第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽亳州·期末）若，则（    ） A．2或6 B．2或3 C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】根据组合数性质解方程即可. 【解答过程】由题意可得或， 解得或. 经检验均满足题意. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【解题思路】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果. 【解答过程】完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法； 第二步，选长裤有3种不同的选法． 所以根据分步乘法计数原理共有（种）不同的搭配方法． 故选：B. 3．（5分）（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【解题思路】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【解答过程】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 4．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【解题思路】先考虑无限制条件的情况，再减去当副组长的情况，即可得答案. 【解答过程】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【解题思路】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【解答过程】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A. 6．（5分）（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 【答案】D 【解题思路】直接根据，，，，，，按顺序涂色，逐步分析各个步骤的可能数，最后根据分步乘法计数原理求解即可． 【解答过程】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 7．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【解题思路】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【解答过程】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D. 8．（5分）（25-26高二下·黑龙江·开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解. 【解答过程】先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有种分法， 再将这5组全排列，对应5个项目，有种排法， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【解答过程】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高二下·江苏连云港·期末）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（    ） A．180个无重复数字的三位数 B．75个无重复数字且为奇数的三位数 C．30个无重复数字且能被25整除的四位数 D．480个无重复数字且比1300大的四位数 【答案】AB 【解题思路】根据分步乘法原理，由选项中的限制条件，逐项计算，可得答案. 【解答过程】对于A，无重复数学的三位数的情况数为，故A正确； 对于B，为奇数的三位数的个位可选的数字有，则无重复数学且为奇数的三位数的情况数为，故B正确； 对于C，能被整除的四位数的最后两位有，则无重复数字且能被整除的四位数的情况数有，故C错误； 对于D，当千位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为且百位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为且十位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为、十位为且个位比大的无重复数字的四位数的情况数有. 综上可得，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（25-26高二·全国·假期作业）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．所有项的系数之和为1 C．含的项的系数为 D．常数项为 【答案】BC 【解题思路】利用二项式系数的性质可判断A；赋值令，可判断B；利用二项展开式的通项公式可判断CD. 【解答过程】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项， 所以二项式系数最大的项为第项，故A错误； 对于B，令，则， 所以所有项的系数之和为，故B正确； 对于CD，由， 则其展开式的通项， 令，解得，则含的项的系数为，故C正确； 令，该方程无整数解，则展开式中无常数项，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）__________． 【答案】 【解题思路】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【解答过程】因为． 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，．则__________． 【答案】0 【解题思路】利用赋值法，分别令 、令即可得答案. 【解答过程】在中， 令可得， 令可得， 所以 故答案为：0. 14．（5分）（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解 【解答过程】根据题意，可分为三类： ①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有（种）； ②选两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置，不同的安排方案有（种） ③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位置，不同的安排方案有（种）． 由分类计数原理得，不同的安排方案种数为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·河南郑州·月考）计算下列各式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据排列数公式计算即可. （2）根据组合数公式计算即可. （3）根据组合数的性质计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 16．（15分）（25-26高二下·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 【答案】(1)常数项为60，是第5项 (2)，，60， 【解题思路】（1）根据二项式展开式通项公式求解即可. （2）根据展开式通项公式，有理项即，求出值依次代入即可. 【解答过程】（1）该二项式展开式中的通项公式为 . 令，则， 所以常数项是第5项，为. 所以展开式中的常数项为60，是第5项. （2）由（1）知，通项公式为. 令，则. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以展开式中的所有有理项为：，，60，. 17．（15分）（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】(1)216 (2)120 (3)90 【解题思路】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． （2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． （3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 18．（17分）（25-26高二下·河北沧州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值． （3）由（1）得到，两边求导，再令，即可求解. 【解答过程】（1）解：由组合数的计算公式，可得， 即，解得或（舍去）． （2）解：二项式展开式的通项公式为， 由 二项式展开式中的系数为, 当为偶数时，；当为奇数时， 令，可得， 令，可得，即， 所以． （3）解：由（1）知，可得 两边求导得 可得， 令，代入得， 所以． 19．（17分）（24-25高二下·湖北武汉·期中）为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 【答案】(1)210 (2)2100 (3)259200 【解题思路】（1）将11个名额看成11个相同的小球，排成一排后，有10个空位，利用隔板法分析可得答案； （2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式分析可得答案； （3）根据题意相邻元素捆绑，不相邻元素插空法，由分步计数原理计算可得答案． 【解答过程】（1）将校足球队的个名额分到7个班级，每个班级至少个名额， 问题等价于将个完全相同的小球分7组，每组至少一个小球， 由隔板法可知，不同的分配方法种数为． （2）将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人， 则不同的方法种数为种. （3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排， 然后将、、、四人进行插空， 所以，不同的排法种数为种． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽亳州·期末）若，则（    ） A．2或6 B．2或3 C．3 D．6 2．（5分）（25-26高二下·全国·课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 3．（5分）（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 4．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 5．（5分）（24-25高二下·山东·月考）若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 6．（5分）（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 7．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 8．（5分）（25-26高二下·黑龙江·开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·江苏连云港·期末）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（    ） A．180个无重复数字的三位数 B．75个无重复数字且为奇数的三位数 C．30个无重复数字且能被25整除的四位数 D．480个无重复数字且比1300大的四位数 11．（6分）（25-26高二·全国·假期作业）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．所有项的系数之和为1 C．含的项的系数为 D．常数项为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二下·全国·课后作业）__________． 13．（5分）（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知，．则__________． 14．（5分）（2026高二下·全国·专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·河南郑州·月考）计算下列各式． (1)； (2)； (3)． 16．（15分）（25-26高二下·江苏南京·月考）已知在的展开式中. (1)求展开式中的常数项，并指出是第几项； (2)求展开式中的所有有理项. 17．（15分）（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 18．（17分）（25-26高二下·河北沧州·月考）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 19．（17分）（24-25高二下·湖北武汉·期中）为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选11名球员组建校足球队. (1)若将校足球队的11个名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，问有多少种分配方法？ (2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他10名队员，进行分组训练.若其中一组4人，另外两组每组3人，问有多少种不同的分组方式？ (3)比赛入场式时工作人员会为11名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？ 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $