精品解析：福建泉州市第六中学2025-2026学年下学期高二年段数学学情评估一

2025-2026学年下学期高二年段数学学情评估一 一、单选题 1. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果． 【详解】解：根据导函数图象可知， 在上先单调递减后单调递增，故错误； 在上，单调递增，故错误； 函数在上先单调递减，再单调递增，最后在上单调递减，故无法确定函数在上的最大值，故C错误； 在时单调递减，在时单调递增，在 时，取极小值，故对， 故选：． 2. 若，则（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 【详解】由得，解得. 故选：D. 3. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数即可求出，再利用点斜式即可求出切线方程. 【详解】由题意得， 则在点处的切线斜率为， 又，则切线方程为. 故选：D 4. 已知函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，分析其在区间上的单调性即可求出最小值. 【详解】由题可得：， 当时，单调递减，当时，，单调递增， 即为极小值点，又，，， 所以在上的最小值为． 故选：D 5. 六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 6. 函数在下列区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【详解】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 7. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 【答案】C 【解析】 【分析】各会场的获奖者人数可能是或，先分组，再分配，部分平均分组需除以组数（平均的组）的全排列. 【详解】依题意各会场的获奖者人数可能是或， 若为，则有种不同的派出方法； 若为，则有种不同的派出方法； 综上可得一共有种不同的派出方法. 故选：C 8. 若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围. 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. ，则等于1或3 B. 用0，1，2，3，4组成没有重复的四位偶数共有60种 C. D. 鸡西实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中A，B，C，D四个节目顺序固定共有30240种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用、即可；B分末位为0和末位为或两种情况讨论，再利用排列组合知识即可；C利用组合数性质即可；D先将10个节目全排列，再利用定序除以即可. 【详解】A，因，则或，得或， 若，此时，符合题意；若，此时，符合题意，故A正确； B，末位为，共有种；末位为或，共有， 则没有重复的四位偶数共有种，故B正确； C，由组合数性质可得，， 则 ，故C正确； D，10个节目全排列有种， 则A，B，C，D四个节目顺序固定共有种排法，故D错误. 故选：ABC 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种 C. 若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D. 若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解选项A和选项B，利用排除法求解选项C，利用排列组合和分布相乘计数原理的知识求解选项D. 【详解】选项A：每名同学有5个社区可选，总共有 种方法.而选项A中写的是 ，显然错误. 选项B：同学A有4种选择（不去甲），同学B有4种选择（不去乙）， 同学C有5种选择，总数为 ，正确. 选项C：总情况数 ，减去都不去甲的情况数 . 结果为 ，故选项C正确. 选项D：满足要求的安排方法可以分为三步完成： 第一步：从5个社区中选两个不同的社区（该步的完成方法数为）， 第二步：从3名同学中选2人分配到第一个社区（该步的完成方法数为 ）， 第三步：安排所选的第三名同学，此步的完成方法数为. 总数为，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，A错误； B，，的零点个数为3，B正确； C，当时，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的性质得在时，取得极大值， 因此的极值点个数为2，C错误； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有______个． 【答案】30 【解析】 【分析】根据个位数字，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数， 若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数， 因此一共有个符合条件的偶数， 故答案为：30 13. 不等式，其中的解集为__________； 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数公式化简，即可求解. 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 14. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可. 【详解】函数的定义域为， ， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根， 令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 四、解答题 15. 已知在 时有极大值，在 时有极小值． （1）求， ，的值； （2）求在区间 上的最大值和最小值． 【答案】（1）, ,；（2）当时，，当时，. 【解析】 【详解】试题分析：(1)两根为-2,1 (2)的最大值为，最小值为 考点：函数极值最值 点评：函数在极值点处导数为零，函数最值出现在极值点或区间端点处，因此求出极值和边界值比较大小即可 16. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? （2）6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? （3）6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】（1）144 （2）144 （3）90 【解析】 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【小问1详解】 将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； 【小问2详解】 从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； 【小问3详解】 名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 17. 某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） （1）求的表达式； （2）当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据圆柱体积公式求出高关于底面半径的表达式，再结合不同面的成本，建立总造价关于底面半径的函数； （2）对总成本函数求导，通过导数的正负判断函数单调性，找到极小值点即最小值点，进而求出此时底面半径与高的比值. 【小问1详解】 由题意得：，则， 总成本函数为． 所以． 【小问2详解】 因为， ． 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以当时函数有极小值也是最小值为． 此时，则． 答：使得易拉罐总制造成本最低时的底面半径r和高h的比值为． 18. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值点，无极小值点； （2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. 【小问2详解】 ，则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 19. 已知函数． （1）若函数过点，求该点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. （2）利用导数求得的单调区间和极小值，根据题意，列出不等式，即可得答案. （3）由题意得的解析式，可得解析式，根据题意及韦达定理，可得，表达式，整理可得，再结合b的范围确定的关系，利用导数求的最小值，从而得到k的最大值 【小问1详解】 由题意得，所以切线斜率为， 又，即切点为， 所以切线方程为：，即． 【小问2详解】 令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，且时，， 因为在区间上存在零点，则，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题意， 则， 若，则恒成立， 所以两根为，， 所以，， 则 由，设，则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以当时，，所以， 即实数的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年段数学学情评估一 一、单选题 1. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值 2. 若，则（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 3. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 64 D. 128 6. 函数在下列区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市组织6名获奖者到当地四个不同的会场与学生进行交流，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ） A. 4320种 B. 2640种 C. 1560种 D. 110种 8. 若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. ，则等于1或3 B. 用0，1，2，3，4组成没有重复的四位偶数共有60种 C. D. 鸡西实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中A，B，C，D四个节目顺序固定共有30240种排法 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有80种 C. 若社区甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种 D. 若有一个社区安排两名同学，还有一个社区安排一名同学，则不同的安排方法有60种 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 三、填空题 12. 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有______个． 13. 不等式，其中的解集为__________； 14. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知在 时有极大值，在 时有极小值． （1）求， ，的值； （2）求在区间 上的最大值和最小值． 16. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? （2）6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? （3）6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 17. 某饮料公司计划生产一种容积为500mL的圆柱形易拉罐，其侧面的制造成本为1元／平方厘米，罐顶和罐底的制造成本为2元／平方厘米.设易拉罐底面半径为厘米，高为厘米，制造总成本为元．（立方厘米） （1）求的表达式； （2）当易拉罐总制造成本最低时，求底面半径与高的比值. 18. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 19. 已知函数． （1）若函数过点，求该点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $