第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二下·重庆·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 3．（5分）（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 4．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 5．（5分）（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 6．（5分）（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 7．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 8．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江西新余·期末）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 10．（6分）（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 11．（6分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期__________． 13．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 14．（5分）（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 16．（15分）（25-26高二下·山西忻州·月考）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 17．（15分）（25-26高二下·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 18．（17分）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 19．（17分）（25-26高二下·江苏泰州·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二下·重庆·月考）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用排列数、组合数的计算公式，以及组合数的性质，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A，由，，所以，故A不正确； 对于B，由，，所以，所以B不正确； 对于C，由， 又由，所以，所以C正确； 对于D，由组合数的性质，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 2．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【解题思路】根据分步乘法计数原理求解. 【解答过程】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 3．（5分）（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】C 【解题思路】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算可得结果. 【解答过程】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择， 当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择； 当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择； 所以不同的着色方法的种数为. 故选：C. 4．（5分）（24-25高二下·湖北武汉·期末）在的展开式中，含项的系数是（   ） A．1139 B．1140 C．1329 D．1330 【答案】C 【解题思路】由的展开通项为，在展开式中含项的系数分别为 、、，根据组合式求和即可. 【解答过程】因为的展开通项为， 所以的展开式中含项的系数分别为 、、，其系数和为， 则， 其中，，，依次类推， 得出. 故选：C. 5．（5分）（2026·浙江·一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【解题思路】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【解答过程】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·河北·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2025 【答案】A 【解题思路】先利用二项式定理化简，再用二项式定理展开即可求得被10除得的余数即可. 【解答过程】因为 所以被10除得的余数为0， 而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5， 故的值可以是2020. 故选：A. 7．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【答案】B 【解题思路】根据题意，以“只会划左舷的人员入选左舷的人数” 为标准进行分类，对每一种情况进行计算即可求解. 【解答过程】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 8．（5分）（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江西新余·期末）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译､礼仪､司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（    ） A．每人安排一项工作的不同方法数为 B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是 C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为 D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为 【答案】CD 【解题思路】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理及组合知识求解判断C，根据分步乘法计数原理求解判断D. 【解答过程】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误； 对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加， 则每项工作的人数分别为或， 故不同的安排方法， 而，故B错误； 对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为， 若丙不做翻译，则不同的安排方法为， 故不同的安排方法为，故C正确； 对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法， 如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确. 故选：CD. 10．（6分）（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【解题思路】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【解答过程】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高二上·江西鹰潭·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【解题思路】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【解答过程】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期__________． 【答案】三 【解题思路】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【解答过程】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三. 13．（5分）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有__________种. 【答案】114 【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解. 【解答过程】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1，1，3；1，2，2； 此时不同的分配方案共有种； 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3，1，1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有； 若三组人数为2，2，1，则甲乙为一组，不同的分配方案有，所以共计36种， 故所求为种. 故答案为：114. 14．（5分）（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是__________. 【答案】 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【解答过程】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·重庆·期中）有名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？ (1)男生甲不站排头和排尾． (2)两名女生必须相邻． (3)甲、乙、丙三名同学两两不相邻． (4)甲不站排头，乙不站排尾． 【答案】(1)种 (2)种 (3)种． (4)种 【解题思路】（1）先考虑甲的位置，再全排列即可求解， （2）根据相邻问题捆绑法即可求解， （3）根据不相邻问题插空法即可求解， （4）根据全排列，结合正难则反即可求解. 【解答过程】（1）由于甲不站排头也不站排尾，所以甲要站在除去排头和排尾的四个位置， 余下的五个位置使五个元素全排列， 根据分步计数原理知共有种； （2）两名女生必须相邻，利用捆绑法，有种 （3）甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法， 首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果， 再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有， 根据分步计数原理知共有种． （4）甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有种． 16．（15分）（25-26高二下·山西忻州·月考）在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)有无x的负整数次幂？有，请求出这些项，没有，则说明理由； (3)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】(1)第5项， (2)有，分别是 (3)系数的绝对值最大的项是第项和第7项；系数最大的项是 【解题思路】（1）根据二项式系数的性质，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，由此可确定二项式系数最大的项. （2）先写出展开式的通项公式，再根据通项公式判断是否存在的负整数次幂. （3）设出系数的绝对值最大的项，根据系数绝对值最大的条件列出不等式组，求解不等式组得到的值，进而确定系数绝对值最大的项，再根据系数的正负性确定系数最大的项. 【解答过程】（1）的展开式的通项为： ，，， 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. （2），，， 令且，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 由以上知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项. 17．（15分）（25-26高二下·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）按区域顺序，结合相邻约束确定各区域颜色选择数，用分步乘法计数原理计算总方案数； （2）采用补集思想，先计算满足相邻不同的所有种植方法，再剔除仅使用2种作物的不符合情况，得到最终结果. 【解答过程】（1）由区域相邻关系，与、相邻，与、、相邻， 与、、相邻，与、相邻. 区域有种颜色可选，区域与相邻，有种颜色可选，区域与、均相邻， 有种颜色可选，区域仅需与、颜色不同，有种颜色可选. 所以方案数为. （2）先不考虑“3种作物全部种植”的限制，仅满足相邻试验田作物不同的条件： 第1块田有种作物可选，后续每块田只需与左侧相邻田作物不同， 各有种选择，总方法数为. 从种作物中选种，有种选法，种作物交替种植仅种方式， 故仅种种作物的方法数为. 所以方案数为. 18．（17分）（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由的展开式中的系数为，得到，即可求解； （2）分别令和，得出关系式，两式相减，即可求解； （3）当，可得，结合，进而证得能被3整除. 【解答过程】（1）由的展开式中的系数为， 所以，即解得. （2）由， 令，得， 令，得， 两式相减得. （3）证明：当，可得， ， 所以能被3整除. 19．（17分）（25-26高二下·江苏泰州·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【解题思路】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【解答过程】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $