精品解析：上海市嘉定区2024-2025学年高三下学期第二次质量调研数学试题

2024学年高三年级第二次质量调研 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 已知集合，集合，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算. 【详解】. 故答案为：. 2. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案. 【详解】解： 由分式不等式的解法得原不等式等价于， 解不等式得. 故不等式的解集为. 故答案为： 3. 已知向量，若，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 4. 已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，即， 所以. 故答案为： 5. 在的二项展开式中，常数项的值为______． 【答案】60 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得出 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以二项式的展开式中的常数项为. 故答案为：60. 6. 已知，若，则______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 7. 直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 8. 已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 9. 在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个， 其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共， 故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为. 故答案为：. 10. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的范围求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 11. 某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）． 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得球的半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长. 【详解】若球的半径为，则，可得，又， 对于正四棱锥，设底面边长为 ，高为， 则，所以，即， 又，则，故，即， 纪念碑体积，令， 对于，则在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，故，此时米. 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 14. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数. 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 16. 设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（ ） A. 数列和数列均不是周期数列 B. 数列是周期数列，数列不是周期数列 C. 数列不是周期数列，数列是周期数列 D. 数列和数列均为周期数列 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，，． （1）若AD平面PBC，证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【答案】（1） 由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而 都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面， 面，故. （2）为一个鳖臑，体积为，表面积为. 【解析】 【分析】 （1）根据已知有，线面垂直的性质得，再应用线面垂直的判定、线面平行的性质得面，再由线面垂直性质证结论； （2）根据已知得到，，，结合题设定义及棱锥体积公式求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面， 面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 18. 已知函数，其中，a，b为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； （2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； 【小问2详解】 由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 19. 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． （1）估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； （3）已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 【答案】（1）平均课外阅读时间小时/月； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直方图的平均值求法求该校学生的平均课外阅读时间； （2）由直方图估计时间位于区间的频率，即可得概率； （3）根据已知得其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为，且其他年级学生占比为，进而求出其他年级学生中喜欢阅读的比例. 【小问1详解】 由直方图知，平均课外阅读时间为小时/月； 【小问2详解】 由直方图知，时间位于区间的频率为， 所以该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率为. 【小问3详解】 由题设，初一年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 所以其他年级学生中喜欢阅读的学生占比为， 故其他年级学生中喜欢阅读的比例. 20. 已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． （1）求的最小值； （2）当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； （3）若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 【答案】（1）, （2）, （3） 【解析】 【小问1详解】 由椭圆方程知，，所以右焦点， 设，则，由代入得： ， 由于，对称轴， 所以， 即的最小值为，此时点 为椭圆的右顶点. 【小问2详解】 由直线的斜率为1且经过，可得直线方程， 与椭圆联立方程组，消元得：， 解得，则代入得：，所以， 则， 设平行于直线的直线方程为，则与椭圆联立方程组，消元得： ，当此直线与椭圆相切时，满足判别式为 ， 即，解得， 根据数形结合可得时，满足切点 取到面积最大值， 此时方程为， 代入直线得，则， 由点到直线的距离公式得： ， 所以面积的最大值为， 此时点； 【小问3详解】 设过点直线为：，与椭圆联立方程组，消元得： ， 由， 再由于交点D不在x轴上，即， 设交点，则有， 代入得：， 由于Q关于原点的对称点为点R，所以， 则直线方程为，与直线相交得： 点纵坐标为， 而直线与直线相交得： 点纵坐标为， 所以可得 当且仅当，即时，取到最小值 . 即的取值范围是 21. 已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． （1）当时，判断点是否为平衡点； （2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； （3）求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】（1）是，理由如下： 由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）； （3） 由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 【解析】 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 是，理由略. 【小问2详解】 由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年高三年级第二次质量调研 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果． 1. 已知集合，集合，则＝______． 2. 不等式的解集为___________. 3. 已知向量，若，则______． 4. 已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______． 5. 在的二项展开式中，常数项的值为______． 6. 已知，若，则______． 7. 直线与圆相交所得的弦长为______． 8. 已知复数满足，则的值为______． 9. 在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______. 10. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 11. 某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）． 12. 在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 15. 已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 16. 设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（ ） A. 数列和数列均不是周期数列 B. 数列是周期数列，数列不是周期数列 C. 数列不是周期数列，数列是周期数列 D. 数列和数列均为周期数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥 中，PA⊥平面ABCD，，． （1）若AD平面PBC，证明：； （2）在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 18. 已知函数，其中，a，b为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； （2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 19. 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据频率分布直方图． （1）估计该校学生的平均课外阅读时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）估计该校学生课外阅读时间位于区间（单位：小时/月）的概率； （3）已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例．（精确到0.1%） 20. 已知椭圆C：．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点的直线交椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点． （1）求的最小值； （2）当直线的斜率为1时，求面积的最大值及此时点M的坐标； （3）若直线与直线交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线与交于点E，求线段的取值范围． 21. 已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． （1）当时，判断点是否为平衡点； （2）当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； （3）求所有实数a和b，使得点是平衡点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $