第1章 三角形的证明及其应用 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师版·新教材）

参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第一章考点梳理与复习 .∠CMD=∠BED,AC=EB 23.D 【解析】，BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE。 1.A2.B3.C4.80° :AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD 24.4【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H。 :∠B.AC=90°，AD是边BC上的高 5.证明：在△AEC中，：AF⊥CE,∠AEC=90。 .∠BED=∠BAD2,∴.AB=EB。 'AB∥CD,AD⊥AB,,AD⊥CD ,∠ABC+∠C=90,∠CMD+∠C=90,∠ABD+∠R4D=90 ,∴∠A=180°-∠AEC-∠C=71° :AC=EB,AB=AC。,△ABC是等腰三角形 ·BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD .∠ABC=∠CAD,∠C=∠BAD ∴∠ABF=180°-∠A-∠F=68 12.B13.C14.66 ,∴，AE=EH,DE=EH。 ,∠CAD=2∠CBE。故①③特合题意： 6.(1)55°80°【解析】小，∠B=30°，∠E=25 15.16【解析】如图，连接BD ∠BAC=90°，AD是边BC上的高， .∠DCE=∠B+∠E=55°. 在△ABD中，∠A=90°，AD=AB=5」 .AE=DE=- 28=4 ∴，∠ABE+∠AEB=90°，∠CBE+∠BFD=90°. ,CE是∠ACD的平分线，∴.∠ACE=∠DCE=55。 ,△ABD是等腰直角三角形。 ∴.EI=4. :BE是∠ABC的平分线，∠ABE=∠CBE ,∴.∠BAC=∠ACE+∠E=80 PE≥EH,∴，PE的最小值为4 :∠BFD=∠AFE,∴，∠AEB=∠AFE。 (2)证明：由(1)，得∠DCE=∠ACE S6m=2AB·AD=2X5X5=12.5 25解：(1)如图，直线DF,射线AE即为所求作 AE=AF。故②特合题意： ,∴.∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠DCE 由勾股宽理，得BD2=AB2+AD=52+52=50 如图，过点E作EP⊥BC于点P ,∠DCE=∠B+∠E, 在△BCD中，BC=7,CD=1, ,∴.∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E。 .BC+CD2=72+12=50=BD 7.C .△BCD是直角三角形，即∠C=90° 8.20V3-20【解析】当机得狗下蹲时，∠ABC=60 AB=BC,△ABC是等边三角形 S-2BC.CD=7x7x1-3.5. m (2),DF垂直平分线段AB,,BD=AD .'AC=20 cma Sn45m=SaAD+5△m=12.5+3.5=16g ∴∠BAD=∠B=30°。 :∠B4C=90°，BE是∠ABC的平分线， 当机器狗站立时，∠ABC=120° 16.证明：：BE=CF, ∠C=40°，∴，∠BAC=180°-∠B-∠C=110° 如图，过点B作BH⊥AC于点H。 ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE ∠CAD=110°-∠BAD=80 六AB=P.Sa=BC·BP=28CMB。 AB=BC, '∠A=∠D=90°， 故④特合题意。 六∠AB=∠CBH=∠ABC=60,AC=2n .△ABF与△DCE都为直角三角形。 AE平分∠CAD,∠DAE=2LCAD=40 11.60°12.45°13.1514.垂直平分线 在Rt△ABF和Rt△DCGE中，BF=CE,AF=DE, 26.证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F。 15.B=180°-2a【解析】如周， .∠BAH=∠BCH=90°-∠ABI=30°。 ,RI△ABF≌Rt△DCE(HL)。 -2 4B=10 cma 17.(1)证明：，∠ACB=90°，∴，∠ACD+∠BCD=90。 :∠ACD=∠B,.∠B+∠BCD=90° 6 在Rt△ABH中，AH=√AB-B=1O,3cm ,∠BDC=90°。∴.CD⊥AB。 (2)解：①.·∠ACD=∠B,.∠ACD=34°。 ∴AC=2AH=20√3cm。.其高度增高了(203-20)cm 由(1)知，∠BCD+∠B=90°，，∠BCD=56°。 9解：根据题意，得CD∥BE。 'AE平分∠BAD,AB上BC,EF⊥AD,,BE=FE。 ∠1=∠2，∠5=180°-∠1-∠2，.∠5=180°-2∠2。 由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°， ,∠CBE=40°，∴，∠1=∠CBE=40° E为BC的中点，BE=CE。∴.FE=CE 同理可得∠6=180°-2∠3。 ,∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=22° .∠BCA=∠1+∠ACD=60°。 又：EF⊥AD,CE⊥CD,.DE平分∠ADCa ∠5+∠6=360°-2(2+∠3)。 ②当n≤45时. 又∠ABC=180-80°-40°=60 27.(1)证明：，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90° j同①，得∠A'CD=n°，∠BCD=90°-n°。 :∠5+∠6=180°-β，∠2+∠3=180°-a, ∠BCA=∠ABC=∠A=60°。△ABC是等边三角形。 .DC=DE。 ∴.180°-B=360°-2(180°-g). ,∠A'CB=∠BCD-∠A'CD=90°-n-n°=90°-2nm: ÷,AC=BC=20×2=40(海里)。 在Rt△DCF和R△DEB中，DF=BD,DC=DE, p180°-B=2a。.B=180°-2a. 当n>45时， 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是40海里 .Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)。∴CF=EB。 16.①2④⑤【解析】△ABC和△CDE都是等边三角 同①，得∠A'CD=n°.∠BCD=90°-n° 10.证明：假设∠A>45°，∠B>45°， (2)解：AF+BE=AE。理由如下： 形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60 ∴.∠A'CB=∠A'CD-∠BCD=n°-(90°-n°)=2n°-90°。 .∠A+∠B>90° ·DC=DE,AD=AD,R1△DCA≌Rt△DEA(HL) .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE 18.C19.B20.18 :∠A+∠B+LC=180°，.∠C<90°。 ∴AC=AE。.AF+CF=AE,即AF+BE=AE 在△ACD和△BCE中，AC=BC,∠ACGD=∠BCE.CD=CE, 2L解：连接AB,码头应建在线段AB的垂直平分线与靠近 这与∠C=90°矛盾， 第一章学业水平测试 .△ACD≌△BCE(SAS)。AD=BE。结论①正骑： A,B一侧的河岸的交汇点处 因此“∠A>45°，∠B>45”的假设不成立 △ACD≌△BCE,∴.∠CAD=∠CBE。 如图，点P就是码头应建造的位置。 1,D2.B3.A4.C5.C6.B7.B8.B .如果在△ABC中，∠C=90°，那么∠A,∠B中至少有 9.A小斗提示：根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性 又.：∠ACB=∠DCE=60°， -个角不大于45° 质，三角形的外角性质依次计算即可。 ∴，∠BCD=180P-60P-60°=60°。∴.∠ACP=∠BCQ=60。 11.解：D为BC的中点.AD平分∠BAC。 【解析】'AE=DE=2,CE⊥AD, 在△ACP和△BCQ中，∠ACP=∠BCQ,AC=BC, 证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD AD=4,CE是AD的垂直平分线 ∠CAP=∠CBQ, 连接BE。 .CD=AC=6。∠CDA=∠CAD ∴△ACP≌△BCQ(ASA)。∴AP=BQ,CP=CQ 'D是BC的中点，∴BD=CD ,2∠B=∠DAC,,2∠B=∠CDA。 又：∠PC0=60° AD=ED 22.证明：∠ACB=90°，DE⊥AB,.∠ACB=∠BDE=90° ∠CDA=∠B+∠BAD,∴.∠B=∠BAD ∴△CPQ为等边三角形。结论④正确： 在△ADC和△EDB中，∠ADC=∠EDB, 在RL△BDE和RI△BCE中，BE=BE,BD=BC, 六BD=AD=4。∴.BC=BD+CD=4+6=10 ÷∠PQC=∠DCE=60,,PQ∥AE。结论②正确： BD=CD, ,.Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)。:.DE=CE 10D小斗提示：根据角平分线的性质和直角三角形的性质即可 △ACD≌△BCE,∴.∠ADC=∠AEO。 ,△ADCG≌△EDB(SAS). BD=BC。BE垂直平分CD。 判断。 :.∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=6O 全程复习大考卷·数学·八年级下册 ·61第一章考点梳理与复习 考点一三角形内角和定理 【训练目的】能利用三角形内角和定理求角的度数和证明有关角的相等关系。 1.一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C=α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2=B,则下列 选项正确的是 ( A.a=B B.a>3 C.<β D.无法比较a和B 809 吹 x°+20° 2 入4 B C D B x°+400 E B D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在△ABC中，∠B=40°，AE是∠BAC的平分线，点D在BC的延长线上，∠ACD=118°，则∠AEB 的度数为 A.118° B.101° C.107 D.95° 3.在△ABC中，∠A与△ABC两个外角∠ABD,∠BCE的度数如图所示，则x的值为 A.80 B.90 C.100 D.110 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=105°，则∠DAC的度数为 5.如图，AF⊥CE,垂足为E,∠F=41°，∠C=19°，求证：∠ABF=68°。 救 6.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E。 (1)若∠B=30°，∠E=25°，则∠DCE= ,∠BAC= (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E。 考点二等腰三角形 【训练目的】能利用等腰三角形和等边三角形的性质，解决有关角度和线段问题。 7.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC=30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离BC 长为 A.12米 B.6米 C.3米 D.1.5米 主题情境科技中的几何身影完成8-9题 8.新素养〔抽象能力〕最近中国某科技公司的“机器狗技术”发展迅速。在正常状态下，机器狗（如图1） 的小腿和大腿有一定夹角，图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB=BC=20cm,当机器狗 下蹲时∠ABC=60°，站立时∠ABC=120°，且保持AC所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站 立，其高度增高了 cmo A \20cm 120°B 20 cm 图1 图2 9.如图，在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时20海里的速度沿南偏东 40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行2小时后货轮到达C 处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离。 北 自 80° D 20° E c 10.用反证法证明：如果在△ABC中，∠C=90°，那么∠A,∠B中至少有一个角不大于45°。 11.证明：如果一个三角形从一个顶点出发的中线和角平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 已知：如图，在△ABC中， 。（补充已知) 求证：△ABC是等腰三角形。 考点三直角三角形 【训练目的】能利用直角三角形的性质、判定和勾股定理解决问题。 12.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一定能被2整除；③末位数是5的数，能被5整除； ④对顶角相等。逆命题是假命题的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图，AC=BC,且∠D=∠E=90°，下列条件：①∠ACB=90°；②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE,能使 Rt△ADC≌Rt△CEB成立的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A D 北 B A5 B 第13题图 第14题图 第15题图 14.某时刻渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，经测得OA=4海里，OB=3海里，AB=5海里，渔船A 位于灯塔0北偏东24°方向，则渔船B位于灯塔0南偏东 方向。 15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7,CD=1,四边形ABCD的面积为 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 。1 16.如图，已知∠A=∠D=90°，E,F在线段BC上，DE与AF交于点O,且AF=DE,BE=CF。 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE。 A 0 17.新素养〔推理能力〕已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，且∠ACD=∠B。 (1)如图1，求证：CD⊥AB; (2)将△ADC沿CD所在直线翻折，点A落在边BD所在直线上，记为点A'。 ①如图2，若∠B=34°，求∠A'CB的度数； ②若∠B=n°，请直接写出∠A'CB的度数（用含n的代数式表示）。 D D A 图1 图2 考点四线段的垂直平分线 【训练目的】能利用线段的垂直平分线的性质求线段的长度，并解决实际问题。 18.如图，在△ABC中，已知AC=50,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,BE的长为27，则CE 的长是 () A.50 B.27 C.23 D.25 E 4 D B EF 第18题图 第19题图 第20题图 19.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交边BC于点E,AC的垂直平分线交边BC于点F,若∠BAC= 140°，则∠EAF的度数为 () A.95° B.100° C.105° D.110° 20.如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，F是线段AC的中点，其中CF=5,AB=8,则△ABE 的周长为 21.如图，A,B表示两个仓库，要在靠近A,B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等， 码头应建造在什么位置？ A· ·B ·2· 米全程复习大考卷·数学·八年级下册 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，BD=BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,求 证：BE垂直平分CD。 考点五角平分线 【训练目的】能利用角平分线的性质证明线段相等，并解决实际问题。 23.如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D。若△OBC的面积是16，BC=8,AC=6, 则△AOC的面积为 () A.48 B.24 C.18 D.12 B A B D C D 第23题图 第24题图 24.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD,AD过点E,且与AB互相垂直，P为线段BC上一 动点，连接PE。若AD=8,则PE的最小值为 25.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°。 (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D; 拓 ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数。 B 26.如图，AB⊥BC,CD⊥BC,E是BC的中点，AE平分∠BAD。求证：DE平分∠ADC。 27.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF。 (1)求证：CF=EB; (2)请你判断AE,AF与BE之间的数量关系，并说明理由。 E B