精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（一）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则的取值集合为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，此时，不符合题意； 若，解得，则，，此时，符合题意. 综上，的取值集合为. 2. 若复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，所以. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，，则，又n⊥，所以； 反之，若，，则，又，所以， 则“”是“”的充要条件. 4. 已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影相等的条件，推导出，再利用向量垂直的数量积为列方程求解. 【详解】由题意得，即， 整理得，所以，解得. 5 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出，最后结合同角三角函数关系计算求值. 【详解】由题意得，所以·. 因为，所以，所以，且， 所以，可得. 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 7. 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出圆心与线段中点的连线与直线垂直，进而求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，即可得弦长. 【详解】由，则在的垂直平分线上， 又圆的弦的垂直平分线过圆心， 故为的垂直平分线，即， 所以，解得， 所以直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以. 8. 在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的短轴长为 C. 为等边三角形 D. 为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出，进而求出离心率及短轴长，判断A，B，C，最后结合椭圆定义求出边长判断D. 【详解】由的左、右焦点分别为，得1，解得， 则，所以C的离心率，短轴长为， 又因为，所以为等边三角形，故选项A正确，选项B错误，选项C正确； 由题意设，则，解得， 所以，又， 所以，即不是等边三角形，故选项D错误. 10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（ ） A. 第2个球是甲射门的概率为 B. 在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C. 前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D. 在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：可得第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲，进而求概率；对于B：分析可知第2球甲未射中，即可得概率；对于C：可能情况有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲，进而求概率；对于D：分析可能情况的组成，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲点球射中”，“抽签抽到乙”，“乙点球射中”， 则，，，可得，， 对于选项A：第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为，故A正确； 对于选项B：在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门，可知第2球甲未射中， 所以所求事件的概率为，故B错误； 对于选项C：若前4个球中甲、乙各射2个，则可能情况有： 甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲， 所求的概率为，故C正确； 对于选项D：第3个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲， 对应的概率为， 第1个球是乙射门且3个球是甲射门的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲， 对应的概率为， 所以所求事件的概率，故D错误. 11. 已知正方体的棱长为2，动点在该正方体内部及其表面上运动，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则动点轨迹的长度为2 C. 若点到平面与的距离相等，则的最小值为3 D. 若点到平面与的距离相等，则直线与一定不垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由 得在中截面内，利用等体积法计算体积；对B，由得在两平面交线，计算轨迹线段长度；对C，由点到两平面距离相等得其在对角面内，用对称点转化为两点间距离求最小值；对D，由得在球面上，通过球心到平面距离与半径比较. 【详解】对于A：分别取棱，的中点则四点共面， 且四边形EMNH为正方形，若，则点在平面内，且到平面的距离 为定值1，所以，A正确； 对于B：若，则点既在正方形EMNH内及其边界上，又在对角面BDD内， 所以点的轨迹为线段，其长度为，B错误； 对于C：若点到平面与的距离相等，则点在对角面内，取的中点K， 则点关于平面对称，所以，C正确； 对于D：若，则点在以为直径的球面上，球心为中点，半径， 而点到平面的距离为，所以平面与以为直径的球面无公共点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则值为______. 【答案】2 【解析】 【详解】由，得， 由正态分布的对称性，得，所以的值为2. 13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体（四个顶点在圆锥的底面上，另四个顶点在圆锥的侧面上）的棱长均为1，则该圆锥的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥底面与内接正方体棱长的关系，求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式即可求得. 【详解】设圆锥的高为，则由相似三角形对应边成比例可得：，解得， 所以该圆锥的体积. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据三角函数周期性并求出其单调性，得出函数极值，即可求得其最小值. 【详解】由，得， 因为，所以当时，0；当时，， 又满足，所以为的一个周期， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 因为，所以当时，的最小值为. 即当时，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 【答案】（1）36 （2） 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率. 【小问1详解】 先从中间的3个空位中选出2个空位排2个白球，再把3个红球全排放入剩下的3个空位，共（种）， 所以2个白球均不排在两端的所有排法种数为36. 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为0，1，2，3， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 P 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明平面，然后再利用线面垂直性质定理可得答案； （2）建系，利用线面角的坐标公式可得答案. 【小问1详解】 因为底面是边长为2的正方形，分别为的中点，所以， 因为平面底面，平面底面底面ABCD， 所以平面， 因为平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）及底面为正方形，可得， 又正方形的边长为分别为的中点， 所以， ， 在中，， 所以，所以两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则， 所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列前项的积为. （1）判断是否成等差数列，并给出证明； （2）令，求数列的前项和， 【答案】（1）是，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合等差中项法判断等差数列证明即可. （2）结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 成等差数列. 证明：因为数列前项的积，所以当时，， 当时，，符合上式， 所以， 所以 因此成等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 所以数列的前项和. 18. 已知点在抛物线上，直线. （1）求抛物线的方程； （2）点，在上，且以为直径的圆过坐标原点，若直线交于另一点，直线交于另一点. （i）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ii）是否存在，使得的面积为面积的2倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解； （2）（i）不妨设，，结合题意易得，设直线MN：，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及三点共线可得，进而得到直线MN：，进而求出定点坐标即可； （ii）先假设存在，结合（i）表示出和面积，进而求解即可. 【小问1详解】 因为点在抛物线上， 所以，解得，所以C的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：由题意不妨设，， 则， 因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以， 则，即. 显然直线MN的斜率不为0，设直线MN：，， 联立，消去得， 则， 因为A，P，M三点共线，则，解得， 又B，P，N三点共线，则，解得， 所以，又，得， 所以直线MN：，即直线过定点. （ii）由（i）知，直线MN：， 且， 而点到直线的距离为，且， 所以 ， 而， 若，则， 整理得，即，方程有解，则. 即存在，使得的面积为面积的2倍，此时. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记，若，证明： ； （3）记的导函数为，证明：当时，. 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据导函数的符号即可判断函数的单调性； （2）由（1）推得，将分别取并累乘即可证明； （3）令，作差并化简得，令，求导判断其单调性，得到当时，，进而推得即可得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且 令，则恒成立，所以在上单调递增， 又，故当时，，0，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，即， 即， 所以 即. 【小问3详解】 因为，令，则，,且， 又，则 令，则，故在上单调递增， 所以，即，所以当时，， 又当时，，所以当时， 即当时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，若向量在上的投影向量相等，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8. 在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过点作垂直于的直线交于两点，则（ ） A. 离心率为 B. 的短轴长为 C. 为等边三角形 D. 为等边三角形 10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等.每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球.已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，且每次点球是否射中相互独立，则（ ） A. 第2个球是甲射门的概率为 B. 在第1个球和第2个球均是甲射门条件下，第3个球是乙射门的概率为 C. 前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D. 在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 11. 已知正方体棱长为2，动点在该正方体内部及其表面上运动，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则动点轨迹的长度为2 C. 若点到平面与的距离相等，则的最小值为3 D. 若点到平面与的距离相等，则直线与一定不垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则的值为______. 13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体（四个顶点在圆锥的底面上，另四个顶点在圆锥的侧面上）的棱长均为1，则该圆锥的体积为___________. 14. 已知函数，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将3个标号不同的红球和2个标号不同的白球排成一排. （1）求2个白球均不排在两端的所有排法种数； （2）记为2个白球之间红球的个数，求的分布列. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为的中点，平面底面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列前项的积为. （1）判断是否成等差数列，并给出证明； （2）令，求数列前项和， 18. 已知点在抛物线上，直线. （1）求抛物线的方程； （2）点，在上，且以为直径的圆过坐标原点，若直线交于另一点，直线交于另一点. （i）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ii）是否存在，使得的面积为面积的2倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记，若，证明： ； （3）记的导函数为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $