精品解析：上海市嘉定区2025-2026学年高三下学期质量调研数学试卷

2025学年高三年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码. 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 2. 解不等式，则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为. 故答案为：. 3. 已知角的终边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【详解】设坐标原点为， 由题意可得：， 故. 故答案为：. 4. 已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 5. 双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由双曲线的方程求解即可 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为： 6. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48 【解析】 【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 7. 函数的最小正周期是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和正弦、余弦的二倍角公式化简即可求解. 【详解】∵ ∴的最小正周期是. 【点睛】本题考查三角函数的性质. 三角函数的性质问题，先化简为的形式再求解. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 9. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 10. 已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. 11. 将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 12. 在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况进行分析，可得结论. 【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为， 当，即时，，， 当且仅当时，等号成立； 当，即时，，. 所以的最小值为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立 所以x满足时，x一定满足，所以， 又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集. 故选：A 14. 生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（ ） 动物名 体重 脉搏率f/（次） 鼠 25 670 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 A. 变量x与y成正相关，且 B. 变量x与y成负相关，且 C. 变量x与y成正相关，且 D. 变量x与y成负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】由表格数据变化情况可得与负相关，然后由可判断的符号. 【详解】由表格数据可得随着动物体重增加，脉搏率逐渐减小，即随着增加，逐渐减小. 又函数在上单调递增，则随着增加，逐渐减小， 从而与负相关，.注意到， 又由题可得，结合， 可得. 15. 设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ） A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有 B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 16. 对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（ ） A. 若，则或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于新定义运算判断题，一般通过选择特定函数验证性质，再根据选项利用特值代入排除或通过推理得到结论. 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 三、解答题（本大您共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． （1）求的值； （2）若复数z满足，求． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【小问1详解】 由已知可得，，，，所以，， 所以； 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 18. 如图，在中，，平面，分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设，求出，利用证明. （2）求出平面的一个法向量，利用即可求出直线与平面所成角的大小. 【小问1详解】 由题可建立如图所示的空间直角坐标系.设. 则. 所以 所以，； 【小问2详解】 ，. ，. 记平面的一个法向量为， 则，令则. ，. 记直线与平面所成角为. 则. 又，. 19. 某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． （1）求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； （2）假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； （3）因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】（1） （2），判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. （3），元 【解析】 【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解； （2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可； （3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可. 【小问1详解】 令， 则, 因为， 所以， 即. 【小问2详解】 设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. 【小问3详解】 机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】（1）4 （2）最大值为4，最小值为2 （3），四边形面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【小问1详解】 当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； 【小问2详解】 椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； 【小问3详解】 设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 21. 已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． （1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； （2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； （3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可； （2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值； （3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式. 【小问1详解】 由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； 【小问2详解】 由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； 【小问3详解】 构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年高三年级质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码. 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在草稿纸、试卷上作答一律不得分. 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，且，则___________． 2. 解不等式，则不等式的解集是___________ 3. 已知角的终边经过点，则__________． 4. 已知是等差数列，，，则___________． 5. 双曲线的渐近线方程是___________. 6. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 7. 函数的最小正周期是______． 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 9. 已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 10. 已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 11. 将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 12. 在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 14. 生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（ ） 动物名 体重 脉搏率f/（次） 鼠 25 670 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30000 85 羊 50000 70 马 450000 38 A. 变量x与y成正相关，且 B. 变量x与y成负相关，且 C. 变量x与y成正相关，且 D. 变量x与y成负相关，且 15. 设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（ ） A. 存在，使得存在正整数N，当时，总有 B. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C. 对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D. 存在，使得不存在正整数N，当时，总有 16. 对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（ ） A. 若，则或 B. C. D. 三、解答题（本大您共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． （1）求的值； （2）若复数z满足，求． 18. 如图，在中，，平面，分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 19. 某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． （1）求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； （2）假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； （3）因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 20. 已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． （1）当P为椭圆的上顶点时，求的大小； （2）若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； （3）若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 21. 已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． （1）证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； （2）设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； （3）在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $