专题07 分式方程及其应用（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题07 分式方程及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 分式方程的定义与解法 题型02 与分式方程的解有关的问题 题型03 含参数的分式方程问题 题型04 分式方程的实际应用（行程、工程、销售） 题型05 分式方程与不等式的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 分式方程的定义与解法 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 解分式方程：基本思路：将分式方程化为整式方程，再求解 解题步骤： 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程; 3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 变式演练 【变式01】（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 题型02 与分式方程的解有关的问题 典例引领 【典例01】（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，解法： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 变式演练 【变式01】（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 题型03 含参数的分式方程的问题 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 ① 找增根：令最简公分母 = 0，求出x的值； ② 化整式：将分式方程化为整式方程； ③ 代值求参：把增根代入整式方程，解出参数。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 题型04 分式方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁盘锦·二模）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ （1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. （2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)目前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 题型05 分式方程与不等式的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． (1)求每个收纳夹和每个试卷袋的价格； (2)全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 题●型●训●练 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 6．（2024·辽宁·模拟预测）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 7．（2025·辽宁鞍山·三模）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 8．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 10．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 11．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 12．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式方程及其应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 分式方程的定义与解法 题型02 与分式方程的解有关的问题 题型03 含参数的分式方程问题 题型04 分式方程的实际应用（行程、工程、销售） 题型05 分式方程与不等式的综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 分式方程的定义与解法 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 1. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 解分式方程：基本思路：将分式方程化为整式方程，再求解 解题步骤： 1)找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式; 2)去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程; 3)解整式方程; 4)验根，把整式方程的根代入最简公分母 变式演练 【变式01】（2023·辽宁大连·中考真题）解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键． 根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可． 【详解】解：分式方程的两侧同乘得：． 故选：B． 题型02 与分式方程的解有关的问题 典例引领 【典例01】（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键． 将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论． 【详解】解：∵关于的分式方程的解为， ， ， ， 将代入原方程，， ∴是原方程的解， ， 故答案为：2． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，解法： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 变式演练 【变式01】（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理得：， 当时，方程无解， ∵分式方程的增根是：， ∴把代入，得 ， 解得：， 所以的范围是，且． 故答案为：，且． 题型03 含参数的分式方程的问题 典例引领 【典例01】（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．0 B．2或4 C．4 D．0或2 【答案】D 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， ∵原方程无解， ∴当时，； 当时，此时，， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或2； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是有增根和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 ① 找增根：令最简公分母 = 0，求出x的值； ② 化整式：将分式方程化为整式方程； ③ 代值求参：把增根代入整式方程，解出参数。 变式演练 【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 题型04 分式方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁盘锦·二模）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ (2)甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 【答案】(1)甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 (2)甲队至少筑路天 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路1800米所用时间与乙筑路队筑路1500米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； （2）解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ （1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. （2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，逐步更新生产设备，新设备生产效率比旧设备提高了 ．若旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天． (1)求新设备每天生产多少件产品； (2)目前该企业接到8000件产品的生产任务，若此次生产任务安排2台旧设备，4台新设备，求至少需要多少天完成任务． 【答案】(1)新设备每天生产125件产品 (2)至少需要12天完成任务 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键。 （1）设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品．根据旧设备生产2500件产品比新设备生产3000件产品多用1天建立方程求解即可； （2）设该企业需要y天完成任务，根据新旧设备生产总量要不少于8000件建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设旧设备每天生产x件产品，则新设备每天生产件产品． 根据题意，得． 解得． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴． 答：新设备每天生产125件产品． （2）解：设该企业需要y天完成任务． 根据题意，得． 解得． ∵y是正整数， ∴y的最小值为12． 答：至少需要12天完成任务． 题型05 分式方程与不等式的综合应用 典例引领 【典例01】（2025·辽宁阜新·二模）某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条520米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过80天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘6米 (2)至少每天应多挖掘2米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验． （1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了30天完成了其中360米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过80天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设计划每天挖掘米，根据题意，得 ，， 解得． 经检验是原方程的根． 实际每天挖掘为米． 答：实际每天挖掘6米． （2）解：设每天应多挖掘米，根据题意得， 解得． 答：至少每天应多挖掘2米． 方法透视 考向解读 1.解法：基础题必考（解一元一次型分式方程，3-6 分），参数题（增根、解的范围）为拉分点；验根步骤必写，否则扣分。 2.应用：省统考融入方程不等式综合题，背景贴近本地生活（老旧小区改造、农产品销售等）。 方法技能 变式演练 【变式01】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为了培养学生养成整理收纳的好习惯．某班准备为学生购进若干幅面侧开扣收纳夹和幅面大容量试卷袋．已知每个试卷袋的价格是每个收纳夹的3倍，用300元购买收纳夹的数量比购买试卷袋的数量多40个． (1)求每个收纳夹和每个试卷袋的价格； (2)全班共有40人，保证人手一个收纳夹或一个试卷袋，且总费用不超过325元，那么该班最多可以购进多少个试卷袋？ 【答案】(1)每个收纳夹5元，每个试卷袋15元 (2)该班最多可以购进12个试卷袋 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设每个收纳夹元，则每个试卷袋元，再列出分式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）理解题意，设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹，再列出不等式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：设每个收纳夹元，则每个试卷袋元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个收纳夹5元，每个试卷袋15元． （2）解：设该班购进a个试卷袋，则购进个收纳夹， 根据题意，得， 解得， 是正整数， 的最大值为12， 答：该班最多可以购进12个试卷袋． 题●型●训●练 1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）若代数式和的值相等，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 3．（2024·辽宁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4．（2024·辽宁·模拟预测）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 5．（2024·辽宁·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 6．（2024·辽宁·模拟预测）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 7．（2025·辽宁鞍山·三模）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 【答案】种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握根据题意列出等式是解题的关键，设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元，根据“用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒”列出式子，计算即可． 【详解】解：设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元， 根据题意得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元． 8．（2025·辽宁丹东·一模）某树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，A种树苗共花费10000元，B种树苗共花费7500元，其中每棵B种树苗的进价是每棵A种树苗进价的1.5倍． (1)求每棵A种树苗的进价是多少元； (2)已知A种树苗需要另支付运输费1000元，若该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，求A种树苗的最低销售单价． 【答案】(1)每棵A种树苗进价为10元 (2)A种树苗最低销售单价为13元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每棵A种树苗的进价是x元，则每棵B种树苗的进价是元，利用数量总价单价，结合该树苗销售商从农户处购进A、B两种树苗共1500棵，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设A种树苗的销售单价为y元，利用利润销售单价销售数量进货总价运费，结合该树苗销售商计划A种树苗至少要获利，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每棵A种树苗进价x元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：每棵A种树苗进价为10元． （2）解：设每棵A种树苗销售单价为y元， A种树苗买了棵， ， 解得：， 答：A种树苗最低销售单价为13元． 9．（2025·辽宁葫芦岛·一模）“天宫课堂”在中国空间站开讲，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，丰富物理兴趣小组的实验项目，决定购入两款物理实验套装，其中款套装的单价比款套装单价的倍少元，用元买款套装的数量是用元买款套装数量的一半． (1)求套装的单价分别是多少元？ (2)根据学校的实际情况，需要一次性购买款套装和款套装共个，两种套装的总费用不超过元，学校最多可以购进多少个款套装？ 【答案】(1)款套装的单价为元，款套装的单价为元； (2)个 【分析】（）设款套装的单价为元，则款套装的单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购买款套装个，则款套装为个，根据题意列出不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设款套装的单价为元，则款套装的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：款套装的单价为元，款套装的单价为元； （2）解：设购买款套装个，则款套装为个， 由题意得，， 解得， 答：学校最多可以购进个款套装． 10．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 11．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 12．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $