小升初奥数专题：式与方程（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初奥数专题：式与方程-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．小虎把12×（□＋0.8），算成了12×□＋0.8，他的计算结果与正确结果（    ）。 A．相差12 B．相差9.6 C．相差8.8 D．一样大 2．一座5层塔共挂了62盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯。 A．2 B．3 C．5 D．7 3．已知△＋△＋△＝★，★＋★＋★＝□＋□，则△∶□是（    ）。 A．3∶2 B．1∶9 C．2∶3 D．2∶9 4．如果，那么与相比，（    ）。 A．一定小于 B．可能大于，可能小于，还可能等于 C．一定大于 D．不可能等于 5．数M、N在直线上的位置如图所示。M×N的位置可能在（    ）。 A．点E处 B．点F处 C．点G处 D．点H处 6．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（    ）。 A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 7．一个最简分数的分子、分母之和是50，如果把这个分数的分子、分母同时减去5，所得分数的值是，原来的分数是（    ）。 A． B． C． D． 8．诗词中也蕴含着数学问题，如“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。”问壶中原来有多少酒？设壶中原来有x斗酒，可列方程为（    ）。 A．2[2（2x－1）－1]－1＝0 B．2（2x－1）－1＝0 C．2（2x－1）－1－1＝0 D．2x－1－1－1＝0 二、填空题 9．两个连续自然数的倒数的和为，则a为( )，这两个连续自然数的倒数的差是( )。 10．已知质数m、n满足5m＋7n＝129，则2009－m－n＝( )。 11．有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是( )。 12．学校舞蹈队有x人，合唱队的人数是舞蹈队的2.4倍，合唱队有( )人，舞蹈队和合唱队一共有( )人。当x＝30时，合唱队比舞蹈队多( )人。 13．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起12公顷，那么菜地是( )公顷。 14．在原始社会，人们使用以物易物的方式，交换自己所需要的物资，比如：狩猎得到的1只羊可以换1把石刀和1把石矛，而2把石刀可以换5个贝壳，1把石矛可以换10个贝壳，5个贝壳可以换12个果子，那么1只羊可以换( )个果子。 15．两个数相差4，如果被减数扩大2倍，减数不变，差就增加150%，原来减数是( )。 16．漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画、画中有景的艺术效果。下面是“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个。按照这样的规律设计，第6幅图有( )个正八边形，第n幅图有( )个正八边形。 三、解答题 17．爸爸今年48岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍。当妹妹长到哥哥现在的年龄时，爸爸的年龄恰好是兄妹俩的年龄和，哥哥今年多少岁？（列方程解答） 18．秋假期间，家长和孩子们参加劳动实践活动，“丰收组”和“勤耕组”两个小组共有48人。如果“丰收组”抽调的人加入“勤耕组”进行劳动，那么两个小组的人数就会变得相同。两个小组原来各有多少人？ 19．淅川万悦汇玩具柜台搞促销活动：买一个玩具车赠送一个玩具人偶。每个玩具车35元，每个玩具人偶4.5元。李老师在这家商店买了3个玩具车和一些玩具人偶，总共花费132元，李老师最终得到多少个玩具人偶？（列方程解答） 20．在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 21．甲、乙、丙三辆汽车同时从A地出发去B地。甲、乙两车的速度分别为每小时66千米和每小时50千米。有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的4小时、5小时、8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。 22．小红和小明共有80颗珠子，小红分了给小明，然后小明又分了给小红，此时两人的珠子数量相等，小红原来有多少颗珠子？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初奥数专题：式与方程-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B A C C A 1．C 【分析】我们设□为一个数，记作x，然后把式子的正确算法和小虎的错误算法分别算出来，然后两者相减就可得到答案。 【详解】12×（x＋0.8） ＝12x＋12×0.8 ＝12x＋9.6 12×x＋0.8 ＝12x＋0.8 （12x＋9.6）－（12x＋0.8） ＝12x＋9.6－12x－0.8 ＝8.8 2．A 【分析】设顶层有x盏灯，则各层灯数依次为x、2x、4x、8x、16x，相加表示出总灯数，列方程为x＋2x＋4x＋8x＋16x＝62，先化简，再根据等式的性质求出x的值即可。 【详解】解：设塔的顶层有x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＝62 3x＋4x＋8x＋16x＝62 7x＋8x＋16x＝62 15x＋16x＝62 31x＝62 31x÷31＝62÷31 x＝2 塔的顶层有2盏灯。 3．D 【分析】先把★用△表示，再代入第二个等式，把所有量都换成△和□，最后直接整理出△和□的比。 【详解】从第一个等式△＋△＋△＝★可以得出，★＝3△，也就是1个★等于3个△。 把★＝3△代入第二个等式★＋★＋★＝□＋□，得到3△＋3△＋3△＝2□，也就是9△＝2□。由9△＝2□可以推出△：□＝2：9。 故答案为：D 【点睛】重点考查用等量代换建立数量关系，再求比值。 4．B 【分析】比较2α与α²的大小关系，需考虑α的不同取值情况。当α＝1时，2α＝2，α²＝1，2α＞α²；当α＝2时，2α＝4，α²＝4，两者相等；当α＝3时，2α＝6，α²＝9，2α<α²。因此，2α可能大于、等于或小于α²。 【详解】存在的情况（如α＝1）。 存在的情况（如α＝3）。 存在的情况（如α＝2）。 所以2α可能大于α²、可能小于α²，还可能等于α²。 故答案为：B 【点睛】解决此类代数比较题，可以通过代入具体数值进行解题。 5．A 【分析】从直线上的位置可知，M和N都是大于0且小于1的数。根据乘法性质，两个小于1的数相乘，积会比其中每个因数都小。M和N都在0到1之间，且M＜N，因此M×N＜M。观察直线上的点，只有点E的位置在M的左侧（即比M小），符合M×N的大小特征。据此解答。 【详解】M＜1，N＜1，且M＜N，因此M×N＜M。 观察直线上的点，只有点E的位置在M的左侧（即比M小），符合M×N的大小特征，所以M×N的位置可能在点E处。 故答案为：A 【点睛】解题关键是利用 “两个小于 1 的正数相乘，积比每个因数都小” 的数学规律，结合直线上M、N的位置（均为 0 到 1 之间的数），分析M×N的大小范围，从而确定其在直线上的位置。 6．C 【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可。 【详解】由题意得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 解不等式③得，， 所以，x的取值范围是。 故答案为：C 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键。 7．C 【分析】设把这个分数的分子、分母同时减去5后，所得的分数为；则原来最简分数的分子是，分母是，据此列方程为，然后解出方程，进而求出原来的分数即可。 【详解】解：设把这个分数的分子、分母同时减去5后，所得的分数为。 原来的分数是。 故答案为：C 【点睛】本题可根据分数的基本性质以及最简分数的定义解答，用列方程解决问题更简便。 8．A 【分析】第一次遇店和见花后壶中酒的数量：遇店加一倍：壶中原来有x斗酒，遇店后酒变为2x斗。见花喝一斗：遇店后又见花，此时酒变为（2x－1）斗。 第二次遇店和见花后壶中酒的数量：遇店加一倍：在第一次遇店和见花后酒有（2x－1）斗的基础上，遇店后酒变为2（2x－1）斗。见花喝一斗：遇店后又见花，此时酒变为[2（2x－1）－1]斗。 第三次遇店和见花后壶中酒的数量：遇店加一倍：在第二次遇店和见花后酒有[2（2x－1）－1]斗的基础上，遇店后酒变为2[2（2x－1）－1]斗。见花喝一斗：遇店后又见花，此时酒变为{2[2（2x－1）－1]－1}斗，而最后喝光了壶中酒，即此时酒的数量为0。 【详解】第一次：壶中原来有x斗酒，遇店后酒变为2x斗。遇店后又见花，酒变为（2x－1）斗。 第二次：在酒有（2x－1）斗的基础上，遇店后酒变为2（2x－1）斗。遇店后又见花，酒变为[2（2x－1）－1]斗。 第三次：在酒有[2（2x－1）－1]斗的基础上，遇店后酒变为2[2（2x－1）－1]斗。然后酒变为{2[2（2x－1）－1]－1}斗，最后喝光了壶中酒，即此时酒的数量为0，即2[2（2x－1）－1]－1＝0。 所以可列方程为2[2（2x－1）－1]－1＝0。 故答案为：A 【点睛】能充分理解题意，能用字母表示较复杂的数量关系。 9． 132 【分析】设两个连续的自然数分别为n和（n＋1），n的倒数是，（n＋1）的倒数是，这两个倒数的和为；令2n＋1＝23，根据等式的性质求出n，进而求出n＋1，再求出n（n＋1）的值，即为a的值。 分别写出两个数的倒数，计算倒数的差即可。 【详解】设两个连续的自然数分别为n和（n＋1） 2n＋1＝23 解：2n＋1－1＝23－1 2n＝22 2n÷2＝22÷2 n＝11 则n＋1＝11＋1＝12 n（n＋1）＝11×12＝132 因此，两个连续自然数的倒数的和为，则a为132，这两个连续自然数的倒数的差是。 【点睛】设连续的两个自然数为n和（n＋1），倒数分别为和，通分计算两个倒数的和为，再结合已知条件求出n的值，进而确定连续的两个自然数的值，再计算两个倒数的差。 10．1990或1984/1984或1990 【分析】5m＋7n＝129，5，7，129都是奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以m、n一定有1个是偶数2。设m＝2，解得n看是否为质数，若是质数，符合题意；设n＝2，解得m看是否为质数，若是质数，符合题意。将符合题意得m和n代入2009－m－n计算即可。 【详解】设m＝2，则5×2＋7n＝129。 5×2＋7n＝129 10＋7n＝129 10＋7n－10＝129－10 7n＝119 7n÷7＝119÷7 n＝17 因为m和n均为质数， 所以2009－m－n ＝2009－2－17 ＝2007－17 ＝1990 设n＝2，则5m＋7×2＝129。 5m＋7×2＝129 5m＋14＝129 5m＋14－14＝129－14 5m＝115 5m÷5＝115÷5 m＝23 因为m和n均为质数， 所以2009－m－n ＝2009－23－2 ＝1986－2 ＝1984 所以2009－m－n的值为1990或1984。 【点睛】本题重点在于满足等式，需要m和n有一个数为2才能满足质数m、n符合5m＋7n＝129，分成m＝2和n＝2，两种情况分别计算，进而判断是否符合m和n均为质数的情况，进而求得所求式子的值。 11．12 【分析】已知有四个数，设为a、b、c、d 。每三个数求和，会得到a＋b＋c、a＋b＋d、a＋c＋d、b＋c＋d这4个和，对应题目中的45、46、49、52 。 把这4个和相加，即（a＋b＋c）＋（a＋b＋d）＋（a＋c＋d）＋（b＋c＋d），整理后是3（a＋b＋c＋d） ，这说明4个和的总和是四个数总和的3倍。 所以先将4个和相加，再除以3，就能求出四个数的总和a＋b＋c＋d 。 要找最小的数，因为最大的“三个数的和”（52 ）是除最小数外其他三个数的和，所以用四个数的总和减去最大的三个数的和，结果就是最小数。 【详解】（45＋46＋49＋52）÷3 ＝192÷3 ＝64 64－52＝12 那么这四个数中最小的一个数是12。 【点睛】解题关键在于两点：一是发现 “四组每三个数的和相加，等于四个数总和的3倍”，以此求出四个数的总和；二是明确 “最大的三个数的和，对应的是除最小数外另外三个数的和”，用总和减去这个最大和，就能精准得到最小数，这两步逻辑紧密关联，是突破本题的核心思路。 12． 2.4x 3.4x 42 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法计算，用舞蹈队的人数乘2.4就是合唱队的人数；用舞蹈队的人数加上合唱队的人数即可求出两队一共有多少人；将x＝30代入分别算出两队的人数，再用合唱队的人数减去舞蹈队的人数即可。 【详解】x×2.4＝2.4x（人） x＋2.4x＝3.4x（人） 当x＝30时 2.4x－x ＝2.4×30－30 ＝72－30 ＝42（人） 学校舞蹈队有x人，合唱队的人数是舞蹈队的2.4倍，合唱队有2.4x人，舞蹈队和合唱队一共有3.4x人。当x＝30时，合唱队比舞蹈队多42人。 【点睛】本题主要考查用字母表示数及含字母的式子求值，根据题意把字母当做数，列式求解即可。 13．18 【分析】根据题意，设菜地的面积是公顷；由菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，用13公顷减去菜地的一半，即是麦地的，再除以，即是麦地的面积，用（13－）÷表示； 根据“麦地的一半和菜地的放在一起12公顷”可得出等量关系：麦地的面积×＋菜地的面积×＝12，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设菜地的面积是公顷。 （13－）÷×＋＝12 （13－）×3×＋＝12 13×3×－×3×＋＝12 －＋＝12 －（－）＝12 －（－）＝12 －＝12 ＝－12 ＝ ＝÷ ＝× ＝18 菜地是18公顷。 【点睛】本题考查列方程解决较复杂的实际问题，当有两个未知数时，要找出两个未知数之间的关系，并能用一个未知数表示出来，从题目中找出等量关系，根据等量关系列出方程。 14．30 【分析】根据题意，1羊＝1刀＋1矛，2刀＝5贝，1矛＝10贝，而5贝＝12果。依次换一换即可。 【详解】因为2刀＝5贝，5贝＝12果。所以2刀＝12果，1刀＝6果。 1矛＝10贝， 5贝＝12果。所以1矛＝24果。 1羊＝1刀＋1矛，6＋24＝30，1羊＝30果。 那么1只羊可以换30个果子。 【点睛】本题考查等量代换的问题，分别计算1把石刀和1把石矛可以换多少果子，就可知道一只羊可以换多少果子。 15．2 【分析】设减数为，则被减数是，由题意可知，把原来的差看作单位“1”，后来的差是，根据等量关系式：被减数的2倍－减数＝后来的差，据此列方程并求解即可。 【详解】解：设减数为，则被减数是。 两个数相差4，如果被减数扩大2倍，减数不变，差就增加150%，原来减数是2。 【点睛】根据被减数＝差＋减数，求比一个数多百分之几的数是多少，用乘法计算，找出等量关系式：被减数的2倍－减数＝后来的差，据此列方程解答即可。 16． 20 3n＋2 【分析】观察图形可知，第1幅图、第2幅图、第3幅图分别有5个、8个、11个正八边形，发现：每增加1幅图，正八边形的数量就增加3个，据此找出规律，并按规律解答。 【详解】第1幅图，有5个正八边形，5＝3×1＋2； 第2幅图，有8个正八边形，8＝3×2＋2； 第3幅图，有11个正八边形，11＝3×3＋2； …… 规律：第n幅图有（3n＋2）个正八边形。 当n＝6时 3n＋2 ＝3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 填空如下： 按照这样的规律设计，第6幅图有（20）个正八边形，第n幅图有（3n＋2）个正八边形。 【点睛】关键是从已知的图形或数据中找出规律，并用含字母的式子表示规律。 17． 24岁 【分析】设妹妹今年的年龄是岁，则哥哥今年的年龄是岁。当妹妹长到哥哥现在的年龄时，妹妹的年龄是岁，较今年长了（岁），那么哥哥的年龄就是岁，爸爸的年龄也长了岁，就是岁。再根据此时爸爸的年龄恰好是兄妹俩的年龄和列出方程，求出妹妹今年的年龄，从而求出哥哥今年的年龄。 【详解】解：设妹妹今年的年龄是岁，则哥哥今年的年龄是岁。 （岁） （岁） 答：哥哥今年岁。 18．“丰收组”有28人，“勤耕组”有20人 【分析】两个小组人数调整后人数相同，此时每组人数为（48÷2）人；设“丰收组”原来有x人，抽调x人后剩余的人数为（x－x）人，该人数等于调整后“丰收组”的人数，可列方程，解方程求出“丰收组”原有人数，由总人数减去“丰收组”人数，可得“勤耕组”人数。 【详解】解：设“丰收组”原有x人。 x－x＝48÷2 x＝24 x＝24÷ x＝24× x＝28 48－28＝20（人） 答：“丰收组”有28人，“勤耕组”有20人。 19．9个 【分析】由题意可知，李老师买了3个玩具车花费3×35＝105元，商家会赠送3个玩具人偶，因为李老师总共花费132元，所以还需要额外购买一些玩具人偶。根据“3个玩具车的费用＋额外购买的玩具人偶所需费用＝总共花费132元”这个等量关系，通过间接设未知数，即“设额外购买x个人偶”来列方程解答。 【详解】解：设额外购买x个人偶。 3×35＋4.5x＝132 105＋4.5x＝132 4.5x＝132－105 4.5x＝27 4.5x÷4.5＝27÷4.5 x＝6 总人偶个数：3＋6＝9（个） 答：李老师最终得到9个玩具人偶。 【点睛】明确题目中的等量关系是解题的关键，间接设未知数后，不要忘记求出直接未知数。 20．1020立方厘米；6厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【详解】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【点睛】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 21．26千米/小时 【分析】假设卡车的速度是x千米/小时，由题意知卡车在4小时时与甲车相遇，此时卡车行驶的路程和甲车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；卡车在5小时时与乙车相遇，此时卡车行驶的路程和乙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离；根据这个等量关系列方程求出卡车的速度以及卡车一开始距离A地的距离，再根据：卡车在8小时时与丙车相遇，此时卡车行驶的路程和丙车行驶的路程等于卡车一开始距离A地的距离，计算出丙车的速度即可。 【详解】解：设卡车速度x千米/小时。 卡车一开始距离A地： ＝80×4 ＝320（千米） 丙车的速度： ＝40－14 ＝26（千米/时） 答：丙车的速度是26千米每小时。 【点睛】相向而行同时出发，相遇时，则两车的速度和×时间＝两车一开始相距的距离。 22．25颗 【分析】设小红原来有x颗珠子，则小明原来有（80－x）颗珠子。小红分了给小明，此时小红有（）颗珠子，小明有（80－x＋）颗珠子。小明又分了给小红，此时小明有颗珠子，小红有颗珠子，二者相等，可列出方程，解出方程即可求得小红原来有多少颗珠子。 【详解】解：设小红原来有x颗珠子，则小明原来有（80－x）颗珠子。 答：小红原来有25颗珠子。 【点睛】设小红原来有x颗珠子，则小明原来有（80－x）颗珠子。小红分了给小明，用字母表示出此时小红分出之后的珠子数，小明收到小红的后的珠子数。小明又分了给小红，用字母表示出小明分出后的珠子数，小红收到小明的后的珠子数，二者相等，列出方程，解出方程即可。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $