专题06 平面解析几何（4大考点）（湖北专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题06 平面解析几何 4大考点概览 考点01直线与圆的方程 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 ( 直线与圆的方程 考点1 ) 1．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据对称求解圆的圆心，进而根据对称，结合三点共线即可求解. 【详解】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 2．（2026·湖北孝感·一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得与圆C相切 C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值 【答案】D 【分析】根据线线平行列方程求解判断A；根据直线过定点在圆C内判断B；根据弦长公式列方程求解判断C；根据垂径定理求解即可判断D. 【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内， 所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或， 所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确. 故选：D 3．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 4．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点在直线上，点在曲线上，结合导数的几何意义运算求解. 【详解】因为点在直线上，点在曲线上， 又因为，， 令，解得，可得， 的最小值即为点到直线的距离. 故选：D. 5．（2026·湖北荆州·一模）若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方程表示圆的条件得到，再利用直线过定点且与圆有两个公共点，分类分析得定点在圆内，计算即可. 【详解】记直线直线为，则直线恒过定点， 记已知圆为，圆的方程 ， 配方得：， 所以圆心为，半径，，即. 当点在已知圆外时，总存在，使得直线与圆没有公共点，不合题意； 当点在已知圆上时，代入圆的方程得，此时圆的半径为，圆心与轴的距离为，所以圆与轴不相切，所以一定存在，使得直线与圆相切，即只有一个公共点，不合题意； 当点在圆内部时，对于，直线与圆都相交，即有2个公共点，符合题意. 点在圆内部时， ，解得：， 综上，的取值范围是. 故选：D. 6．（2026·湖北黄石·一模）若实数满足，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，将原问题转化为直线和圆相切问题，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程求解，即得答案. 【详解】由题意知实数满足，即点在圆上， 则可看作点和点的连线的斜率，设点为P，设， 则，即， 当和圆相切时，k取最大值或最小值； 由圆心到直线的距离为， 得，解得或， 故的最大值是0，最小值是. 7．（2026·湖北·一模）（多选）平面上一动点到原点的距离与到直线的距离之和为常数，点的轨迹为曲线，点在曲线上，则（   ） A． B． C．面积的最大值为9 D．从曲线内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆内的概率大于 【答案】ACD 【分析】求出曲线方程并代入所过的点后可判断A，根据曲线方程结合放缩法和作差法可判断B的正误，根据曲线方程可求到距离的最大值后可判断C的正误，利用斜率换元结合导数可求动点坐标的范围，从而可估算概率后判断D的正误，我们还可以利用复数的三角形求出旋转后曲线对应的方程，从而可判断BC. 【详解】设动点，由题得到 而点在此曲线上，所以，A正确； 由于，，显然即. 而， 所以，所以，从而， 当且仅当即或时等号成立，故，B错误； 设曲线上的动点到直线的距离为，则， 而，故，由B的分析可得， 故，故的面积，C正确； 对于D，设圆内的整点集合为， 则共有25个点， 因为，故曲线内至少有个整点. 因为，则至少有一个不为零， 不妨设，，则，则， 若，则， 令，， 则，此时在上为减函数， 故在上的值域为，故， 若，， 令，， 则即在为增函数， 故在的值域为，故此时， 综上，，由对称性可得，而， 故平面区域内共有81个整点， 上述平面区域包含了曲线，从曲线任取一整点（横纵坐标均为整数），则整数点个数小于个， 所以该点位于圆内的概率大于，D正确. 对于BC，我们提供另外的解法如下： 将曲线绕原点顺时针方向旋转，则旋转前后和面积均保持不变. 设为曲线任意点，旋转后对应点的坐标为，则对应的复数为， 故对应的复数为，故， 故，整理得，故，故曲线的图形如下： 此时旋转后对应的点，故此时的最大值为, 而，故， 当且仅当等号成立，故B错误，C正确. ( 椭圆 考点2 ) 1．（2026·湖北孝感·一模）（多选）曲线，，下列说法正确的是（    ） A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B．若曲线C表示双曲线，则其离心率 C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【答案】ABD 【分析】根据题意，对各选项进行分析即可. 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：， 即标准双曲线形式：， 其中，， 双曲线离心率公式：， 所以B正确. C：因为，所以， 方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，， 因为，所以，故，焦点在y轴上， 所以C错误. D：将直线代入曲线方程： ，展开：， 整理成关于的二次方程： ， 根据判别式：， 化简得：，因为，所以恒成立, 方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点. 所以D正确 故选：ABD 2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 3．（2026·湖北·一模）已知动圆与圆：外切，同时与圆：相内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于，两点（在左侧），过的动直线交于，两点，直线，交直线于，两点，证明： （i）以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标； （ii）直线与圆相切. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，圆过定点和.；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆与圆相切可得，依据椭圆的定义可求椭圆方程； （2）（i）设动直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理可求得，再结合数量积可得，从而可求定点或设以为直径的圆与轴的交点，则，结合韦达定理化简前者可得定点；（ii）用坐标表示的纵坐标，结合韦达定理化简后可证与的方向向量垂直，从而可得直线与圆相切. 【详解】（1）圆化为标准方程为，圆心，半径 圆化为标准方程为，圆心，半径 设动圆圆心，其半径为. 由题意，圆与圆外切，与圆内切，故， 两式相加得. 即动点到两定点与的距离之和为常数12，且 满足椭圆的定义，于是其方程为： （2） 曲线与轴交于，两点， 由方程令，得，即，，点为椭圆的右焦点. （i）法1：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：， ， 设，，则，， 不妨记，则 直线的方程为：，与直线交于点，则， 同理，直线与直线交于点，则， ，，， 而， 在以为直径的圆上即圆过定点， 由对称性知，圆还过定点，所以圆过定点和. 法2：设过点的动直线的方程为：， 代入椭圆方程整理得：， ， 设，， 则，，， 直线的方程为：，所以点，同理， 设以为直径的圆与轴的交点，则， 即（*）， 而 ， 代入（*）可得，得或即圆过定点， 定点坐标为或. （ii）直线的方程为：，点， 同理，， 而 ， ，而的方向向量， ，于，故直线与圆相切，切于点. 4．（2026·湖北荆州·一模）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.    (1)若，求直线的斜率； (2)当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由平行关系得到线段比例与纵坐标关系，设出直线方程并联立双曲线方程，再通过消元与代数运算求出直线斜率. （2）（ⅰ）利用双曲线的对称性得到线段等量关系，设直线方程并联立双曲线，结合韦达定理与两点距离公式，化简证明表达式为定值. （ⅱ）先由(i)的结论得到线段长度关系，再结合双曲线定义与平行线分线段成比例，推出点P到两焦点的距离之和为定值，最后根据椭圆定义确定椭圆方程. 【详解】（1）双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得， 因为，所以，故，所求斜率为. （2）（ⅰ）分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故， 设，且， 联立，，， 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，， （ⅱ）设，由(i)知，即：， 由双曲线的定义知，， 由于，根据平面几何知识，， 所以， ， 由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 由得，其方程为， 所以当点在双曲线上运动时，点在椭圆上运动.      5．（2026·湖北十堰·一模）已知椭圆：（）的实轴长为，点在上. (1)求的离心率； (2)若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上； (3)已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率； （2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求解即可； （3）设，根据题意结合向量运算可得，代入椭圆方程可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，即，椭圆方程为， 代入点可得，解得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）可知椭圆的方程为，， 因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线：，， 联立方程，消去x可得， 则，，可得， 由题意可知：直线，直线， 联立方程消去y可得 ， 即，可得， 所以点在定直线上. （3）设，且， 则，且，， 可得，即， 代入椭圆方程可得， 整理可得， 又因为，，， 可得，即， 且，可得，即， 所以（为定值）. 6．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）设椭圆焦距为，则椭圆过点，代入椭圆方程，结合及，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】（1）由题意有，所以. 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以. 又，所以. 所以，即，解得. 所以，，故的标准方程为． （2）（ⅰ）设，，，则，由题意有． 直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程. 所以，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴. （ⅱ）∵， 而，， 由（ⅰ）知， ∴，又， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以．的最小值为． 7．（2026·湖北孝感·一模）如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．）    (1)求曲线的方程； (2)矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点． （ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值； （ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）设点M的坐标，点P的坐标，由点在圆上及可得； （2）（i）先求出直线方程，联立直线方程和椭圆得，联立直线方程和圆的方程可得，进而可得；（ⅱ）由题，，，，进而得直线直线方程：，直线方程： ，进而得，进而可判断. 【详解】（1）设点M的坐标为，点的坐标为，则点I的坐标为 由得，，所以， 因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是： （2）（ⅰ）由题意，点，，， 所以直线方程为 由得所以 由得所以 由相似得 （ⅱ）证明：由题知：，，， ， 直线方程： 直线方程： 联立直线方程和直线方程，得，所以 代入直线方程得 所以 所以 所以，点L在椭圆上. ( 双曲线 考点3 ) 1．（2026·湖北·一模）双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，解得. 2．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 3．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知M为的中点，而O是的中点， 所以，由于⊥，所以是线段的中垂线， 故，由双曲线的对称性知，所以， 故. 4．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，，再由及余弦定理得到，从而结合椭圆定义表示出，结合椭圆的离心率定义求出其离心率. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距也为， 双曲线的离心率为，则， 延长交双曲线于点， 因为，由双曲线的对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知，结合， 化简得，即，， 由P点在椭圆上，可得，即，则， 结合，可得椭圆离心率为. 5．（2026·湖北十堰·一模）已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率. 【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为， 由经过点，（），得点关于轴对称，即， 则，于是，而，则， 由点在双曲线上，得，即，整理得， 因此，即，则，而， 所以的离心率. 故答案为：    ( 抛物线 考点4 ) 1．（2026·湖北孝感·一模）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先把代入到抛物线方程得，故准线为，进而由抛物线的定义可得. 【详解】因为代入，得，故准线为， 点到抛物线的焦点的距离等于点到准线的距离，所以， 故选：C 2．（2026·湖北十堰·一模）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可得，代入方程可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 因为，即， 且，所以. 故选：B. 3．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（   ） A．设点，则的周长最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．和的面积之和的最小值为32 【答案】ACD 【分析】对选项A：结合抛物线的定义，的周长为，要找周长最小值，需找到点A使得最小，利用三点共线时距离最短的思路分析即可；对于B：设直线的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用焦半径公式可得的表达式，再利用基本不等式分析最小值；对选项C：表示出的坐标，再利用两点间距离公式表示出，最后利用基本不等式求最值的方法分析最小值；对选项D：利用三角形面积公式表示出和的面积之和，结合焦半径公式或联立方程后的弦长公式，将面积和转化为关于k的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】对于A，，，准线方程为，点， 的周长为，其中， 过点作垂直于准线的直线，垂足为，由抛物线定义知， 则周长为, 当最小时，周长最小， 所以当在一条直线上时，最小，最小长度为， 所以周长最小值为，故A正确； 对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，即，设， 则，， 则， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，直线的斜率为，的方程为， 以代换中的k， 得， 设，得，， 、分别是弦和弦的中点，所以，， ， 而，， 则，即，的最小值为8，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，，，，， 和面积之和为 当且仅当，等号成立，所以和面积之和的最小值为32，故D正确. 4．（2026·湖北荆州·一模）已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，由求得点坐标，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】由抛物线方程可得， 因为点是与在第一象限的一个交点，且，所以轴， 设，代入解得， 由题意可得椭圆的左焦点为，右焦点为， 则， 所以，，， 所以椭圆的方程是， 故答案为：. 5．（2026·湖北·一模）如图，经过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线的倾斜角为，经过点和原点的直线与的准线交于点. （1）当时，________； （2）绕直线旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线的斜率为________. 【答案】 3 【分析】（1）求出点的坐标，求出直线的方程，再求出点纵坐标即可得解； （2）求出几何体的体积，利用导数求体积有最小值时对应的即可得解. 【详解】（1）由可知，焦点，准线方程为， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的方程为， 联立，可得，解得或， 因为点在第一象限，且倾斜角为， 所以，代入，可得, 所以，可得直线的方程为， 代入直线方程，可得， 所以. （2）可证得,即，过作，交延长线于点， 过作于， 绕旋转一周所形成几何体可以看作上下底半径分别为为半径，为高的圆台， 挖去以为半径，高为的圆锥后所得几何体， 故几何体的体积为： ， 令， 则 ， 又，， 分析可知，当时，最大，几何体的体积最小， 由同角三角函数关系得，于是. 即直线的斜率为. 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． (1)若的坐标为，求证：直线的方程为； (2)已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)存在， 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设，则可得的方程为，结合点坐标及、在抛物线上，可得，是方程的两根，则可得与，有关韦达定理，再表示出直线的斜率后，利用弦长公式计算即可得解； （3）设，结合（1）、（2）中所得，可得，再利用在抛物线上，可得或，即有或，再分及讨论即可得. 【详解】（1）由得， 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故； 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故； 综上可得，； （2）设，由（1）可得的方程为， 又P点的坐标为，，则， 又，所以，同理， 所以，是方程的两根， 因此，，又， 由弦长公式得， 化简得，即， 所以或（负值舍去），因此所求抛物线方程为或； （3）设，由题意得， 则的中点坐标为， 由（1）（2）可知：直线的方程为， 由点在直线上，中点也在直线上， 则，， 作差得，即， 若在抛物线上，则， 因此或，即或； ①时，则，此时，点适合题意； ②当，对于，此时，， 又，由，所以， 即，矛盾，故不符； 对于，因为，此时直线DH平行于x轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾； 所以时，不存在符合题意的P点； 综上所述，仅存在一点适合题意. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面解析几何 4大考点概览 考点01直线与圆的方程 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 ( 直线与圆的方程 考点1 ) 1．（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（2026·湖北孝感·一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得与圆C相切 C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值 3．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 4．（2026·湖北荆州·一模）已知平面上的点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2026·湖北荆州·一模）若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北黄石·一模）若实数满足，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 7．（2026·湖北·一模）（多选）平面上一动点到原点的距离与到直线的距离之和为常数，点的轨迹为曲线，点在曲线上，则（   ） A． B． C．面积的最大值为9 D．从曲线内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆内的概率大于 ( 椭圆 考点2 ) 1．（2026·湖北孝感·一模）（多选）曲线，，下列说法正确的是（    ） A．若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B．若曲线C表示双曲线，则其离心率 C．若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D．不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 2．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 3．（2026·湖北·一模）已知动圆与圆：外切，同时与圆：相内切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设曲线与轴交于，两点（在左侧），过的动直线交于，两点，直线，交直线于，两点，证明： （i）以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标； （ii）直线与圆相切. 4．（2026·湖北荆州·一模）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.    (1)若，求直线的斜率； (2)当点在双曲线上运动时， （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 5．（2026·湖北十堰·一模）已知椭圆：（）的实轴长为，点在上. (1)求的离心率； (2)若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上； (3)已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 6．（2026·湖北黄冈·一模）已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 7．（2026·湖北孝感·一模）如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．）    (1)求曲线的方程； (2)矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点． （ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值； （ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上． ( 双曲线 考点3 ) 1．（2026·湖北·一模）双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2026·湖北黄石·一模）已知点在轴上，其既是椭圆的焦点，也是双曲线的焦点.设椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点在第一象限的双曲线上，且，若为等轴双曲线，则椭圆的离心率为__________. 5．（2026·湖北十堰·一模）已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. ( 抛物线 考点4 ) 1．（2026·湖北孝感·一模）已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．2 B． C．4 D．6 2．（2026·湖北十堰·一模）已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（   ） A．6 B． C．4 D． 3．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（   ） A．设点，则的周长最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．和的面积之和的最小值为32 4．（2026·湖北荆州·一模）已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 5．（2026·湖北·一模）如图，经过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线的倾斜角为，经过点和原点的直线与的准线交于点. （1）当时，________； （2）绕直线旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线的斜率为________. 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，设抛物线方程为，点P为直线上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． (1)若的坐标为，求证：直线的方程为； (2)已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； (3)是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $