精品解析：辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题

辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数 ，结合题意可得出的值. 【详解】因为，且复数 的实部与虚部相等，所以 ． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，根据交集的定义求解. 【详解】由，则，即， 所以，解得或， 所以，， 所以． 3. 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】对任意向量，满足三角不等式： ，  当且仅当与共线反向时，左侧等号成立， 将，代入可得 ， 即 的最小值为. 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列公比为，由 ，得，，. 由，得，即， 因，故，则. 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位： ）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得 （舍去）． 7. 下列函数中，其图像与函数 的图像重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当，即时，， 当 ，即时，， 所以函数的图像不与函数 的图像重合，故A不符合题意； 对于B，当时，，当时，， 所以函数的图像不与函数 的图像重合，故B不符合题意； 对于C，当 ，即时，， 当 ，即时，， 所以函数的图像不与函数 的图像重合，故C不符合题意； 对于D，，即， 所以函数的图像与 的图像重合，故D符合题意． 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为 ，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简：  即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即 ， 故 的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B. 2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C. 2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D. 2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A选项，对比每年产量可得， 故年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图， ①当 时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线 ， 则是等腰三角形，，又，因此，解得． 所以，离心率； ②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限， 由，得，由，得． 由，得，则，离心率． 11. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为，所以当时，， 则 ，故A错误； 选项B：的面积， 因为，所以当时，，故B正确； 选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径， 因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为， 则， 所以四边形ABCD面积的， 令，则， 令，则， 令，解得或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当，即时，有最大值， 此时，，故C正确； 选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，， 两弦异侧时，其距离，且， 则四边形ABCD面积 ， 所以当时，有最大值为2，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点P在抛物线C： 上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为抛物线C： ，所以 ，抛物线C的焦点为， 结合抛物线的定义可得，则设， 易知在线段FA的垂直平分线上，则点的横坐标等于点和点中点的横坐标， 即：，所以 ，即. 13. 若曲线 与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由 ，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 【答案】. 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体考虑，利用对称性，判断平面，，，满足的条件，建系求解即可. 【详解】如图，将四面体放入正方体中， 由对称性不妨设平面，，，分别过， 由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d， 从而过的中点，靠点的三等分点； 过的中点，靠点的三等分点； 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 设平面的法向量为 则，取， 从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且 ，． （1）求的通项公式及； （2）若，，求数列的通项公式． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式； （2）直接用累乘法求数列的通项公式可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为．因为，， 所以，，则，． 【小问2详解】 因为，即，所以当时,． 所以当时, ． 当时，，符合上式. 故数列的通项公式为. 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 【答案】（1） 在矩形中，，， 因为，，所以 平面， 因为平面，所以，即， 过点E作，垂足为F， ，，，，， 所以，即． 又，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，将五面体分解成四棱锥和三棱锥，求出锥体的体积，进而求出结果； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接BE．该五面体可由四棱锥和三棱锥组成． 四棱锥的体积， 三棱锥的体积， 五面体的体积． 【小问3详解】 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 由（1）可得平面的一个法向量为． 易知平面ABC的一个法向量为， 则， 所以平面与平面ABC所成角的大小为． 17. 某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． （1）若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； （2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为 ，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】（1）24 （2）0.18 【解析】 【分析】（1）先算出两次摸到的球的颜色不同的概率，再根据二项分布期望公式求解； （2）运用全概率公式列方程求解. 【小问1详解】 每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率， 每名顾客两次摸到的球的颜色不同的概率． 由题意知，这名顾客中按方式①发放礼品的人数， 所以的数学期望． 【小问2详解】 记事件“按方式①发放礼品”，事件 “按方式②发放礼品”，事件“发放礼品A一份”． 由（1）知，， ． 由全概率公式得， 所以，解得． 故估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例为18%． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆 上一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）①证明：不妨令点在第一象限，设， 所以切线的方程为：，又， 令，解得，所以， 又因为， ， 所以，所以， 又， 所以； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意解出即可求解； （2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论; ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【小问1详解】 由题意得：，解得，所以， 所以， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，. 【点睛】 19. 已知函数， ． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 【答案】（1）和的单调增区间均为 ，单调减区间均为 ； （2）当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间. （2）求导得 解析式，令 ，得 的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断 的正负，可得其单调区间，分析即可得答案. （3）结合的任意性，已知条件可转化为， 分别构造函数 和 ，可将不等式再转化为 ，得到 在上单调性相同.利用导数求出 和 的单调区间，结合图形与条件，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由，，得， 因为 恒成立，所以令，解得或， 当 或时，，则单调递增， 当 时，，则单调递减， 所以的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 由 ，，得 ， 令 ，解得或， 当 或时，，则单调递增， 当 时，，则单调递减， 所以的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 【小问2详解】 ， 则 ， 令 ，解得或或 （）. 当时， ， 恒成立， 则当时， ，则单调递减， 当时， ，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时， ， 恒成立， 则当 时， ，则单调递减， 当 时， ，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时， ， 当 或 时， ，则单调递减， 当 或时， ，则单调递增， 此时有3个极值点 ； 当时， ， 当 或 时， ，则单调递减， 当 或 时， ，则单调递增， 此时有3个极值点 ； 综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. 【小问3详解】 由，结合的任意性， 可得，则有， 所以有 ， 即 ， 设 ， ， 则 ，所以 在上单调性相同. 由 ，则 ， 令 ，解得或， 其中 ， 当时， ，则 单调递减， 当时， ，则 单调递增， 所以 的单调减区间为，单调增区间为； 由 ，则 ， 因为 恒成立，所以令 ，解得或， 当 或时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减， 所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 要使 与 在上单调性相同， 分以下情况讨论： ①当 时，在上，函数 存在递增区间，而 单调递减， 故不满足题意； ②当 时，在上，函数 与 均单调递减， 且对任意， ， 故满足题意； ③当 时， ， 函数 均在上单调递减，在上单调递增， 又 不恒为0，即 不恒为常数， 故存在（ ），使得 ，且 ， 若，则当时， ，且 ， 故存在 ，使得 ， 故不满足题意； 同理可得，若 ，当时， ，且 ， 故存在 ，使得 ， 故也不满足题意； ④当 时，在上，函数 与 均单调递增， 对任意， ， 故满足题意. 综上所述，t的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁抚顺市六校协作体2026届高三下学期一模考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位： ）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 下列函数中，其图像与函数 的图像重合的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B. 2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C. 2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D. 2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点P在抛物线C： 上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 13. 若曲线 与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且 ，． （1）求的通项公式及； （2）若，，求数列的通项公式． 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 17. 某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． （1）若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； （2）抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为 ，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆 上一点处的切线方程为． 19. 已知函数， ． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $