第1章 三角形的证明及其应用 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

第一章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题包括10个小题，每小题3分，共30分） 1.如图，直线l1,2,l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有 拼 A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 E 第1题图 第2题图 第3题图 第6题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC,且交AC于点D,AC=3,则AD的长为( A./3 B.2 C.1 D.5 救 3.如图，△ABC是等边三角形，BC=BD,∠BAD=20°，则∠BCD的度数为 A.50° B.55° C.60° D.65° 4.若△ABC的三边长a,b,c满足√a+b-7+1b-a-1I+(c-5)2=0,则△ABC是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.下列各命题的逆命题成立的是 ( A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6.已知：如图，∠BAC=60°，边AB,BC上的高相等。求证：△ABC为等边三角形。 证明：.'CD⊥AB,AE⊥BC,CDOAE,∴.Rt△ADC≌Rt△CEA(全等的判定方法为★)。 .∠ACE=∠BAC=∠B=⊙。△ABC为△。 回答错误的是 A.⊙代表= B.★代表AAS C.⊙代表60° D.△代表等边三角形 7.下列条件：①在△MBC中，∠A,∠B都是锐角；②在△MBC中，∠A=∠B=2∠C,③在△MBC中， ∠A-∠B=∠C;④△ABC的三条边的长度之比为32：42：52。其中能确定△ABC是直角三角形的条 件有 ( 都 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线l交BC于点M,AB+BM=BC,则∠B的度数为（) A.45o B.50° C.55° D.60° 1059 M D ) 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，2∠B=∠CAD,CE⊥AD,若AE=DE=2,AC=6,则BC的长为() A.10 B.53 C.8 D.8√2 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F,下面说 法：①LBAD=∠C;②AE=AF;③∠CAD=2LCBE;④SE=)BC·AE。其中正确的说法有 () 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题包括6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D为线段AB的中点，则∠ACD的度数为 B 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C分别在格点上，则∠ABC的度数为 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=3,AB=10,则△ABD的面积为 14.原创题如图，在杨氏双缝干涉实验中，若两条狭缝S,和S2到屏上某点P的光程差为零，则点P一定 在S1S2连线的 上，这是因为该线上任意一点到S1,S2的距离相等。 、2 B 4 C 第14题图 第15题图 第16题图 15.新考法〔跨学科〕在以“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中， 创新小组将两块平面镜AB,BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α(0°<α<90)， 在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB,BC两次反射后，进入光线m与 离开光线n形成的夹角度数为B,如图，则B与α的数量关系为 16.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形 CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ。以下五个结论：①AD= BE;②PQ∥AE;③0P=OQ;④△CPQ为等边三角形；⑤LAOB=60°。其中正确的有 。(注： 把你认为正确的答案序号都写上) 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·3· 三、解答题（本题包括6个小题，共52分） 17.(6分)如图，C是线段AB外一点。借助无刻度直尺和圆规，判断点C是否在线段AB的垂直平分线 上。（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法) ·C ·C A 6 A B 图1 图2 18.(6分)在△ABC中，AB=AC。求证：∠B<90°。（用反证法证明） 19.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°。求∠ACB 和∠BAC的度数。 20.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°。 (1)判断∠D是否是直角，并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积。 21.(10分)如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE。求证：AB=CD。（请用3种方法 证明) 4· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 22.（12分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线交于点D,过点D作 DE⊥BN于点E。 (1)如图1，若∠BAC=68°，求∠BDC的度数； (2)如图2，连接AD,求证：AD平分∠CAM; (3)如图2，若△ABC周长为20，求BE的长。 CE N C E N 图1 图2 备用图 选做题 如图1，在Rt△ABC中，AB=BC,AC=2,把一块含30°角的三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中点 上（直角三角尺的短直角边为DE,长直角边为DF),点C在DE上，点B在DF上。 (1)求重叠部分△BCD的面积； (2)如图2，将直角三角尺DEF绕点D按顺时针方向旋转30°，DE交BC于点M,DF交AB于点N, ①证明：DM=DW; ②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生 变化，请说明理由； (3)如图3，将直角三角尺DEF绕，点D按顺时针方向旋转a(0<a<90),DE交BC于点M,DF交AB 于点N,则DM=DN仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由） E M M D D 图1 图2 图3参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第一章考点梳理与复习 .∠CMD=∠BED,AC=EB 23.D 【解析】，BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE。 1.A2.B3.C4.80° :AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD 24.4【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H。 :∠B.AC=90°，AD是边BC上的高 5.证明：在△AEC中，：AF⊥CE,∠AEC=90。 .∠BED=∠BAD2,∴.AB=EB。 'AB∥CD,AD⊥AB,,AD⊥CD ,∠ABC+∠C=90,∠CMD+∠C=90,∠ABD+∠R4D=90 ,∴∠A=180°-∠AEC-∠C=71° :AC=EB,AB=AC。,△ABC是等腰三角形 ·BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD .∠ABC=∠CAD,∠C=∠BAD ∴∠ABF=180°-∠A-∠F=68 12.B13.C14.66 ,∴，AE=EH,DE=EH。 ,∠CAD=2∠CBE。故①③特合题意： 6.(1)55°80°【解析】小，∠B=30°，∠E=25 15.16【解析】如图，连接BD ∠BAC=90°，AD是边BC上的高， .∠DCE=∠B+∠E=55°. 在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=5」 .AE=DE=- 28=4 ∴，∠ABE+∠AEB=90°，∠CBE+∠BFD=90°. ,CE是∠ACD的平分线，∴.∠ACE=∠DCE=55。 ,△ABD是等腰直角三角形。 ∴.EI=4. :BE是∠ABC的平分线，∠ABE=∠CBE ,∴.∠BAC=∠ACE+∠E=80 PE≥EH,∴，PE的最小值为4 :∠BFD=∠AFE,∴，∠AEB=∠AFE。 (2)证明：由(1)，得∠DCE=∠ACE S6m=2AB·AD=2X5X5=12.5 25解：(1)如图，直线DF,射线AE即为所求作 AE=AF。故②特合题意： ,∴.∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠DCE 由勾股宽理，得BD2=AB2+AD=52+52=50 如图，过点E作EP⊥BC于点P ,∠DCE=∠B+∠E, 在△BCD中，BC=7,CD=1, ,∴.∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E。 .BC+CD2=72+12=50=BD 7.C .△BCD是直角三角形，即∠C=90° 8.20V3-20【解析】当机得狗下蹲时，∠ABC=60 AB=BC,△ABC是等边三角形 S-2BC.CD=7x7x1-3.5. m (2),DF垂直平分线段AB,,BD=AD .'AC=20 cma Sn45m=SaAD+5△m=12.5+3.5=16g ∴∠BAD=∠B=30°。 :∠B4C=90°，BE是∠ABC的平分线， 当机器狗站立时，∠ABC=120° 16.证明：：BE=CF, ∠C=40°，∴，∠BAC=180°-∠B-∠C=110° 如图，过点B作BH⊥AC于点H。 ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE ∠CAD=110°-∠BAD=80 六AB=P.Sa=BC·BP=28CMB。 AB=BC, '∠A=∠D=90°， 故④特合题意。 六∠AB=∠CBH=∠ABC=60,AC=2n .△ABF与△DCE都为直角三角形。 AE平分∠CAD,∠DAE=2LCAD=40 11.60°12.45°13.1514.垂直平分线 在Rt△ABF和Rt△DCGE中，BF=CE,AF=DE, 26.证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F。 15.B=180°-2a【解析】如周， .∠BAH=∠BCH=90°-∠ABI=30°。 ,RI△ABF≌Rt△DCE(HL)。 -2 4B=10 cma 17.(1)证明：，∠ACB=90°，∴，∠ACD+∠BCD=90。 :∠ACD=∠B,.∠B+∠BCD=90° 6 在Rt△ABH中，AH=√AB-B=1O,3cm ,∠BDC=90°。∴.CD⊥AB。 (2)解：①.·∠ACD=∠B,.∠ACD=34°。 ∴AC=2AH=20√3cm。.其高度增高了(203-20)cm 由(1)知，∠BCD+∠B=90°，，∠BCD=56°。 9解：根据题意，得CD∥BE。 'AE平分∠BAD,AB上BC,EF⊥AD,,BE=FE。 ∠1=∠2，∠5=180°-∠1-∠2，.∠5=180°-2∠2。 由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°， ,∠CBE=40°，∴，∠1=∠CBE=40° E为BC的中点，BE=CE。∴.FE=CE 同理可得∠6=180°-2∠3。 ,∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=22° .∠BCA=∠1+∠ACD=60°。 又：EF⊥AD,CE⊥CD,.DE平分∠ADCa ∠5+∠6=360°-2(2+∠3)。 ②当n≤45时. 又∠ABC=180-80°-40°=60 27.(1)证明：，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90° j同①，得∠A'CD=n°，∠BCD=90°-n°。 :∠5+∠6=180°-β，∠2+∠3=180°-a, ∠BCA=∠ABC=∠A=60°。△ABC是等边三角形。 .DC=DE。 ∴.180°-B=360°-2(180°-g). ,∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=90°-n-n°=90°-2nm: ÷,AC=BC=20×2=40(海里)。 在Rt△DCF和R△DEB中，DF=BD,DC=DE, p180°-B=2a。.B=180°-2a. 当n>45时， 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里 .Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)。∴CF=EB。 16.①2④⑤【解析】△ABC和△CDE都是等边三角 同①，得∠A'CD=n°.∠BCD=90°-n° 10.证明：假设∠A>45°，∠B>45°， (2)解：AF+BE=AE。理由如下： 形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60 ∴.∠A'CB=∠A'CD-∠BCD=n°-(90°-n°)=2n°-90°。 .∠A+∠B>90° ·DC=DE,AD=AD,R1△DCA≌Rt△DEA(HL) .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE 18.C19.B20.18 :∠A+∠B+LC=180°，.∠C<90°。 ∴AC=AE。.AF+CF=AE,即AF+BE=AE 在△ACD和△BCE中，AC=BC,∠ACGD=∠BCE.CD=CE, 2L解：连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近 这与∠C=90°矛盾， 第一章学业水平测试 .△ACD≌△BCE(SAS)。AD=BE。结论①正骑： A,B一侧的河岸的交汇点处 因此“∠A>45°，∠B>45”的假设不成立 △ACD≌△BCE,∴.∠CAD=∠CBE。 如图，点P就是码头应建造的位置。 1,D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.B .如果在△ABC中，∠C=90°，那么∠A,∠B中至少有 9.A小斗提示：根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性 又.：∠ACB=∠DCE=60°， -个角不大于45° 质，三角形的外角性质依次计算即可。 ∴，∠BCD=180P-60P-60°=60°。∴.∠ACP=∠BCQ=60。 11.解：D为BC的中点.AD平分∠BAC。 【解析】'AE=DE=2,CE⊥AD, 在△ACP和△BCQ中，∠ACP=∠BCQ,AC=BC, 证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD AD=4,CE是AD的垂直平分线 ∠CAP=∠CBQ, 连接BE。 .CD=AC=6。∠CDA=∠CAD ∴△ACP≌△BCQ(ASA)。∴AP=BQ,CP=CQ 'D是BC的中点，∴BD=CD ,2∠B=∠DAC,,2∠B=∠CDA。 又：∠PC0=60° AD=ED 22.证明：∠ACB=90°，DE⊥AB,.∠ACB=∠BDE=90° ∠CDA=∠B+∠BAD,∴.∠B=∠BAD ∴△CPQ为等边三角形。结论④正确： 在△ADC和△EDB中，∠ADC=∠EDB, 在RL△BDE和RI△BCE中，BE=BE,BD=BC, 六BD=AD=4。∴.BC=BD+CD=4+6=10 ÷∠PQC=∠DCE=60,,PQ∥AE。结论②正确： BD=CD, ,.Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)。:.DE=CE 10D小斗提示：根据角平分线的性质和直角三角形的性质即可 △ACD≌△BCE,∴.∠ADC=∠AEO。 ,△ADCG≌△EDB(SAS). BD=BC。BE垂直平分CD。 判断。 :.∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=6O 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·61 结论⑤正确： 方法二：如图2，分别过点B.C作BF⊥AE,交AE的延，△CDMa△BDN(ASA)。DM=DN 可：当x>320时，选择方案二更加合算 没有条件证出OP=OQ,站论③错误。 长线于点F,CG⊥AE于点G。 ②解：重叠部分的面积不发生变化。理由如下： 17.解：如图所示，两种方法确定点C在线段AB的垂直平 ·∠BEF=LCEG,∠BFE=∠CGE=90°，BE=CE, 由①知，△CDM≌△BDN,.SACDM=SABDNS 15B【解折号1,0 分线上。 .△BEF≌△CEG(AAS)。..BF=CG。 六S VDN=SAw+Smw=cDM=SaB x>3m。② 又∠AFB=∠DGC=90°，∠BAF=∠CDG 即此条件下重叠部分面积不发生变化。 解不等式①，得x<-3。 .△ABF≌△DCG(AAS)。.AB=CD。 (3)解：DM=DN的结论仍成立，面积不变」 不等式组有解，.3m<-3。m<-1。 方法三：如图3，过点C作CF∥AB,交DE的延长线于 第二章考点梳理与复习 16.-2<m<1.5 点F,则∠BAE=∠F。 1.B2.C 17.解：x≥-1x<4 ,∠BEA=∠CEF,BE=CE 3C小斗提示：实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向 ∴.△BEA≌△CEF(AAS)。∴，AB=FC 右，小于向左。 又：∠CDE=LBAE,∴∠F=∠D -5 4 -3 -2 -1 0 图1 图2 ,FG=CD。,AB=CD 42-7>3 -1≤x<4 以点C为圆心，C4长为半径作弧 作线段AB的垂直 22.(1)解：，BD平分∠ABC,CD平分∠ACN, 5.B6.B 圆弧经过点B即可判定点C在线 平分线经过点C。 18解：(1)2-2<4x-3,① ∴.设∠ABD=∠CBD=a,∠ACD=∠NCD=B 7.解：(1)mnn 6-3x≤5-2x。② 数AB的青平卧线上 18.证明：在△ABC中，AB=AC,∴∠B=∠C。 .∠ABC=2a,∠ACN=2B (2)证明：x<y,.x+2y<y+2y。 解不等式①，得x”2° 假设∠B≥90°，则∠B+∠C≥180°。 ∠ACN是△ABC的外角，∴：∠ACN=∠ABC+∠BAC .∠A+∠B+∠G>180 ∠BMC=68°，∴2=68+2a。B-a=34°。 +2c3. 3 -<yo 解不等式②，得x≥1。 所以不等式组的解集为x≥1。 这与三角形内角和等于180相矛盾 :∠NCD是△BCD的外角， 8.2 ,假设∠B≥90不成立。，∠B<90°。 .∠NCD=∠CBD+∠BDC t1-2 >4-x,① 3 19.