2026年中考数学二轮复习：分式方程

2026年中考数学二轮复习之分式方程 一．选择题（共10小题） 1．（2026•哈尔滨模拟）方程的解是（　　） A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝2 D．x＝﹣2 2．（2025•大连模拟）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•天河区校级二模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，设妹妹跑步的速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•清原县模拟）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何？”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 6．（2025•娄底三模）将关于x的分式方程0去分母可得（　　） A．2（x+4）+3x＝0 B．2（x+4）﹣3x＝0 C．2x+3（x+4）＝0 D．2x﹣3（x+4）＝0 7．（2025•眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 8．（2025•斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 9．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 10．（2025•大连一模）若代数式和的值相等，则x的值为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 二．填空题（共5小题） 11．（2025•长沙一模）如果关于x的方程无解，则m的值是　 　 ． 12．（2025•沈河区校级模拟）分式方程的解为 　 　 ． 13．（2025•重庆模拟）关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 　 　 ． 14．（2025•秦淮区二模）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　 　 ． 15．（2025•牡丹江模拟）若关于x的分式方程的解为整数，则整数m的值有　 　 个． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•碑林区校级模拟）解方程：． 17．（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 18．（2025•船营区校级模拟）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　 　 件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 19．（2025•石家庄二模）已知：分式，． （1）计算A﹣B； （2）利用（1）的结论，解分式方程：B﹣A＝1． 20．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 2026年中考数学二轮复习之分式方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•哈尔滨模拟）方程的解是（　　） A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝2 D．x＝﹣2 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】通过移项和交叉相乘求解分式方程，并验证分母不为零． 【解答】解：原方程变形可得：， ∴x＝3（x+4）， ∴x＝3x+12， ∴x﹣3x＝12， ∴﹣2x＝12， ∴x＝﹣6． 验证：当 x＝﹣6 时，分母 x≠0 且 x+4≠0，成立． ∴方程的解为 x＝﹣6， 故选：B． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 2．（2025•大连模拟）C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用时间﹣C919所用时间，据此列出方程即可． 【解答】解：根据题意，得． 故选：D． 【点评】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式． 3．（2025•天河区校级二模）明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米．明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min，设妹妹跑步的速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】利用“跑完一圈明明比妹妹少用4min”列分式方程求解即可． 【解答】解：设妹妹跑步的速度为xkm/h，根据题意得： ， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，解题的关键是找到等量关系并列方程，难度不大． 4．（2025•清原县模拟）《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何？”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识． 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】若设每头牛的价格为x两，则每头羊的价格为（x﹣1）两，根据“20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等”找到等量关系并列出方程，此题得解． 【解答】解：若设每头牛的价格为x两，则每头羊的价格为（x﹣1）两，则可列方程为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 5．（2025•兴庆区校级二模）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据晓华列的方程可知x表示的意义是蒸发掉的水量，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 未知数x表示的意义是蒸发掉的水量， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6．（2025•娄底三模）将关于x的分式方程0去分母可得（　　） A．2（x+4）+3x＝0 B．2（x+4）﹣3x＝0 C．2x+3（x+4）＝0 D．2x﹣3（x+4）＝0 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】将原分式方程两边同乘x（x+4），即可求出结果． 【解答】解：0， 原分式方程两边同乘x（x+4）， 得2（x+4）﹣3x＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025•眉山）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．8 B．14 C．18 D．38 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【解答】解：． 解①得：x≤5． 解②得：． ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解． ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数， 当时，解集包含x＝4，5， 此时a≤9， 分式方程化简为：， 解得， 要求解为正整数且x≠1，则为大于等于2的整数， 即a为大于等于6的偶数， ∵a≤9， ∴a＝6或8， 当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件， 当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件， 则所有满足条件的整数a之和为6+8＝14， 故选：B． 【点评】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，注意正确运算． 8．（2025•斗门区一模）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【考点】分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值． 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 9．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式． 【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【解答】解：原分式方程可化为：2， 去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 解得x， ∵分式方程解是非负数， ∴0，且1， ∴m的取值范围是：m≤5且m≠3， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键． 10．（2025•大连一模）若代数式和的值相等，则x的值为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【考点】解分式方程；代数式求值． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题意列得分式方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得， 整理得：2x+2＝3x， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x（x+1）≠0， 则x＝2是分式方程的解， 故选：C． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•长沙一模）如果关于x的方程无解，则m的值是　2　 ． 【考点】分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】2． 【分析】解分式方程，根据其无解，得出x＝3，即可得到答案． 【解答】解：方程去分母得：m+（1﹣x）＝0， ∴m＝x﹣1， ∵关于x的分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴m＝x﹣1＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式方程的知识，分式方程无解的条件是去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 12．（2025•沈河区校级模拟）分式方程的解为 x＝1　 ． 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】x＝1 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：6x＝3（x+1），即6x＝3x+3 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解， 故答案为：x＝1． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 13．（2025•重庆模拟）关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 　﹣1　 ． 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】﹣1． 【分析】先通过解不等式组求得m的取值范围，再通过解分式方程确定符合条件的所有整数m，最后计算、求解． 【解答】解：解不等式组得， x≤4， ∵该不等式组有解且最多有3个整数解， ∴其整数解为2，3，4， ∴14， 解得﹣5＜m≤1， 解分式方程得， y， 由题意得m﹣1≠0且1， 解得m≠1且m≠﹣3， 由题意得， 当4时，解得m＝0； 当2时，解得m＝﹣1； 当1时，解得m＝﹣3（舍去）； 当1时，解得m＝5（舍去）； 当2时，解得m＝3（舍去）； 当4时，解得m＝2（舍去）， ∴m＝0或m＝﹣1， ∴符合条件的所有整数m的和为：0﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组和分式方程的应用能力，关键是能准确进行计算、讨论． 14．（2025•秦淮区二模）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了赶在雨季前竣工，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列方程得　30　 ． 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】分式方程及应用；应用意识． 【答案】30． 【分析】由实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，可得出实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%， ∴实际工作时每天绿化的面积为（1+25%）x万平方米． 依题意，得：30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．（2025•牡丹江模拟）若关于x的分式方程的解为整数，则整数m的值有　3　 个． 【考点】分式方程的解． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】先解此方程得x，再根据题意讨论、求解出符合题意的m． 【解答】解：解关于x的分式方程得， x， 当m＝﹣2时，x1； 当m＝0时，x3； 当m＝2时，x3； 当m＝4时，x1； ∵x≠3， ∴整数m的值是﹣2，0，4共3个， 故答案为：3． 【点评】此题考查了含有字母参数的分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程的解法进行求解． 三．解答题（共5小题） 16．（2026•碑林区校级模拟）解方程：． 【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】x＝9． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：， 两边同时乘以（x2﹣9）得，2x+x（x﹣3）＝x2﹣9， 解得：x＝9， 经检验x＝9是原方程的根． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 17．（2025•潍坊）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元． （1）求A型、B型两种机器人的单价； （2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 【分析】（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用90万元购买A型机器人的数量与用60万元购买B型机器人的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型机器人的单价），再将其代入（x﹣3）中，即可求出B型机器人的单价； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过70万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各配备方案． 【解答】解：（1）设A型机器人的单价为x万元，则B型机器人的单价为（x﹣3）万元， 根据题意得：， 解得：x＝9， 经检验，x＝9是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣3＝9﹣3＝6（万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元； （2）设配备A型机器人y台，则配备B型机器人（10﹣y）台， 根据题意得：9y+6（10﹣y）≤70， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为1，2，3， ∴共有3种配备方案， 方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台； 方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台； 方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18．（2025•船营区校级模拟）根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题： （1）更新设备后每天生产 　1.25x 件产品（用含x的式子表示）； （2）更新设备前生产2500件产品比更新设备后生产3000件产品多用1天，求更新设备后每天生产多少件产品． 【考点】分式方程的应用；列代数式． 【专题】整式；分式方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以用含x的代数式表示出更新设备后每天生产的产品数； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 更新设备后每天生产产品为：x（1+25%）＝1.25x（件）， 故答案为：1.25x； （2）由题意可得， 1， 解得x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解， ∴1.25x＝125， 答：更新设备后每天生产125件产品． 【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和列出相应的分式方程，注意分式方程要检验． 19．（2025•石家庄二模）已知：分式，． （1）计算A﹣B； （2）利用（1）的结论，解分式方程：B﹣A＝1． 【考点】解分式方程；解二元一次方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）x＝﹣3． 【分析】（1）运用异分母分式减法法则计算即可； （2）由，则，从而得到分式方程，再去分母转化 成整式方程求解，然后检验即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知 ． （2）由（1）知， ∴， ∵B﹣A＝1， ， 方程两边同时乘以（x+1）得： ﹣2＝x+1， 解得：x＝﹣3， 经检验：x＝﹣3是解分式方程的解， ∴x＝﹣3． 【点评】本题考查分式的加减运算，解分式方程，熟练掌握分式加减运算法则和解分式方程方法以是解题的关键． 20．（2025•拱墅区模拟）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【考点】分式方程的增根． 【专题】分式方程及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1 解得x＝0 经检验，x＝0是原分式方程的解． （2）设？为m， 方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1 由于x＝2是原分式方程的增根， 所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1 所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 学科网（北京）股份有限公司 $