-1x<4 3.C小斗提示：实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向 右，小于向左。 -5-4-3-2-1012345 42-7>3 -1≤x<4 5.B6.B 7.解：(1)mnn2 1收糕：222 (2)证明：x<y,.x+2y<y+2yo 1 解不等式①，得2· +2y<3y。+2。 3y。 解不等式②，得x≥1。 8 所以不等式组的解集为x≥1。 9【保折13 r1-2 >4-x,① (2)3 -2x-11≥4x-5。② 2k-5 ①+②，得3x+3y=2k-1-4,即x+y=1 3 解不等式①，得x>11。 解不等式②，得x≤-1。 x+y>1, 3>1,解得>4。 2k-5 所以不等式组无解。 10.解：(1)移项，得-x-3x≤-5+1。 r2(x-1)-1>-5,① 合并同类型，得-4x≤-4。 19.解： -1e.② 系数化为1，得x≥1。 (2)去分母，得5(3+2x)-10<2(1+2x)。 解不等式①，得x>-1。 去括号，得15+10x-10<2+4x。 解不等式②，得x≤3。 移项、合并同类型，得6x<-3。 .该不等式组的解集为-1<x≤3。 系数化为1，得x<-0.5。 ∴.该不等式组的整数解为0,1,2,3。 20.A 11.解：去分母，得4x-2(x+1)<4-(x-3)。 去括号，得4x-2x-2<4-x+3。 21.A【解析】设答对x题，则答错或不答(20-x)题。 移项，得4x-2x+x<4+3+2。 题意，得10x-5×20-x)≥90。解得≥亚 合并同类项，得3x<9。 系数化成1，得x<3。 x为整数，∴.至少需要答对13题。 .不等式的正整数解为1,2。 22.解：(1)设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千 克的进价为n元， 小斗总结 则超市最终的销售额为(1+10%)n×(1-10%)m= 求一元一次不等式特殊解的一般步骤，先求出不等式的解集， 0.99mn(元)。 再在解集内确定特殊解。 .0.99mn<mm,.这一次销售中超市亏本。 12.C【解析】由一次函数的图象可知，当x<1时，一次函 (2)设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的 数y=-x-1的图象在一次函数y=mx+n的图象的上方， 进价为n元，这种水果的售价应提高x%。 .关于x的不等式-x-1>mx+n的解集是x<1。 根据题意，得(1+x%)n×(1-10%)m-mn≥26%mn。 13.x≥-2 解得x≥40。 14.解：(1)y1与x之间的函数表达式为y1=6x,y2与x之 .这种水果的售价最低应提高40%。 间的函数表达式为y2=3.5x+800。 23.解：任务一：设A型号GPS定位仪的单价是x元，B型 (2)当y1<y2时，6x<3.5x+800,解得x<320; 号安全装备包的单价是y元。 当y1=y2时，6x=3.5x+800,解得x=320; 当y1>y2时，6x>3.5x+800,解得x>320。 表据点，得0都种[80。 ∴.当0<x<320时，选择方案一更加合算；当x=320时， 答：A型号GPS定位仪的单价是60元，B型号安全装备 方案一与方案二所需的总费用相等，任选一个方案即 包的单价是100元。 任务二：设购买m个A型号GPS定位仪，则购买(200-m) 个B型号安全装备包。 0sa-2 <1,解得2≤a<5。 60m+100(200-m)≤15300， .符合条件的整数a的值为2,3,4。 根据题意，得 2 200-m≥3m。 .符合条件的所有整数a的和为9。 17.解：(1)去分母，得3(x+3)<5(2x-5)-15。 解得23 ≤m≤120。 去括号，得3x+9<10x-25-15。 移项，得3x-10x<-25-15-9。 m为正整数，∴.m可以为118,119,120。 合并同类项，得-7x<-49。 .共3种购买方案。 系数化为1，得x>7。 方案1：购买118个A型号GPS定位仪，82个B型号安 r3x-5>2(x-2),① 全装备包； (2)x- 方案2：购买119个A型号GPS定位仪，81个B型号安 2≤4-*。② 全装备包； 解不等式①，得x>1。 方案3：购买120个A型号GPS定位仪，80个B型号安 解不等式②，得x≤3。 全装备包。 ∴.不等式组的解集为1<x≤3。 任务三：选择方案1所需费用为60×118+100×82= 在数轴上表示不等式组的解集如下： 15280(元)； 选择方案2所需费用为60x119+100×81=15240(元)； 选择方案3所需费用为60x120+100×80=15200(元)。 -4-3-2-10123 15280>15240>15200, 18.解：(1)3【解析】解不等式组，得3≤x<4。 ∴.方案3总花费最低，最低费用是15200元。 满足条件的整数有且只有3， 所以这两个不等式关于整数3“互联”。 第二章学业水平测试 (2)①1【解析】解不等式x-2a<0,得x<2ao 1.C2.C3.C4.D5.D6.A 7.B【解析】x-1≤m,移项，得x≤m+1。 :关于x的不等式x-2a<0和x>】关于整数m :不等式的解集在数轴上表示如题图， .不等式的解集为x≤3。m+1=3。∴.m=2。 联”，.m=1。 8.A ②依题意，得2<x<2a的整数解为x=1, 9.C小斗分析：利用得分=10×答对题目数-5×答错或不答题目 数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式。 ∴.2a≤2，解得a≤1。∴.a的最大值为1。 【解析】设要答对x道题，则答错或不答(20-x)道题。 19.解：(1)由x+y=-3,得x=-y-3。 根据题意，得10x-5(20-x)≥80。 x<4,.-y-3<4,解得y>-7。 解得x≥12。 ∴.y的取值范围是y>-7。 x的最小值为12。.至少要答对的题数是12。 (2)由x-y=1,得x=y+1。 10.C【解析】设一个玻璃球的体积为xcm3。 -1<x<3, 根据题意，得r<750-50解得50<x< 125 5x>750-500。 29 y+1>-1解得-2<<2。 y+1<3, ∴.一个玻璃球的体积可能是55cm3。 ∴.y的取值范围是-2<y<2。 3 11.3x-2≤-112.m≥213.x>- x=m+1 m2+1 2 20.解：(1)解方程组，得 14.m≤4【解析】.：(2m-5)⑧3=3， 1-m .2m-5≤3，解得m≤4。 40 15.a>-5【解标】由3x-a=x+5,得x-05。 (m+14, 依题意，得 2 得-3<m<1。 :关于x的方程3x-a=x+5的解是正数， 1-m1。 a+5>0,解得a>5。 4 2 解不等式组，得x≥-5且x≤2n-1。 16.9【解析】由43 :该不等式组无解， 2 x-1,得x≤5。 .2n-1<-5,解得n<-2。 由360，得写3 (2)-3<m<1,n<-2, ∴.原式=m+3+1-m-n-2=2-n。 :关于x的不等式组有且只有5个整数解， 21.解：(1)设A种农产品每件的价格是x元，B种农) .这5个整数解是1,2,3,4,5。 每件的价格是y元。 依题在，配仁1 1y=150。 1<m+1≤3，解得1<m≤5，即m的取值范围是1<m≤5。 2 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件 的价格是150元。 (3)解不等式组 2<n,得n-3≤<20 x+3≥n, (2)设该经销商购进m件A种农产品，则购进(40-m)》 解方程5x=-10,得x=-2。 件B种农产品。 依题意，得m≤3(40-m), 解方程2x4 -2,得x=-1。 1120m+150(40-m)≤5400。 解得20≤m≤30。 :一元-次方程5=-10和24-2都是关于：的-元 设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w= (160-120)m+(200-150)(40-m)=-10m+2000。 次不等式组 2x<,的友好方程， lx+3≥n .-10<0, rn-3≤-2， ,.0随m的增大而减小。∴.当m=20时，w取得最大 解得-2<n≤1， 值，此时40-m=40-20=20。 答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利 即n的取值范围是-2<n≤1。 最多。 阶段性检测（一）】 22.解：(1)直线AB:y2=kx+b过点A(0,2),B(1,0), 1.B2.D3.B 0解合2 b=2, 4.C 小斗提示：根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公 式计算，得到答案。 ∴.直线AB的解析式是y2=-2x+2。 【解析】由条件可知，AD=CD,AE=CE=10cm, y=-2x+2, 解方程组 得=2， ∴.AC=2AE=20cm。 ,△ABD的周长为45cm, .AB+BD+AD=AB+BC=45 cm ∴点E的坐标是(2，-2)。 .∴.△ABC的周长为AB+BC+AC=65cm。 (2)由图象可知，当x>2时，1=2x-3的图象在为= 5.A6.A7.C 8.C小斗提示：写出直线y1=k,x+b在x轴上方和直线y2=k2x下 x+b的图象的上方， 方所对应的自变量的范围即可。 .当y1>y2时，x>2。 9.C 1 (3)对于直线=2-3， 10.D小斗分析：①根据三角形的内角和即可求解；②根据角平分 线的定义和三角形的内角和定理变形可得结论；③根据角平分 当x=0时，y=-3;当y=0时，x=6, 线的性质和三角形的面积公式即可求解；④根据三角形的内角 .C(0,-3),D(6,0)。∴.0C=3,0D=6。 和和外角的性质即可求解。 B(1,0),E(2,-2), 11.5m-n≥712.513.k>5 0B=1,点E到x轴的距离为2。 14.4 【解析】由作图可知，PD垂直平分AB。 .S四边形0BEc=SA00c-SABDE=)X6X3 2x6-1)x2=4。 BD=AD。 选做题 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB2-AC2=8。 解：(1)是。理由如下： 设CD=x,则BD=AD=8-x。 解不等式组+51，得-4<x≤-2。 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 x+2≤0， AC2+CD2=AD2,即62+2=(8-x)2。解得x=49 7 解方程2(x-1)+9=1,得x=-3。 -4<-3<-2, ·一元一次方程2(x-1)+9=1是一元一次不等式组 1-2sPK号 小斗分析：根据已知得出关于a,b的方程组，求 x+5>1的友好方程。 出a,b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知 Lx+2≤0 即可求出P的范围。 (2)解不等式组2+2>3+；得1<≤3。 【解析】T(1,-1)=-2,T(4,2)=1, lx-3≥2x-6, a-b 4a+2b 解方程2m=1,得士 2+(-1) -2,2X4+21,解得a=1,b=3。 2m+3(5-4m）≤4，解得m≥-2； 1 T(2m,5-4m)= :关于x的一元一次方程2x-m=1是一元一次不等式组 4m+5-4m 品 2x+2>3+的友好方程， 7(m,3-2m）=m+3(3-2m)、 9-3P x-3≥2x-6 2m+3-2m P,解得m<5。 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·63