精品解析：辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题

辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合题意可得出的值. 【详解】因为，且复数的实部与虚部相等，所以． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，根据交集的定义求解. 【详解】由，则，即， 所以，解得或， 所以，， 所以． 3. 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量不等式求解. 【详解】由向量不等式可得：， 所以当与方向相反时，最小值为1. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件求解即可. 【详解】记等比数列的公比为q． 因为，所以，． 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为100cm，若从到，水面高度下降了16cm，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 7. 下列函数中，其图像与函数的图像重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当，即时，， 当，即时，， 所以函数的图像不与函数的图像重合，故A不符合题意； 对于B，当时，，当时，， 所以函数的图像不与函数的图像重合，故B不符合题意； 对于C，当，即时，， 当，即时，， 所以函数的图像不与函数的图像重合，故C不符合题意； 对于D，，即， 所以函数的图像与的图像重合，故D符合题意． 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，且在上单调递增． 若，则，． 当时， 若，则根据在上单调递减可得，此时不满足题意； 若，则，由， 则根据在上单调递减可得，可得，不满足假设； 当时，则的图象关于直线对称，，显然不符合题意． 当时， 若，，， 则根据在上单调递增可得，故此时满足题意； 若，则，因为，，所以，结合在上单调递增， 再由，故此时满足题意． 综上，m的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量逐年增加 B. 年我国粮食产量的中位数为万吨 C. 年我国粮食产量的极差为万吨 D. 年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【解析】 【分析】利用条形图结合中位数、极差以及相关性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图， ①当时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线， 则是等腰三角形，，又，因此，解得． 所以，离心率； ②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限， 由，得，由，得． 由，得，则，离心率． 11. 已知四边形外接圆的圆心为，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形面积的最大值为 D. 四边形面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：根据向量数量积及三角函数的值域求解判断即可；选项B：根据三角形面积公式及三角函数的值域求解判断即可；选项C：判断出为直径，根据三角形面积公式求出，结合导数与最值求解判断即可；选项D：根据三角形面积公式求出，结合三角函数性质求解判断即可. 【详解】选项A：，A错误． 选项B：，B正确． 选项C：因为，，所以应为圆的直径，如图， 记，，则， 所以四边形ABCD的面积： ， 令，，则， 则． 令，得，结合，解得； 令，得，结合，解得． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即四边形面积的最大值为，C正确． 选项D：若点在四边形内部，如图， 记，，，则． 四边形的面积：． 又，当且仅当，时，等号成立， ，当且仅当，时，等号成立， 当，时，两个不等式同时取得等号， 所以． 若点不在四边形内部，则四边形的面积一定小于2，所以四边形面积的最大值为2，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为抛物线C：，所以，抛物线C的焦点为， 结合抛物线的定义可得，则设， 易知在线段FA的垂直平分线上，则点的横坐标等于点和点中点的横坐标， 即：，所以 ，即. 13. 若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先设出两曲线的公共点，再根据导数的几何意义可得所求值. 【详解】因为，所以．因为，所以． 设曲线与曲线的公共点为， 因为它们在公共点处有相同的切线，所以，，解得或． 若，，，解得． 若，，，解得． 综上所述，或. 14. 已知平面分别过正四面体的四个顶点，且平面相互平行，相邻两个平面之间的距离均为，若该正四面体的棱长为4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设,过点的平面与交于点，过点的平面与交于点，取的中点为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】设该正四面体为，根据正四面体的对称性，不妨取, 记过点的平面与分别交于点，过点的平面与分别交于点， 因为相邻两个平面之间的距离均相等，所以， 可得分别为的中点， 设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 则，． 记平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又因为向量，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式及； （2）若，，求数列的通项公式． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式； （2）直接用累乘法求数列的通项公式可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为．因为，， 所以，，则，． 【小问2详解】 因为，即，所以当时,． 所以当时, ． 当时，，符合上式. 故数列的通项公式为. 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，将五面体分解成四棱锥和三棱锥，求出锥体的体积，进而求出结果； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小. 【小问1详解】 在矩形中，，， 因为，，所以平面， 因为平面，所以，即， 如图所示，过点E作，垂足为F， ，，，，， 所以，即． 又，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，连接BE．该五面体可由四棱锥和三棱锥组成． 四棱锥的体积， 三棱锥的体积， 五面体的体积． 【小问3详解】 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，． 由（1）可得平面的一个法向量为． 易知平面ABC的一个法向量为， 则， 所以平面与平面ABC所成角的大小为． 17. 某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． （1）若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； （2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】（1）24 （2）0.18 【解析】 【分析】（1）先算出两次摸到的球的颜色不同的概率，再根据二项分布期望公式求解； （2）运用全概率公式列方程求解. 【小问1详解】 每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率， 每名顾客两次摸到的球的颜色不同的概率． 由题意知，这名顾客中按方式①发放礼品的人数， 所以的数学期望． 【小问2详解】 记事件“按方式①发放礼品”，事件“按方式②发放礼品”，事件“发放礼品A一份”． 由（1）知，， ． 由全概率公式得， 所以，解得． 故估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例为18%． 18. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的离心率公式、椭圆的定义以及椭圆的基本关系，联立方程组求解的值，进而确定椭圆方程. (2) ①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论. ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【小问1详解】 由题意可得解得 所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 ①证明：根据对称性，不妨令点P在第一象限， 设，则切线BP的方程为，且． 令，解得，则． 又，， ， 所以，即，所以． ②解：因为，所以． 因为，所以，所以． 在中，，． 19. 已知函数，． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；在，上单调递增，在上单调递减 （2）答案见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数符号得出函数的单调区间； （2）令，求导后结合的取值分析的符号变化，从而确定的极值点个数； （3）结合（1）（2）的单调性，分五种区间讨论是否成立，最终得出t的取值范围. 【小问1详解】 ． 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． ． 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 ． 令，得或0或． ①当，即时． 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，的极值点个数为1． ②当，即时． 当时，，当时，，所以在，上单调递增，在，上单调递减，的极值点个数为3． ③当，即时． 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，的极值点个数为1． ④当，即时． 当时，，当时，，所以在，上单调递增，在，上单调递减，的极值点个数为3． 综上，当或时，的极值点个数为1；当或时，的极值点个数为3． 【小问3详解】 结合（1）及（2）中的情况，分析如下： ①当，即时，，都在上单调递增，在上单调递减． 取，，，， 即， 所以，则，不符合题意． ②当时，，，都在上单调递减． 不妨取，，，， 即， 所以，则，符合题意． ③当时，，，都在上单调递增． 不妨取，，，， 即， 所以，则，符合题意． ④当时，取，，，都在上单调递增，在上单调递减，，，， 即， 所以，则，不符合题意． 结合（1）及（2）中的情况，分析如下： ⑤当时，取，使得． 因为在上单调递增，所以， 即， 则，所以，不符合题意． 综上，t的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）．已知刚开始退潮时水面高度为100cm，若从到，水面高度下降了16cm，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 下列函数中，其图像与函数的图像重合的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量逐年增加 B. 年我国粮食产量的中位数为万吨 C. 年我国粮食产量的极差为万吨 D. 年我国粮食产量与年份负相关 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 已知四边形外接圆的圆心为，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形面积的最大值为 D. 四边形面积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点P在抛物线C：上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 13. 若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则______． 14. 已知平面分别过正四面体的四个顶点，且平面相互平行，相邻两个平面之间的距离均为，若该正四面体的棱长为4，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式及； （2）若，，求数列的通项公式． 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 17. 某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． （1）若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； （2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 18. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 19. 已知函数，． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $