专题02 实数（考点串讲，6常考点+4技巧+4思想+6易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（人教版2024）

七年级数学下学期·期中复习大串讲 串讲课件 实数（6考点&8题型） 人教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理+针对训练 四大方法+四大思想典例剖析+技巧点拨+举一反三 六大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 没有 正数 负数 无理数 知识结构 3 平方根 定义：若 x2 = a，则 x 叫做 a 的________ 算术平方根 正数a有______个平方根，其中__________________叫做a的算数平方根 非负性 被开方数为________ 算术平方根为________ 平方根 非负数 非负数 两 正的平方根 知识梳理 性质 一个正数有___个平方根，它们互为________。 0的平方根是_____ _____没有平方根 开平方：求一个数的平方根的运算 2 负数 0 相反数 平方根 1. 4的平方根为( ) D A. B. 2 C. D. 2. [2024武汉江岸区期中] 若一个正数 的两个不同的平方根 分别是和，则 的值为( ) C A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 针对训练 考点1 平方根 6 3.根据下面表格中的数据求得 的平方根是_______. … 15 15.1 15.2 15.3 … … 225 228.01 231.04 234.09 … 4.（新考法分类讨论法）已知9，16和 三个数，使这三个数中的一个 数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数 的值： _____________. ，， 【点拨】依题意可知，，解得 ； ，解得 ； ，解得 . 7 5.请你观察与思考： ， ； ， ； … 由此猜想： ____________. 111 111 111 8 6.（教材母题）求下列各式中 的值： （1） ； 【解】 ， 或 . （2） . ， . . 或 . 9 7. 实数225的算术平方根为( ) A A. 15 B. C. D. 8. 化简 的值为( ) A A. B. C. D. 9.已知，当最小时， 的算术平方 根为___. 1 考点2 算数平方根 针对训练 10 10.如图，在 的方格中（每个小正方形的边长为1），四 边形是正方形，利用面积的关系探求正方形 的边 长是____. 【点拨】如图. 正方形的边长是 . 11 11.（教材母题）（1）通过计算下列各式的值探究问题. ①_________; ____; ___； __. 探究：对于任意非负有理数, ___. 16 0 ②___; ___; ___; ___. 探究：对于任意负有理数, ____. 综上，对于任意有理数， ____. 5 1 2 12 （2）应用（1）所得结论解决问题：有理数, 在数轴上对应 的点的位置如图所示，化简： . 【解】由数轴知,,, 所以, . 所以原式 . 13 立方根 定义：若 x3 = a，则 x 叫做 a 的立方根 性质：正数的立方根是_______，负数的立方根是_______，0的立方根是_______ 开立方：求一个数的立方根的运算 正数 负数 0 知识梳理 算术平方根 平方根 立方根 表示方法 被开方数 性 质 正数 0 负数 是本身 规律 a ≥ 0 a ≥ 0 a 为任意数 正数(一个) 0 无 0、1 互为相反数(两个) 正数(一个) 0 0 无 负数(一个) 0 0、1、-1 梳理平方根、算数平方根以及立方根的相关知识 考点3 立方根 12. 的立方根为( ) A A. B. C. D. 不存在 13. 已知， ，那么下列各式正确 的是( ) B A. B. C. D. 针对训练 16 14.（新考法程序计算法）有一个数值转换器，其原理如图 所示，当输入的值是64时，输出 的值是( ) B A. 4 B. C. 2 D. 15.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一 个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ . 9 17 15.已知与互为相反数（其中 ），则 __. 【点拨】由与互为相反数，可得 与 互为相反数， 即，解得 ， 将代入，可得.故答案为 . 18 16.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 19 实数 实数的概念：有理数与无理数的统称 分类 有理数 无理数 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 相关性质 相反数：数 a 的相反数是______ 绝对值: |a| = ______，当a > 0 ______，当a = 0 ______，当a < 0 -a -a a 0 知识梳理 数轴上的一个点都表示一个______。 实数 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。 实数 实数的大小比较 实数的简单运算 与有理数的运算法则、运算律等相同。 估算法、平(立)方法、作差法(或分析法)、数轴法等。 对数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 有理数与无理数的区别： 有理数 无理数 是有限小数或无限循环小数 是无限不循环小数 都能写成分数的形式（正数可以看成分母是1的分数） 不能写成分数的形式 考点4 估算与大小比较 17. [2024深圳福田区期末] 大、中、小三个正方 形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为 5，小正方形的面积为1，则正方形 的边长 可能是( ) B A. 1 B. C. D. 3 针对训练 23 18.比较大小（填“ ”“”或“ ”）： （1）___ ； （2） ___2. 19.如图，数轴上点，，， 所对应的数分别是1，2，3， 4.若点对应的数是，则点 落在 ____之间.（填序号） 和和和 ③ 24 考点5 实数的概念及分类 20. [2024重庆二模] 下列四个实数中，不是无理数的是 ( ) C A. B. C. D. 针对训练 25 21.填空：，，6，0，，， . （1）有理数集合：{_ ___________________…}； （2）无理数集合：{_ ________…}； （3）正实数集合：{_ ________________ …}. ，，6，0， ， ，6，， 26 考点6 实数的性质及运算 21.绝对值为 的数是_______________. 或 23.计算： （1） ； 【解】 . 针对训练 27 （2） . . 28 技巧 巧用被开方数的非负性求值 1 例 1 若 － －y=6，求 yx 的立方根 . 解题秘方：认 真 观 察 此 题 可 以 发 现被 开 方 数 为 非 负 数，即 2－x ≥ 0，得 x ≤ 2；x－2 ≥ 0，得 x ≥ 2；进一步可得 x=2. 从而可求出 y=－6. 题型剖析 解： 由题意得 2－x ≥ 0 且 x－2 ≥ 0， 所以 x ≤ 2 且 x ≥ 2，即 x=2. 当 x=2 时， y=－6. 所以 y x=(－6) 2=36. 所以 y x 的立方根为 . 方法点拨： 若互为相反数的两个数同时作为根指数为 2 的被开方数，则这两个被开方数都等于 0. 1.[2024北京海淀区校级期中] 已知：实数， 满足 . （1）__________， ___； 3 【点拨】 ， ， . ， . 举一反三 31 （2）若一个正实数的两个平方根分别是和 ， 求和 的值. 【解】由题意可得 ， . ， ， . ， . 32 2.已知正实数的两个平方根为和 . （1）当时， 的值为_________； 9 【点拨】 正实数的两个平方根是和 ， . ， . . . 33 （2）若，求 的值. 正实数的两个平方根是和 ， ， . ， . . ， . 34 技巧 运用正数的两个平方根的性质求值 2 已知：一个正数的平方根是 2a－1与 2－a，求 a 的平方的相反数的立方根 . 例 2 解题秘方： 由正数的两个平方根互为相反数，列 出 以 a 为 未 知 数 的 方 程，求 出 a 的值，然后再求 a 的平方的相反数的立方根 . 解： ∵ 一 个 正 数 的 平 方 根 是 2a－1与 2－a ， ∴(2a－1 ) +( 2－a ) =0. ∴ a=－1. ∴ a 的 平 方 的 相 反 数 的 立 方 根 是 = =－1. 3.已知与互为相反数，求 . 【解】与 互为相反数， . ， . ， . . 举一反三 37 技巧 巧用算术平方根的最小值求值 3 例 3 已知： y= + ，当 a，b 取不同的值时， y 也有不同的值 . 当 y 最小时，求 ba 的算术平方根 . 解 题 秘 方： y= + ，要使y 最小，就是要使 和 最小，而 ≥ 0， ≥ 0，显 然 当 =0和 =0 时， y 最小，可得 a=2， b= － 1. 解： ∵ ≥ 0， ≥ 0，y= + ， ∴ 当 =0和 =0时， y最小. 由 =0 和 =0，可得 a=2，b=－1. ∴ b a 的算术平方根是 =1. 举一反三 4.学习了算术平方根后，我们知道： （1）是非负数，那么 有最小值吗？如果有，此 时 为多少？最小值又是多少？ 【解】有最小值，当 时，最小值是0. 41 （2）当取什么值时， 的值最小？请求出这个最 小值. ， 当时， 有最小值，最小值是0.则 的最小值是1. 42 （3）小王认为：当时， 有最大值，且最大 值为，你知道， 的值分别为多少吗？ 【解】当，即时， 有最大值，且 最大值为3， ， . 43 技巧 巧用平方根的定义解方程 4 解方程(x+1) 2=36. 例 4 解题秘方： x+1 是 36 的平方根 . 解： ∵(x+1) 2=36， ∴ x+1 是 36 的平方根 . ∴ x+1=± 6. ∴ x=5 或 x= － 7. 5.已知 . （1）求 的平方根； 【解】由题意，得， ， 解得， . ， 的平方根为 . 举一反三 45 （2）解关于的方程 . 【解】把，代入方程， 得 ，即 ， 解得或 . 46 类型1 方程思想 例1.我们知道时，也成立，若将看成 的立方根，看成 的立方根，我们能否得出这样的结论： 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； 【解】，且， ， ， 结论“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为 相反数”是成立的.（举例不唯一） 47 （2）若与互为相反数，求 的值. 【解】由结论可知， ， . . 48 1.[2024开封期末] 已知实数，满足 . 求， 的值； 【解】 ， ， . ， . 举一反三 49 类型2 数形结合思想 例2. 实数, 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正 确的是( ) D A. B. C. D. 50 2.[2024合肥瑶海区期中] 如图，已知点表示的数为 ， 点向右平移3个单位长度到达点 . （1）点 表示的数为_____________； 举一反三 51 （2）在数轴上还有，两点分别表示实数和 ，且有 与互为相反数，求 的平方根. 与 互为相反数， . ， ， 解得, . . 的平方根是 . 52 3.[2024咸阳一模] 已知点，， 在数轴上的位置如图所示， 点表示的数是，点是的中点，线段 ， 求点 表示的数. 【解】 点表示的数是，线段 ， 点表示的数是 . 点是 的中点， 线段 ， 点表示的数是 . 53 类型3 转化思想 例3.已知实数,满足关系式 . （1）求, 的值； 【解】由题意，得, , ,或 . （2）判断 是有理数还是无理数，并说明理由. 当,时， ,是有理数； 当,时， ,是无理数. 54 4.已知， ，且 ，，求 的值. 【解】， ， , . . 举一反三 . ， ， ，即, . . 55 类型4 分类讨论思想 例4. 在数轴上，点表示实数3，以点为圆心， 为半径 画弧，交数轴于点，则点 表示的实数是( ) D A. B. C. 或 D. 或 56 5.如果和 是一个正数的平方根，求这个正数. 【解】分两种情况讨论： ①当这个正数的平方根分别为和 时， ，解这个方程,得 . 当时， ， 这个正数为 ； 举一反三 ②当时， ， 此时 ， 这个正数为 . 综上所述，这个正数为400或16. 57 6.用字母表示一个实数，则， 一定是非负数，也就是它们的值 为正数或0，所以的最小值为0，而 一定是非正数，即它的值为 负数或0，所以 有最大值0，根据这个结论完成下列问题： （1） 有最__________（填“大”或“小”）值___； （2） 有最____（填“大”或“小”）值___； 小 3 大 5 （3）若正整数，满足，求 的平方根. 正整数，满足 ， 正整数,可能为，或， . 当，时，，的平方根为 ； 当，时，，的平方根为 . 综上，的平方根为或 . 58 1. 盐城盐都区期中 面积为15的正方形的边长是( ) B A.15的平方根 B.15的算术平方根 C.15的平方 D.15的立方根 押题预测 2.[2024· 重庆江津区期末] 按如图所示的程序计算，若开始输入的 的 值是64，则输出的 的值是____. 65 3.（教材母题2024武汉硚口区期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是 ， 希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：①由于59 319 大于 ，小于 ，所以它的立方根是一个两位数；②由于59 319的 个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；③如果划去59 319后 面的三位数319得到数59，而， ，由此可得所求立方根的 十位上的数是3，所以 .请同学们根据以上思考过程，写出 110 592的立方根：____. 48 66 4.（新视角新定义2024苏州期中）定义：不超过实数的最大 整数称为 的整数部分，记作.例如， . 按此规定， ____. 【点拨】， . . . 故答案为 . 67 5.[2024东莞期中] 阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于 ， 所以的整数部分为1，将 减去其整数部分1，差就是小数 部分，则小数部分为 . （1）如果的整数部分为，的整数部分为 ，求 的值； 【解】， ， ， . 68 （2）已知，其中是整数，且 ， 求 的相反数. ， . 又，是整数， ， ， . . 的相反数是 . 69 $$