小斗提示：等腰三角形“三线合一”。 ∴.B=a+∠BDC。.∠BDC=B-a=34 9>4【解析12x+y=2水-1，① lx+2y=-4。② (2) 解：，AB=AC,AE平分∠BAC,∴.AE⊥BC。 (2)证明：过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥AM于点H, -2x-11≥4x-5。② :∠ADC=125°，.∠CDE=55° 如图。 ①*2，得3x+3y=2-1-4,即y-24 3 解不等式①，得x>11 .∠DCE=90°-∠CDE=35° ·BD平分∠ABC,CD平分∠ACN 解不等式②，得x≤-1。 又，'CD平分∠ACB,,∠ACB=2∠DCE=70° DE⊥BN于点E, p12头51.解得64 所以不等式组无解」 又，AB=AC,六∠B=∠ACB=70°。 :DH=DE,DF=DE 10.解：(1)移项，得-x-3x≤-5+1 r2(x-1)-1>-5,① .∠BAC=180°-（∠B+∠ACB)=40 :DH=DF 19.解： 合并同类型，得-4x≤一4 20.解：(1)∠D是直角 ,点D在∠CAM的平分线上。 系数化为1.得x≥1。 理由：如图，连接AC .AD平分∠CAM 解不等式①，得x>-1。 (2)去分母，得5(3+2x)-10<2(1+2x)。 ·∠B=90° (3)解：在R△BDH和R△BDE中，DH=DE, [BD=BD, 去括号，得15+10x-10<2+4x。 解不等式②，得￥≤3。 .AC2=AB2+BC2=20+152=625 移项、合并同类型，得6x<-3。 .该不等式组的解集为-1<x≤3。 'AD+CD2■242+7=625=AC。 ,Ru△BDH≌RI△BDE(HL)。,BH=BE。 ,∴，该不等式组的整数解为0,1,2,3 系数化为1，得x<-0.5。 :△ADC是直角三角形，即∠D是 同理可得RI△CDF≌Rt△CDE(HL), 20.A 直角。 11.解：去分母，得4x-2(x+1)<4-(x-3) Rt△ADF≌R△ADH(HL)。 去括号，得4x-2x-2<4-x+3。 21A【解析】设答对x题，则答错或不答(20-x)题。 (2)AB BC+ ∴，CF=CE,AF=AH。 移项，得4x-2x+<4+3+2。 ,∴，CF+AF=CE+AH,即AC=CE+AH。 根题意，得10-5x(20-)≥90。解得≥12子 合并同类项，得3x<9。 2x20x15 2×24×7=234。 :△ABC的周长为20..AB+BC+AC=20 x为整数，至少雾要答对13题。 系数化成1，得x<3。 .AB+BC+CE+AH=20。,BE+BH=20。 22解：(1)设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千 21证明：方法一：如图1，延长DE至点F,使EF=DE,连 “,不等式的正整数解为1,2 BH=BE,∴.BE=BH=10。 克的进价为4元， 接BF。 小斗总结 选做题 则超市最终的销售额为(1+10%)n×(1-10%)m= E是BC的中点，BE=CE。 (1)解：AB=BC,AC=2,D为AC的中点， 求一元一次不等式特殊解的一般步骤，先求出不等式的解集 0.99mn(元)。 ∠BEF=∠CED,EF=DE.,△BEF≌△CED(SAS)。 再在解集内确定特殊解。 .BF=CD,∠F=∠CDE 又，∠BAE=∠CDE,.∠F=∠BAE D1MC,GD=BD=4C=1。 :0.99mn<mn,∴这一次销售中超市亏本。 12.C【解析】由一次函数的图象可知，当x<1时，一次 (2)设超市购进这批水果的总质量为m千克，每千克的 .BF=AB。,AB=CD。 56o2cD:Bm=2×1x1-2 数y=一x-1的图象在一次函数y=mx+n的图象的上方 进价为n元，这种水果的售价应提高%。 “,关于的不等式-x-1>m+n的解集是x<1。 根据题意，得(1+x%)n×(1-109%)m-mn≥26%mn (2)①证明：如图，连接BD.则BD垂 13.x≥-2 解得x≥40。 直平分AG。 14解：(1)y1与x之间的函数表达式为为1=6x,2与x之 :.这种水果的售价量低应提高40%。 在Rt△ABC中，AB=BC 间的函数表达式为y2=35x+800。 23.解：任务一：设A型号GPS定位仪的单价是x元，B型 .∠A=∠C=45° (2)当y1<y2时6x<3.5x+800,解得x<320: 号安全装备包的单价是y元。 BD⊥AC, 当y1=y2时，6x=3.5x+800,解得x=320: ,△BCD,△ABD是等腰直角三角形 当y1>y1时，6x>3.5x+800,解得x>320。 银超题意，得红20测解得网 y=100 .BD=CD,∠C=∠DBN=45°。 “,当0<x<320时.选择方案一更加合算：当x=320时 答：A型号GPS定位仪的单价是60元，B型号安全装备 43 '∠CDM=9O°-∠BDM=∠BDN 方案一与方案二所需的总费用相等，任选一个方案即 包的单价是100元。 62 米全程复习大考卷·数学·八年级下册