专题05 计数原理与概率统计（3大考点）（湖北专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题05 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01二项式定理 考点02统计与回归分析 考点03随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 1．（2026·湖北·一模）已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 【答案】C 【详解】令，则； 令，则，故. 2．（2026·湖北荆州·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 【答案】D 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 3．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质，即可求解D. 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 4．（2026·湖北十堰·一模）（多选）若，则（   ） A．（） B． C．从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D．从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 【答案】ACD 【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为，， 则，， 可得依次为. 对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项， 所以不同的取法共有种，故C正确； 对于选项D：因为，共有4组， 若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种； 检验可知，不同的取法共有种； 综上所述：不同的取法共有种，故D正确； 故选：ACD. ( 统计与回归分析 考点2 ) 1．（2026·湖北十堰·一模）印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（   ） A．4.02 B．4.00 C．3.88 D．3.84 【答案】A 【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得. 【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71， 由，得这5个数据的40%分位数是. 故选：A 2．（2026·湖北荆州·一模）某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，，，，则以下判断一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用平均数、标准差、中位数、众数的定义求解. 【详解】选项A，设，则， ，无法比较的大小，故选项A错误； 选项B，，，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动性减小，故，故选项B正确； 选项C，原数据的中位数，去掉一个最高分和一个最低分后的新数据的中位数为，故，故选项C正确； 选项D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，可能不发生变化，故不一定有，故选项D错误. 故选：BC. 3．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若事件A与事件B相互独立，，，则 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】AC 【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性. 【详解】选项A：事件与相互独立，则， 又，，则，选项A 正确； 选项B：设原数据的方差为，新数据为， 因为（为常数）， 则，选项B错误； 选项C：记“至少有一个红球”为事件，“两个球颜色相同”为事件： 事件的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)； 事件的样本点：(黑,黑)、(白,白)； 事件与无公共样本点，不可能同时发生，故与互斥，选项C 正确； 选项D：对于个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：， 根据百分位数定义，位置为小数时，取第个数作为上四分位数，而非，因此选项D 错误. 4．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 【答案】BD 【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误； B：该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确； C：因为，由方差，期望，可得，即C错误. D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即D正确. 5．（2026·湖北荆州·一模）（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 【答案】BCD 【详解】零假设为：参加社会实践活动与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为参加社会实践活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于，故A错误. 从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为，故B正确. 记事件表示抽到的学生是参加社会实践的学生，则， 记事件表示抽到的学生是男生，， 所以，故C正确. 按性别用分层抽样的方法从参加社会实践的学生中抽取7人， 则7人中有男生人，有女生人， 从这7人中抽取2人有种取法，全为女生的取法有， 所以从这7人中抽取2人全为女生的概率为， 所以从这7人中抽取2人，这2人中至少有一名男生的概率为，故D正确. 6．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 10．（2026·湖北随州·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.得到数据如下表： 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 53 65 71 76 85 根据上表可得经验回归方程中的，则经验回归方程中___________；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为__________min. 【答案】 47.5 92.5 【分析】由题中数据可得，，根据经验回归直线必过样本中心点可得，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得，， 因为经验回归直线必过样本中心点，且， 则，解得， 即，当时，则， 故估计加工的零件个数为60时,所花费的时间为92.5 min. 7．（2026·湖北孝感·一模）2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 (1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； (2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，预测宣传费用8万元时的现场观众人数为33.2百人 【分析】（1）得到的可能取值和对应的概率，从而得到分布列和期望值； （2）代入公式得到，从而得到y关于x的线性回归方程，当时，（百人），从而得到答案. 【详解】（1）因为观众不少于24百人的县共有3个，所以的可能取值为1，2，3， ，，， 所以分布列如下： 1 2 3 P 所以； （2）由题意，， ， ， 所以， ， 所以y关于x的线性回归方程为， 当时，（百人）， 故预测宣传费用为8万元时现场观众人数为33.2百人． 8．（2026·湖北十堰·一模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关联； (2)0.28. 【分析】（1）利用给定列联表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. 【详解】（1）零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）令使用无土栽培的单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为， 抽到的2株番茄总产量为，则， 则 ， 所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28. ( 随机变量及其分布 考点3 ) 1．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算 6 位密码的总数（由 1、2、4、6 组成，每个数字至少出现 1 次），进而求得成功破解该密码的概率. 【详解】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种， 排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共 种； 补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共 种； 排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共 种； 根据容斥原理，符合条件的密码数为. 所以能成功破解该密码的概率为. 故选：B. 2．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 3．（2026·湖北黄冈·一模）在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 【答案】 【详解】的所有可能取值为， 从边长为1的正方体的8个顶点中，任取两点可得条线段， 其中长度为1的线段有12条，长度为的有12条，长度为的有4条， 因此， 所以的期望. 4．（2026·湖北孝感·一模）某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 【答案】 【分析】先求得每位顾客中奖的概率，由题意，然后利用二项式的期望公式求解即可. 【详解】由题意，三次抽奖的所有情况共有种，和为5的倍数的情况有： ①三个编号均不相同1，3，6；1，4，5；2，3，5；4，5，6共种； ②恰有两个编号相同1，1，3；2，2，1；2，2，6；3，3，4；4，4，2；6，6，3共种， ③三个编号都相同5，5，5共1种，所以中奖的概率， 由题意，所以X的数学期望． 故答案为： 5．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 【答案】(1) (2)96000元 【分析】（1）根据全概率公式求解甲第一次闯关成功的概率，进而利用条件概率公式即可求解； （2）先求解一个参与者得分大于等于40分的概率，即可根据，由二项分布的期望公式求解. 【详解】（1）设事件表示“第i次选择的是A”事件表示“第i次选择的是B”， 设事件表示“第i次闯关成功” ， ， ， 第一次闯关成功，参与者甲选择的是A类关卡的概率为； （2）一个参与者得分大于等于40分有两类情形： 第一关选择A成功，第二关继续选择A也成功； 第一关选择B失败，第二关换为A成功，第三关继续选择A也成功. 故 ， 设1000人中获得现金奖励的人数为X，则商场支出的现金奖励Y＝1000X元. 由题知，， 故 ， 所以， 商场支出的现金奖励总金额的期望为96000元. 6．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 【答案】(1) (2)应该选择参加乙活动，理由见解析 【分析】（1）结合题意，分第1题抽到选择题、第1题抽到填空题两种情况求解即可； （2）分别求出小黄参加甲、乙活动花费金额的数学期望，进而判断即可. 【详解】（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为， 则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为. （2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为， 若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为； 若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为， 所以， ， ， 则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为. 由于， 所以小黄应该选择参加乙活动. 7．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据条件概率公式计算可得； （2）方法一：先利用乘法概率公式求得第次恰好抽到第一块干电池，第次恰好抽到第二块干电池的概率，然后利用等比数列求和公式求解即可；方法二：根据题意可得递推关系，再用定义法证明等比数列，进而利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】（1）记第1，2次取出的是干电池的概率分别为，， ，， 在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为 . （2）方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池， 用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变． 记第次恰好抽到第一块干电池， 第次恰好抽到第二块干电池的概率为， 则， ∴ . 方法二：“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类： 第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池． 当第1次抽到充电电池时： 此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为， 当第1次抽到干电池时，仅第1次与第次抽到干电池： 此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为， ∴，．，． ∴，∴， ∵， ∴是以为首项为公比的等比数列， ∴， ∴，当时该式也成立． 故所求概率为，． 8．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【分析】（1）根据全概率公式可求； （2）根据全概率公式构建递推关系后可得，利用构造法可证明是等比数列且可求的通项公式； （3）根据题意可得，故可求. 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 9．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况， 故， 事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“， 可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况， 故， 故所求. （2）易知随机变量可能的取值为， 当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 故随机变量的分布列为： 3 4 5 期望为. 10．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，由题意，写出满足的条件，写出函数值，即可得答案. （2）取，，写出函数值，完成分别列，求出期望即可. （3）根据所给定义，不妨令，讨论A中有个0、个0和小于等于个0三种情况，求出B，分析讨论，综合即可得证. 【详解】（1）当时，由，需构造满足 ①， ② ③， 设，，，，，则满足①②③， 此时；故满足题意． （2）取，满足且满足 ，，，，，， 的分布列为 0 2 4 6 p 0 ， 所以， （其他合理答案，同样给分，如：，等）． （3）当时，若且满足，不妨令 ①由于，所以，，…，不可能都是0． ②若A中有个0，不妨设，，则，此时， 根据题意，则，， 但是当时与矛盾，所以不成立； 当时，， 与矛盾． 所以A中不可能有个0． ③若A中有个0，不妨设，，则，其中， 则存在函数f使得： ，，，，，， 即存在使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于个，不妨设， 其中，，，，，…，，则． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：，其中若，， 则；若，，则，此时， ， 不符合题意； 第二种：，则 ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有个0． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 计数原理与概率统计 3大考点概览 考点01二项式定理 考点02统计与回归分析 考点03随机变量及其分布 ( 二项式定理 考点1 ) 1．（2026·湖北·一模）已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 2．（2026·湖北荆州·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 3．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 4．（2026·湖北十堰·一模）（多选）若，则（   ） A．（） B． C．从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D．从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 ( 统计与回归分析 考点2 ) 1．（2026·湖北十堰·一模）印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（   ） A．4.02 B．4.00 C．3.88 D．3.84 2．（2026·湖北荆州·一模）某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，，，，则以下判断一定正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北襄阳·一模）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若事件A与事件B相互独立，，，则 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 4．（2026·湖北黄冈·一模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 5．（2026·湖北荆州·一模）（多选）某校为了了解本校学生在寒假期间参加社会实践活动的情况，随机调查了100名学生，得到如下列联表（单位：人）：（    ） 男生 女生 合计 参加了社会实践活动 30 40 70 未参加社会实践活动 20 10 30 合计 50 50 100 附，其中n＝a＋b＋c＋d； A．依据小概率值的独立性检验，认为学生是否参加社会实践活动与性别无关 B．从男生中随机抽取1人，其参加了社会实践活动的概率为 C．随机抽取1人，若抽取到的是参加了社会实践的学生，则这名学生是男生的概率为 D．按性别用分层抽样的方法从参加社会实践活动的学生中抽取7人，再从这7人中抽取2人，则这2人中至少有一名男生的概率为 6．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 10．（2026·湖北随州·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.得到数据如下表： 零件个数x 10 20 30 40 50 加工时间y(min) 53 65 71 76 85 根据上表可得经验回归方程中的，则经验回归方程中___________；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为__________min. 7．（2026·湖北孝感·一模）2025年8月30日晚，以“知音湖北，与‘篮’共舞”为主题的湖北省全国百强县篮球联赛八支球队分别在汉川、仙桃、潜江、枝江同时开战．湖北省以体育赛事为纽带，推动文体旅深度融合，为县域经济高质量发展注入新动能．组委会对其中5个参赛县的宣传费用（万元）与现场观众人数（百人）进行统计，数据如下： 参赛县 A B C D E 宣传费用x（万元） 2 3 4 5 6 现场观众人数y（百人） 19 22 24 27 28 (1)从这5个参赛县中随机抽取3个，记现场观众人数不少于24百人的县的个数为，求随机变量的分布列及数学期望； (2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测宣传费用为8万元时的现场观众人数． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 8．（2026·湖北十堰·一模）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 (1)根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； (2)该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 ( 随机变量及其分布 考点3 ) 1．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 3．（2026·湖北黄冈·一模）在边长为1的正方体的8个顶点中，记任取两点的线段长为，则的期望为________． 4．（2026·湖北孝感·一模）某商场举办抽奖活动，在一个不透明的抽奖箱中有六个相同的小球，编号分别为1、2、3、4、5、6．活动规则如下：每位顾客连续有放回地抽取三次，若三次抽到的小球编号之和为5的倍数，则视为中奖．现甲、乙、丙三位顾客依次参加抽奖活动，且每人是否中奖相互独立．记中奖人数为X，则X的数学期望为______． 5．（2026·湖北荆州·一模）某商场在春节期间举行过关赢奖娱乐活动，活动设有A，B两类关卡，A，B两类关卡每一次闯关成功的概率分别为.活动参与者第一次闯关等可能的选择A，B中的一类关卡，如果闯关成功，则下一次闯关继续选择同类关卡，如果失败则选择另一类关卡，以此类推.规定A类关卡闯关成功一次得20分，B类关卡闯关成功一次得10分，闯关失败均得0分.每名活动参与者有3次闯关机会. (1)已知活动参与者甲第一次闯关成功，求甲选择的是A类关卡的概率； (2)若一名活动参与者闯关总得分不低于40分则获得现金奖励1000元，低于40分则根据分数奖励其他实物小礼品.若活动参与者有1000人，求商场支出的现金奖励总金额的期望. 6．（2026·湖北荆州·一模）某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立. (1)若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率； (2)该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由. 7．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取． (1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率； (2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求． 8．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 9．（2026·湖北黄石·一模）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量. (1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率； (2)求的分布列和期望. 10．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $