第一章整式的乘除单元培优卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 单元培优卷 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形，的边长分别为，，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若是一个完全平方式，则a值为（   ） A． B．或11 C．9或 D．11 6．如果，，，那么，，三个数的大小为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A．±1 B．1 C．-1 D．0 8．杨辉三角是我国古代数学的伟大成就．如图，这个由数字排列成的三角形就称为杨辉三角，其每一横行都表示（为非负整数）的展开式中各项的系数． ， ， ， ， … 那么展开式中第四项的系数为（   ） A．8 B．10 C．18 D．20 二、填空题 9．如果，那么的值为_______． 10．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 =__________． 11．已知长方体的体积为，它的长为，宽为，则这个长方体的高为_____________． 12．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为_____． 13．设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝_____． 三、解答题 14．计算下列各式 （1） m8÷m2－（3m3）2＋2m2·m4； （2）（m2n＋2m3n－3m2n2）÷m2n． （3） （4）（－1）2021＋（）－2＋（3.14－π）0； 15．先化简，再求值：，其中，． 16．如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 17．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：． (1)_______； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则_______； (3)对于有理数，，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点，，在同一条直线上，点在边上，连接，．若，，，，图中阴影部分的面积为，求的值． 18．（1）一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是元/，那么购买所需地砖至少需要多少元？ （2）已知房屋的高度为，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果某种壁纸的价格是元/，那么购买所需壁纸至少需要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积） 19．探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方计算法则和合并同类项法则分别计算出对应选项式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 4．C 【分析】此题考查正方形的性质，解题的关键是利用面积之差为51，且，得出方程解答．设为x，为y，利用面积之差为51，且，得出方程解答即可． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， 设为x，为y， 可得：， 解得：， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】根据完全平方公式的结构a2±2ab+b2，即可求解． 【详解】x2+（a﹣1）x+25=x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，则（a﹣1）x=±2•x•5， 解得：a=﹣9或11． 故选B． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 6．A 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，先根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】先求出（x−y）2，即可求出|x−y|的值． 【详解】解: （x−y）2＝（x＋y）2−4xy＝32−4×2＝1， x−y＝±1， ∴|x−y|＝1． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式． 8．D 【分析】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 故选：D． 9．9 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，同底数幂乘法，幂的乘方的逆运算．由条件可得 ，再将转化为，利用同底数幂乘法法则计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 则， 故答案为：9． 10．16 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式的应用，长方体的体积；根据长方体的高等于长方体的体积除以长方体的底面积，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12． 【分析】阴影部分面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可． 【详解】∵a+b＝17，ab＝60， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了完全平方公式变形应用，弄清图形中的关系是解本题的关键． 13．﹣ 【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解． 【详解】解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2， ∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4， ∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减得4xy＝﹣3， 解得xy＝﹣， 则P＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 14．（1）；（2）；（3）；（4）4 【分析】（1）根据同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式分别计算，再合并同类项； （2）根据多项式除以单项式的运算法则分别计算即可； （3）根据完全平方公式，单项式乘以多项式分别去括号，再合并同类项； （4）根据乘方运算，负整数指数幂，零指数幂的运算法则分别进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，多项式除以单项式，完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂的运算，解题关键是掌握相应的知识点和运算法则． 15．， 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 16．(1)； (2)阴影部分的面积为； (3)． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、代数式求值、完全平方公式在几何图形中的应用等知识，解题关键是通过观察图形找出各图形之间的面积关系． （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为，宽为，那么图中的阴影部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽； （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图中阴影部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积； （3）通过观察图形知，、、分别表示的是大正方形、阴影部分的正方形及个小长方形的面积． 【详解】（1）解：依题意得，分成长方形后，每个小长方形的长为，宽为， 则图的阴影部分的边长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长， 大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 阴影部分的面积为； （3）解：由图可以看出，大正方形面积阴影部分的正方形的面积四个小长方形的面积， 即， 故答案为：． 17．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据，得解答即可； （2）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可． （3）①根据定义，得，然后根据完全平方公式变形计算即可； ②根据题意，得化简计算即可． 【详解】（1）解：根据， 得． （2）解：根据， 得，是一个完全平方式， 故， 解得． （3）解：①原式 ， ，， ； ②由题意得：， ， 四边形的面积为， ， 解得：． 【点睛】本题考查了有理数的新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平方公式，分割法求面积是解题的关键． 18．（1）至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元；（2）至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 【分析】此题考查了整式运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 则把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的地砖；购买所需地砖至少需要元； （2）根据题意得：， 则在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，至少需要元． 19．(1) (2)①相同，10；②，；③4221；④证明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）①根据题目给出的等式，即可发现规律； ②根据题目给出的等式，即可发现规律； ③运用②中的规律得出计算结果即可； ④运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：设为整数，且， ， 故答案为：； （2）解：①观察等式：，，，； 发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于10； 故答案为：相同，10； ②根据①发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为，（其中，为小于10的正整数）． 则以上两位数相乘的规律是； 故答案为：，； ③， 故答案为：4221； ④ ， 故． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $