专题02 实数（期中复习课件）七年级数学下学期新教材人教版

这是一份人教版初中数学七年级下学期的期中复习课件，围绕“实数”专题构建“考情分析-知识梳理-题型突破-分层验收”的学习支架，涵盖平方根、算术平方根、立方根、实数运算等核心考点，配套典例及变式训练。 资料以核心素养为导向，通过考情规律分析明确复习目标，结合“解题技巧+易错点拨”突破重难题型，如立方根小数点规律探究培养抽象能力，非负数性质应用提升推理意识，分层验收题满足不同学情需求，助力教师精准教学，帮助七年级学生夯实基础、提升解题能力，适应初中数学学习。

专题02 实数 七年级数学下学期 期中复习大串讲 人教版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 平方根 知识点01 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于,即，那么叫做这个数的平方；这个数叫作的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）。 解：（1）∵ (±10)²=100， ∴ 100 的平方根是±10； （2）∵ ()²=， ∴ 的平方根是； （3）∵²=， ∴ 0的平方根是； （4）∵任何数的平方都不会是负数，∴没有平方根。 平方根 知识点01 2.平方根的符号记法：一个正数有两个平方根，记作:，其中叫做　的正的平方根,“” ；叫做a的负的平方根； 3.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是. 1.定义：正数 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 算术平方根 知识点02 例 求下列各数的算术平方根： (1)100;(2)64;(3)0.0001. 解：（1）；y （2）； （3）01 总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 1. 定义:一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：；求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 立方根 知识点03 2. 立方根的性质:互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 3. 立方根的小数点移动规律 例：用计算器计算求,,,,,…,你能发现什么规律? 解： =0.06 =0.6 =6 =60 总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 实数及其简单的运算 知识点04 1. 实数的概念及分类 （1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2）实数的分类 实数及其简单的运算 知识点04 （3）实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 2. 实数的运算 （1）实数的相反数 数 的相反数是 . 如：（）=. 实数及其简单的运算 知识点04 （2）绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 例：因为 ， 所以，||（） （负数的绝对值等于它的相反数） 实数及其简单的运算 知识点04 （3）加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：32（32）5 （乘法分配律） 易错题： （不属于乘法分配律） 实数及其简单的运算 知识点04 （4）实数的乘方、开方运算 因为 的平方是 ，所以 是 的算术平方根； 因为 3 的平方是 ，所以 是 的算术平方根，记作：； 反之，因为 是 的算术平方根，所以 ； 因为 是 3 的算术平方根，所以 3； 归纳： ()，； 同理：，. 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 平方根 题型一 解｜题｜技｜巧 解｜题｜技｜巧 先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 易｜错｜点｜拨 1. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 平方根 题型一 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． C 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴的平方根是， 故选：B． B 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）36的平方根是（  ） A． B． C．6 D． 解：∵， ∴36的平方根是， 故选：A． A 算术平方根 题型二 解｜题｜技｜巧 答｜题｜模｜板 结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 易｜错｜点｜拨 结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 【典例1】（24-25七年级上·全国·期中）的算术平方根是______． 解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：2． 2 20 【典例2】（24-25七年级下·四川·期中）已知，则（      ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， 故选：D． D 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 解：的算术平方根是：， 故选：B． B 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． C 立方根 题型三 解｜题｜技｜巧 答｜题｜模｜板 根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 易｜错｜点｜拨 易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 【典例1】（24-25七年级下·福建·期中）若，则的立方根为_______． -1 解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·黑龙江·期中）求下列x的值 (1) (2) (3) （1）解：， ∴ ∴ ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 则或 ∴或． 【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② （1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ．故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 实数的运算 题型四 解｜题｜技｜巧 答｜题｜模｜板 先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 易｜错｜点｜拨 误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 29 【典例1】（2024七年级下·河南·专题练习）在下列实数中，无理数是（   ） A．0.151515… B． C． D． B 解：0.151515…、、是有理数，是无理数； 故选：B. 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）的相反数是______ ，绝对值是______． 解：的相反数是； 的绝对值是． 故答案为：，． 【典例3】（24-25七年级下·全国·期中）比较大小：_______2．(填“>”“<”或“=”) 【详解】∵， ∴， ∴， ∴．． 故答案为：<． < 【典例4】（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． （1）解： ； （2）解： ． （1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【变式2】（24-25七年级下·湖南·期中）下列各组数中互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和3 D．和 解：A、由，得3和不互为相反数，故A选项不符合题意； B、由，得和不互为相反数，故B选项不符合题意； C、由，得和3互为相反数，故C选项符合题意； D、由，得和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． C 【变式3】（24-25七年级下·广东·期中）如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧），则点所表示的数为_____． 解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ； ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 解： （1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； 【变式4】（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． （1）解；∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴小数部分是， 故答案为：4；； 【变式5】（24-25七年级下·全国·期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如．是因为，所以的整数部分是2，小数部分是． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)若的整数部分是a，小数部分是b，求的值． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴的小数部分， ∴． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1. 下列各数是无理数的是（       ） A．0 B． C． D． 解：A、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、π是无理数，故此选项符合题意． 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） D 2. 规定：把不超过实数的最大整数记作，例如：，，，则的值等于（  ） A． B． C． D． A 解：根据的意义得， ， 故选：A． 3. 下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 D 解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 4. 下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数；④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①，故此选项不符合题意； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故此选项符合题意； ③任何实数不是有理数就是无理数，故此选项符合题意； ④两个无理数的和不一定是无理数，故此选项不符合题意； 即：正确的有②③，共2个． 故选：B． B 5. 的相反数为_____． 解：的相反数为， 故答案为：． 6. 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为6，则输出的值为_______． 解：输入的值为6时，按程序图计算为：， 开平方后为3时，，取相反数为，， 开平方后为时，， ， 故输出的值为， 故答案为：． 7. 求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 8. 计算：． 解： ． 9. 已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 解：第一个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的体积为， 所以第二个正方体水箱的棱长为， 所以需要铁皮为． 答：第二个水箱需要铁皮． 1. 在、、、这四个数中，最小的数是（     ） A．0 B．1 C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） C 解：在0，1，，这四个数中，最小的数是：． 故选：C． 2. 观察下列各式： ①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（    ） A． B． C． D． C 解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴＝＝ 故选择：C． 3. 计算：_______． 0 解： ． 故答案为：0． 4. 下列实数，0.57557，，，中，其中无理数是_________． 解：，分数，是有理数； 0.57557，有限小数，是有理数； ＝－2，整数，是有理数； 、是无限不循环小数，是无理数． 故答案为：和． 5. 比较大小：7______． 解：∵ ，且49＞44， ∴， ∴7＞， 故答案为：＞． 6. （1）计算： （2）求的值： 解：（1）原式 =4； （2）移项，得， ， 直接开平方得． 7. 图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形． (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） （1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； （2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求． 8. 动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为2：1． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． （1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 1. 下列说法中，正确的是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．无限小数都是无理数 D．算术平方根等于它本身的数是0和 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） B 解：A、不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但它是无理数，该选项错误； B、根据实数与数轴的关系，实数和数轴上的点是一一对应的，该选项正确； C、无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该选项错误； D、算术平方根等于它本身的数是0和，负数没有算术平方根，该选项错误． 故选：B． 2. 比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． D 解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 3. 比较大小：______，______； 解：，， 故答案为：， 4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为___． 解：∵即时，，此时n=1，2，3， ∴； ∵即时，，此时n=4，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15， ∴=； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， 4. 若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为___． ∵，， ∴即时，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5. 若的整数部分为a，小数部分为b． (1)求a，b的值； (2)求的值． （1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得，， ∴． 6. 计算： 解： ； 7. 长方形画纸的面积为，长与宽的比为．王芳想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？ 解：设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米， 由题意得：， 解得：或 (舍去)， 长方形的宽为， ， 又，半径为的圆形画纸其直径为， 不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行． 8. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． （1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 则格点正方形的面积为，则， ∴． 9. 阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________； (2)已知． ①若x是整数，且，求的值； ②若x，y分别是一张长方形纸片的 长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：． 解：（1）， ， 的整数部分为4，小数部分为， 即， 故答案为：； （2）①，即， 的整数部分为1，小数部分为， ∴， ∵x是整数，且， ∴， ∴； ②由题意得，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $