专题02 期中真题百练通关（78题26大常考题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材苏科版

专题02 期中真题百练通关（78题26大常考题型） 题型1 同底数幂的乘法 题型14 利用平移解决实际问题 题型2 幂的乘方与积的乘方 题型15 尺规作垂直平分线 题型3 同底数幂的除法 题型16 根据轴对称的性质求解 题型4 幂的混合运算 题型17 对称轴问题 题型5 由幂的运算求出字母之间的数量关系 题型18 镜面对称问题 题型6 单项式乘法及其应用 题型19 旋转的性质求解 题型7 多项式乘法计算 题型20 在方格纸补画图形使之成为中心对称图形 题型8 多项式乘法的化简求值计算 题型21 二元一次方程的定义与解 题型9 整式乘法混合运算 题型22 二元一次方程组的解法 题型10 乘法公式计算结果辨析问题 题型23 二元一次方程组的错解复原问题 题型11 乘法公式的变形求值 题型24 已知二元一次方程组的解求参数 题型12 乘法公式在几何图形中的应用 题型25 方程组的相同解问题 题型13 图形的平移、轴对称、旋转现象 题型26 方程组的方案、分配和利润问题 题型一 同底数幂的乘法（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则___________． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，则___________；___________； (2)若，求，的值； (3)若，求的值． 题型二 幂的乘方与积的乘方（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若为正整数，且，求的值． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求值： (1)已知，求x的值． (2)已知，求x的值． 6．（25-26七年级下·江苏·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 题型三 同底数幂的除法（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则_____． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，求． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 题型四 幂的混合运算（共3小题） 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）计算： 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 题型五 由幂的运算求出字母之间的数量关系（共3小题） 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 14．（2024七年级下·江苏·期中）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 15．（2024七年级下·江苏·期中）已知，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ___________． 题型六 单项式乘法及其应用（共3小题） 16．（25-26七年级下·陕西安康·期中）计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·期中） 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 题型七 多项式乘法计算（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，则___________． 20．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则_______． 21．（24-25七年级下·江西吉安·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 题型八 多项式乘法的化简求值计算（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）当时，代数式的值为________． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 24．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型九 整式乘法混合运算（共3小题） 25．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 26．（2024七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 27．（2024七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型十 乘法公式计算结果辨析问题（共3小题） 28．（24-25七年级下·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 30．（2024·江苏常州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一 乘法公式的变形求值（共3小题） 31．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，，，那么式子的值为______． 33．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，求： (1)； (2)． 题型十二 乘法公式在几何图形中的应用（共3小题） 34．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 35．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 36．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 题型十三 图形的平移、轴对称、旋转现（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 39．（2026七年级下·江苏·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 利用平移解决实际问题（共3小题） 40．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 42．（24-25七年级下·河南安阳·期中）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 题型十五 尺规作垂直平分线（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某地要修建一个加油站，其设计要求是加油站到两个小镇的距离相等，且到两条公路的距离也相等．请在图中确定加油站的位置． 44．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）尺规作图：如图，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 45．（25-26七年级下·江苏南京·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 题型十六 根据轴对称的性质求解（共3小题） 46．（2022八年级·江苏无锡·竞赛）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 题型十七 对称轴问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 50．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 51．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十八 镜面对称问题（共3小题） 52．（2023七年级下·江苏·期中）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 53．（16-17七年级下·江苏无锡·期中）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    54．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 题型十九 旋转的性质求解（共3小题） 55．（25-26七年级下·云南昆明·期中）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 56．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是_____． 57．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 题型二十 在方格纸补画图形使之成为中心对称图形（共3小题） 58．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 59．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，都是由全等的边长为1的小等边三角形构成的网格，图中阴影部分是由若干个小等边三角形构成的，请分别按下列要求设计图案：    (1)在图1中画出将阴影部分图形沿某一方向平移3个单位长度后的图形，要求各顶点仍在格点上． (2)在图2中再任意给两个小等边三角形涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形．（只需画出符合条件的一种情形） (3)在图3中画出将阴影部分图形绕点O按顺时针方向旋转后的图形． 60．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图（1）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图（2）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图（3）中选取2个小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形（请选用两种不同的方案，分别填在图（3）两个图形中）． 题型二十一 二元一次方程的定义与解（共3小题） 61．（24-25七年级下·山东东营·期中）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 62．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（　　） A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝ 63．（24-25七年级下·全国·期中）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为______． 题型二十二 二元一次方程组的解法（共3小题） 64．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 65．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 66．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）解方程组： (1) (2) 题型二十三 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 67．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 68．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 69．（24-25七年级下·河南周口·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． (1)求出方程组正确的解； (2)计算的值． 题型二十四 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 70．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 71．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 72．（24-25七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 题型二十五 方程组的相同解问题（共3小题） 73．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 74．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 75．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 题型二十六 方程组的方案、销售和利润问题（共3小题） 76．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 77．（2024七年级下·江苏·期中）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 78．（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列乘法公式的运用中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 4．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 5．若，满足方程组，则的值为______． 6．已知是一个关于x的完全平方式，则常数__________． 7．已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 8．在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的纸，如图，他先将纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为；再沿过点E的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点G，折痕为．已知，则的度数为___________ ． 9．已知，求： (1)的值； (2)的值． 10．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（78题26大常考题型） 题型1 同底数幂的乘法 题型14 利用平移解决实际问题 题型2 幂的乘方与积的乘方 题型15 尺规作垂直平分线 题型3 同底数幂的除法 题型16 根据轴对称的性质求解 题型4 幂的混合运算 题型17 对称轴问题 题型5 由幂的运算求出字母之间的数量关系 题型18 镜面对称问题 题型6 单项式乘法及其应用 题型19 旋转的性质求解 题型7 多项式乘法计算 题型20 在方格纸补画图形使之成为中心对称图形 题型8 多项式乘法的化简求值计算 题型21 二元一次方程的定义与解 题型9 整式乘法混合运算 题型22 二元一次方程组的解法 题型10 乘法公式计算结果辨析问题 题型23 二元一次方程组的错解复原问题 题型11 乘法公式的变形求值 题型24 已知二元一次方程组的解求参数 题型12 乘法公式在几何图形中的应用 题型25 方程组的相同解问题 题型13 图形的平移、轴对称、旋转现象 题型26 方程组的方案、分配和利润问题 题型一 同底数幂的乘法（共3小题） 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，则___________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法运算法则，将 转化为 后代入已知条件计算 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：6． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，则___________；___________； (2)若，求，的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)1， (2)， (3)64 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、有理数的乘方，正确理解新运算的法则是解题关键． （1）根据，利用新运算的法则计算即可得；根据新运算的法则可得，由此即可得； （2）根据可求出，再根据新运算的法则计算即可得； （3）根据代入计算可得，从而可得，再根据新运算的法则计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 故答案为：1，． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ． （3）解：， ∵， ∴， ∴， 将代入得：， ∴． 题型二 幂的乘方与积的乘方（共3小题） 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若为正整数，且，求的值． 【答案】 【分析】用幂的乘方法则将原式变形为，然后代入求值计算． 【详解】解：， ． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）求值： (1)已知，求x的值． (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则可得，再根据指数相等得出答案； （2）将原式整理为，即可得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 题型三 同底数幂的除法（共3小题） 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则_____． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则，将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知，，求． 【答案】27 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂除法运算，同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据，得出，整理得出，得出，然后再将进行变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 9．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）若，求的值； （2）若，其中，是正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，二元一次方程组的解．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的除法进行计算，根据已知得出，再代入即可求解． （2）根据同底数幂的乘方进行计算，得出，根据，是正整数得出的值，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ （2）∵ ∴， ∴， ∵，是正整数 ∴ 当时， 当时， ∴的值为或 题型四 幂的混合运算（共3小题） 10．（24-25七年级下·福建泉州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5) (6) 【分析】（1）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （3）先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行有理数的混合运算即可； （4）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【点睛】本题考查幂的混合运算和有理数的混合运算．涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方．掌握各运算法则是解题关键． 题型五 由幂的运算求出字母之间的数量关系（共3小题） 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 14．（2024七年级下·江苏·期中）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 15．（2024七年级下·江苏·期中）已知，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ___________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的运算法则来求解即可． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的运算法则，熟练掌握同底数幂的乘法是解决本题的关键． 题型六 单项式乘法及其应用（共3小题） 16．（25-26七年级下·陕西安康·期中）计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解： 故选A． 17．（25-26七年级下·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么__，__，___． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 18．（24-25七年级下·江苏泰州·期中） 探究不同拼图方式下剩余图形面积大小问题 背景 如图①是宽为a，长为的小长方形纸片，现有3张这样的小长方形纸片，不重叠地放在可伸缩的长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示 素材1 小华同学按图②的方式得出阴影部分的面积为． 素材2 小明同学按图③的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． 素材3 小刚同学按图④的方式得到阴影部分，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S． 问题解决 任务1 用含有a，b的代数式分别表示，． 任务2 请比较与的大小关系，并说明理由． 任务3 当的长度变化时，S的值能否始终保持不变．若能，求出a与b之间的数量关系；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：，；任务2：当时，，当时，，当时，；任务3： 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用： 任务1：分别表示出图②中阴影部分的长和宽即可得到答案；分别表示出图②中右下角和左上角阴影部分的面积，再作差即可得到答案； 任务2：利用作差法求出，据此讨论求解即可； 任务3：先求出，再推出，根据S不变可得． 【详解】解：任务1：由题意得，， 如图③所示，，， ∴； 任务2：当时，，当时，，当时，，理由如下： ， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则； 任务3：如图④所示，∵， ∴， ， ， ∵始终保持不变， ∴， ∴． 题型七 多项式乘法计算（共3小题） 19．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，，则___________． 【答案】3 【分析】先将代数式展开，再代入和计算结果． 【详解】原式 ， ∵，， ∴原式． 20．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则_______． 【答案】3 【分析】利用多项式乘以多项式化简等式的左边，根据恒等式的意义，构造方程，逐一解答计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 21．（24-25七年级下·江西吉安·期中）回答下列问题： (1)计算： ①_________； ②________； ③____________； ④_________． (2)总结公式________ (3)已知均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)或6 【分析】（1）根据多项式乘多项式运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式求解即可； （3）运用（2）所得规律可得，再结合均为整数即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：、、、． （2）解：由， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，均为整数， ∴当，则；当，则． ∴的可能值为或6． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、探究多项式乘以多项式的规律并应用规律等知识点，正确掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 题型八 多项式乘法的化简求值计算（共3小题） 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 24．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】5 【分析】直接利用合并同类项法、完全平方公式、平方差公式展开化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ 原式． 【点睛】此题主要考查了整式的加减—化简求值，涉及到完全平方公式及平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型九 整式乘法混合运算（共3小题） 25．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 26．（2024七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 27．（2024七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）本题主要考查整式运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键； （1）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． （2）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式加单项式的运算法则计算即可． （3）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据整式乘法的运算法则计算即可． 解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 题型十 乘法公式计算结果辨析问题（共3小题） 28．（24-25七年级下·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式具有以下特征：①左边是两个数的和或差的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符号与左边的运算符号相同． 根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； C、，，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选B． 29．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； B、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； C、，不能用平方差公式，故该选项不正确，不符合题意； D、，能用平方差公式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 30．（2024·江苏常州·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．根据公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型十一 乘法公式的变形求值（共3小题） 31．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知，则计算的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题可通过换元法结合完全平方公式的变形进行求解，利用完全平方公式中平方和与乘积的关系转化计算． 【详解】解：设， ∵，且 又∵ ∴ 即 移项得 ∴ 即 故选：C． 32．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，，，那么式子的值为______． 【答案】 【分析】利用恒等式将原式转化为平方和的形式，结合，，计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，，， ， ∴原式． 33．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得到，再代入计算即可求解； （2）利用（1）得，利用完全平方公式变形，代入计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，又由（1）知：， ∴ ． 题型十二 乘法公式在几何图形中的应用（共3小题） 34．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张， 面积为， 小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为， 还需4张丙纸片，即， 故选：A． 35．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）图形可以形象直观显示数量关系．根据图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式： ． (2)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则 ． (3)如图4，是个边长分别为、、的直角三角形和个边长为的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系推导出、、的数量关系式． (4)如图5，直角中，，，，点是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将大正方形的面积拆分为3个小正方形和6个长方形的面积，据此写出恒等式； （2）将展开，根据结果判断、、的值，再求和即可； （3）将大正方形的面积分为1个小正方形和4个直角三角形，写出等式，化简后得到结果； （4）由（3）的结论可计算出，结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用面积法求出此时的长即可． 【详解】（1）解：由图可知，恒等式为； （2）解：， ∴需要张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片， ∴，，， ∴； （3）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为， ∴， ∴； （4）解：由（3）可知，直角中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时， ∴的最小值为． 36．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题． (1)已知求的值； (2)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和求图中阴影部分的面积； (3)若求的值． 【答案】(1)22 (2)2 (3)52 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可； （3）先求出的值，再利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：设， 则：， ∴， ∴，即阴影部分的面积为2； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十三 图形的平移、轴对称、旋转现（共3小题） 37．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形（沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后能与自身重合）的定义． 根据轴对称图形定义判断各选项是否为轴对称图形；依据中心对称图形定义判断各选项是否为中心对称图形；筛选出同时满足两种对称特征的选项． 【详解】选项A：该图形沿某条直线折叠后直线两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，因此A既是轴对称图形又是中心对称图形． 选项B：该图形是轴对称图形，但绕任一点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项C：该图形是轴对称图形，但绕任一点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项D：该图形绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，但不存在一条直线使图形沿其折叠后完全重合，不是轴对称图形． 故选：A． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）下列图形中，通过翻折、旋转都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、旋转的性质，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项不符合题意； B、图形只能通过旋转变换得到，所以B选项不符合题意； C、图形可以通过上下翻折、左右翻折得到，也可以通过旋转变换得到，所以C选项符合题意； D、图形可以通过左右翻折得到，但不能通过旋转变换得到，所以D选项不符合题意． 故选：C． 39．（2026七年级下·江苏·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此即可判断． 【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 题型十四 利用平移解决实际问题（共3小题） 40．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 41．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 42．（24-25七年级下·河南安阳·期中）图形操作：（本题图1、图2、图3中的长方形的长均为10个单位长度，宽均为5个单位长度） 在图1中，将线段AB向上平移1个单位长度到，得到封闭图形AA'B'B（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫做折线ABC的一个“折点”）向上平移1个单位长度到折线，得到封闭图形AA'B'C'CB（阴影部分）． 问题解决： (1)在图3中，请你类似地画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影部分： (2)设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为、，则= 平方单位；并比较大小： （填“＞”“＝”或“＜”）； (3)联想与探索：如图4．在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1个单位长度），长方形的长为a，宽为b，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方单位．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1)见解析过程； (2)40，=； (3)（ab-a） 【分析】（1）画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形AA'B'C'D'DCB； （2）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10个单位，宽为4个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为（b-1）个单位的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA'B'C'D'DCB即为所求； （2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S1、S2， 则S1=10×（5-1）=10×4=40平方单位； S2=10×（5-1）=10×4=40平方单位； ∴S1=S2， 故答案为：40，=； （3）如图4，长方形的长为a，宽为b，小路的宽度是1个单位长度， ∴空白部分表示的草地的面积是a（b-1）=（ab-a）平方单位． 故答案为：（ab-a）． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积． 题型十五 尺规作垂直平分线（共3小题） 43．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某地要修建一个加油站，其设计要求是加油站到两个小镇的距离相等，且到两条公路的距离也相等．请在图中确定加油站的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，作射线平分，连接，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 44．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）尺规作图：如图，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 作的平分线和的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】解：如图，点为所作． 45．（25-26七年级下·江苏南京·期中）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边找一点，使得点到边距离相等； (2)如图2，找一点，使得点到的三个顶点距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图—角平分线的作法、作图—线段垂直平分线的作法： （1）作出的角平分线，要求的点为该角平分线与的交点； （2）作出三角形任意两边的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图： 以为圆心画圆弧与分别交于，以分别为圆心，的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接并延长交于，点即为所求； （2）解：如图： 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 以为圆心，大于的长度为半径画圆弧，两圆弧交于，连接； 和交于即为所求点． 题型十六 根据轴对称的性质求解（共3小题） 46．（2022八年级·江苏无锡·竞赛）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质得出求出，再求出答案即可． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上．点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ， ， ． 47．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 题型十七 对称轴问题（共3小题） 49．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 50．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 51．（25-26九年级上·江苏南京·期中）下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的对称轴以及对称轴之间的位置关系．涉及到正多边形对称轴的数量和性质等知识点．解题关键在于准确掌握不同正多边形对称轴的特点，通过分析对称轴的位置来判断是否存在互相垂直的情况．依次分析每个正多边形对称轴的情况，判断是否存在互相垂直的对称轴．对于正多边形，其对称轴是通过正多边形的中心和顶点或者边的中点的直线．根据正多边形的性质，确定其对称轴的数量和位置关系，进而判断是否有互相垂直的对称轴． 【详解】解：①正三角形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ②正四边形（正方形）有条对称轴，其中两条对角线互相垂直，故存在互相垂直的对称轴，符合题意； ③正五边形有条对称轴，相邻对称轴夹角为，不垂直，故不符合题意； ④正六边形有条对称轴，方向间隔（如、、、等），其中（通过顶点）与（通过边中点）的对称轴夹角为，垂直，符合题意． 综上所述：满足条件的图形是②正四边形和④正六边形，共2个． 故选：B． 题型十八 镜面对称问题（共3小题） 52．（2023七年级下·江苏·期中）有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 53．（16-17七年级下·江苏无锡·期中）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是______．    【答案】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 54．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是________． 【答案】50281 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，属于左右对称；据此分析并作答. 【详解】根据镜面对称的性质，镜面对称在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是50281． 故答案为50281. 【点睛】本题主要考查了对称性质，熟悉掌握对称的性质是关键. 题型十九 旋转的性质求解（共3小题） 55．（25-26七年级下·云南昆明·期中）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知，，又知，即可得出的度数． 【详解】解：根据题意知，，由旋转知， ∴． 故答案为：． 56．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ， ， 的长是：． 故答案为：2． 57．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，旋转角度为 (2) 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 题型二十 在方格纸补画图形使之成为中心对称图形（共3小题） 58．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答． (1)在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）． (2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性． 【答案】(1)②④⑥ (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． （1）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此求解即可； （2）把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此设计图案即可． 【详解】（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形； （2）解：如图所示，即为所求； 59．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，都是由全等的边长为1的小等边三角形构成的网格，图中阴影部分是由若干个小等边三角形构成的，请分别按下列要求设计图案：    (1)在图1中画出将阴影部分图形沿某一方向平移3个单位长度后的图形，要求各顶点仍在格点上． (2)在图2中再任意给两个小等边三角形涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形．（只需画出符合条件的一种情形） (3)在图3中画出将阴影部分图形绕点O按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）画出将阴影部分图形沿右平移3个单位长度后的图形即可； （2）把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则该图形是中心对称图形； （3）将阴影部分的图形每个顶点均绕点O按顺时针方向旋转即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示： 以下情形之一即可．    或   或   （3）解：如图所示：    【点睛】本题考查了平移、旋转作图，补图使原图形成为中心对称图形．关键是掌握图形变换的定义． 60．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图（1）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图（2）中选取1个小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形； (3)在图（3）中选取2个小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形（请选用两种不同的方案，分别填在图（3）两个图形中）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称定义，在第一行第二列涂上阴影或在第三行第二列涂上阴影或在第一行第三列涂上阴影即可； （2）根据中心对称定义，在第一行第三列涂上阴影或在第三行第三列涂上阴影即可； （3）在第一行第二列，第二行、第三列涂上阴影或在第一行、第一列，第三行、第三列涂上阴影或在第一行、第三列，第三行、第一列涂上阴影即可． 【详解】（1）解：画出下列其中一种即可． （2）解：画出下列其中一种即可． （3）解：画出下列其中两种即可． 【点睛】本题主要考查作轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键． 题型二十一 二元一次方程的定义与解（共3小题） 61．（24-25七年级下·山东东营·期中）二元一次方程的正整数解有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案． 【详解】解：由得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴二元一次方程的正整数解有3组， 故选：C． 62．（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（　　） A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝ 【答案】A 【分析】根据二元一次方程定义可得2m﹣1＝1，n+2＝1，再解即可． 【详解】解：由题意得：2m﹣1＝1，n+2＝1， 解得：m＝1，n＝﹣1， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程需满足三个条件是解题的关键：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 63．（24-25七年级下·全国·期中）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 题型二十二 二元一次方程组的解法（共3小题） 64．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组即可； （2）将第一个方程去分母化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴原方程组的解为． （2）解：， 去分母得，整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴原方程组的解为． 65．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 66．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴原方程的解为； （2）解：原方程可化为， ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∴原方程的解为． 题型二十三 二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 67．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】把甲的结果代入方程组第一个方程与第二个方程，将乙的结果代入第一个方程，求出与，的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程组第二个方程得：， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 68．（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 69．（24-25七年级下·河南周口·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m，得到方程组的解为．乙看错了方程②中的n，得到的方程组的解为． (1)求出方程组正确的解； (2)计算的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解方程的解满足方程是解答的关键． （1）根据题意得到，进而求得m、n值，然后代入原方程组中解方程组即可； （2）将求得的m、n代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， ∴原方程组为， 得， 将代入①中，得， ∴原方程组的解为； （2）解：将代入中，得 ． 题型二十四 已知二元一次方程组的解求参数（共3小题） 70．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 71．（25-26七年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 72．（24-25七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 题型二十五 方程组的相同解问题（共3小题） 73．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 74．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组同解得问题，解一元二次方程组，代数式求值，根据给出的方程组同解，联立即可求得，代入即可求出a，b的值，进而代入得出结果． 【详解】解：方程组与有相同的解， 联立得，解得， 将代入，得， 解得 则． 75．（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 题型二十六 方程组的方案、销售和利润问题（共3小题） 76．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，销售完这批电风扇利润能超过1850元，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是正整数， ∴a的值是36，37， ∴该超市有两种采购方案：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 77．（2024七年级下·江苏·期中）2022杭州亚运会吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”，某厂家需要制作吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”三个为一组的礼盒套装若干套． 已知甲、乙、丙三个小组每天可完成的数量如下： 琮琮个 莲莲个 宸宸个 甲组 15 10 乙组 25 10 丙组 5 10 20 (1)如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配 个套装． (2)若现已有20个琮琮，厂家还需安排甲组工作天，乙组工作天，恰好可以搭配成若干个套装． ①请填写下表：（用，的代数式表示） 琮琮个 莲莲个 宸宸个 ②结合上表，列方程组，求一共可以搭配多少个套装？ (3)若现已有100个琮琮，甲、乙两组分别生产天，天后被委派其他任务，此时该工作由丙组接替完成，要使吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，则甲组至少要生产 天，共可搭配 个套装． 【答案】(1)45 (2)①；；②一共可以搭配200个套装 (3)8；240 【分析】（1）分别求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量，结合套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个，即可得出最多能搭配45个套装； （2）①利用生产总量生产效率生产时间，即可用含，的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量； ②根据恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸，根据已有的和生产的吉祥物恰好可以搭配成若干个套装，可得出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，结合，均为正整数，可得出的最小值，代入后可得出值，将，值代入方程①中可求出值，再将其代入中，即可求出搭配套装数． 【详解】（1）解：生产琮琮的数量为（个， 生产莲莲的数量为（个， 生产宸宸的数量为（个， ，且套装中含吉祥物琼琼、莲莲、宸宸各一个， 如果安排甲组生产3天．乙组生产2天，最多能搭配45个套装． 故答案为：45； （2）①根据题意得：生产莲莲个，宸宸个． 故答案为：；； ②根据题意得：， 解得：， ． 答：一共可以搭配200个套装； （3）设丙组生产天，则生产琮琮个，莲莲，宸宸， 根据题意得：， 即， 方程①②得：， ． 又，均为正整数， 当时，取得最小值，最小值， 将，代入方程①得：， 解得：， ， 甲组至少要生产8天，共可搭配240个套装． 故答案为：8；240． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出生产琼琼、莲莲、宸宸的数量；（2）①根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出生产莲莲、宸宸的数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组． 78．（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元 (2)共有3种进货方案 (3)当，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关系式是解题的关键． （1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于a的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到m的值，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元： 由题意：，                       解得，                                     答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元； （2）解：设购进甲款笔记本本．则：                               解得：． 的正整数解为30，31，32． 共有3种进货方案； （3）解：设购进甲款笔记本本，则总获利为： ． ∵使（2）中所有的方案获利相同， ∴， 即当，（2）中所有方案获利相同． 1．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意． 2．下列乘法公式的运用中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】熟练掌握两个公式的结构特征，逐项计算判断即可得到正确结果． 【详解】解：A、，错误． B、，错误． C、，正确． D、，错误． 3．已知，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【分析】先求出两个式子的差，再将所求代数式变形为含已知条件的形式，代入计算即可． 【详解】解：设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴ 将，代入得，． 4．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 5．若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 6．已知是一个关于x的完全平方式，则常数__________． 【答案】4或/或4 【分析】根据完全平方公式，对比完全平方式的结构即可列方程求出常数的值． 【详解】解：是关于的完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得． ∴或4． 7．已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 8．在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的纸，如图，他先将纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为；再沿过点E的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点G，折痕为．已知，则的度数为___________ ． 【答案】/56度 【分析】由题意可知，而，进而可求的度数． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ． 9．已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 两式相加得：， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴． 10．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $