9.1因式分解概念讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦因式分解概念及与整式乘法的互逆关系，以整式乘法为学习支架，通过逆向思维引入因式分解，明确其“多项式化为整式积”的核心特征，辨析易错形式，为后续因式分解方法学习奠定基础。 该资料以数的整除问题、AI技术等现实情境引入，培养抽象能力与创新意识，通过剪拼图形、对比辨析等探究活动发展推理意识，分层练习兼顾不同学情。课中助力教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第一节因式分解概念》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解因式分解的核心概念，能准确判断一个代数式的变形是否属于因式分解，明晰因式分解的对象与结果特征。 2.   掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，能通过整式乘法验证因式分解的正确性，体会数学中的逆向思维。 3.   学会辨析因式分解的常见易错形式，提升对代数式变形的判断能力，为后续学习因式分解方法奠定基础。 4.   经历观察、归纳、辨析的学习过程，培养数学抽象思维和逻辑推理能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一）重点 1.   因式分解的概念：精准掌握 “ 把一个多项式化成几个整式的积的形式 ” 这一核心定义，明确因式分解的本质是代数式的恒等变形，仅改变代数式形式，不改变其值。 2.   因式分解与整式乘法的区别与联系：清晰区分两者的运算方向，整式乘法是 “ 积化和差 ” ，因式分解是 “ 和差化积 ” ，理解二者互为逆运算的关系。 3.   因式分解变形的判断：能依据概念，快速判断给出的代数式变形是否符合因式分解要求，抓住 “ 多项式 → 整式积 ” 这一核心特征。 （二）难点 1.   深入理解因式分解的本质：区分因式分解与整式加法、整式乘法的差异，避免将 “ 多项式的部分变形、单项式拆分 ” 误认为是因式分解。 2.   易错形式的辨析：精准识别 “ 结果不是整式积、结果含分式、左边是单项式、变形后式子值改变 ” 等错误变形，突破概念理解误区。 3.   互逆关系的灵活运用：熟练借助整式乘法反向检验因式分解是否正确，建立正向定义、反向验证的解题思维。 ) 三．课前预习 请同学们预习教材对应内容，完成下列填空题： 1.整式乘法是把几个整式的______化成多项式的形式，例如：(x+2)(x-2)=______。 2.把一个多项式化成几个______的______的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做______。 3.因式分解的对象必须是______，结果必须是______的形式。 4.因式分解与整式乘法是______的变形，可利用______检验因式分解是否正确。 5.判断：x2-4=(x+2)(x-2)属于______；(x+2)(x-2)=x2-4属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 四．知识探秘 【问题】 我们曾经学习过数的整除问题，7+72能被8整除吗? 99＋992能被100整除吗? 若a是正整数，a+a2能被a+1整除吗? 根据a(a+1)=a+a2，可得a+a2=a(a+1)，所以a+a2能被a+1整除 在解决问题时，我们常需要把一个多项式化成几个整式的乘积。 探究一：回顾整式乘法，感知逆向变形 1. 计算下列整式乘法算式： (a+b)(m+n)=______ (x+3)2=______ (2y-1)(2y+1)=______ 2. 观察思考：上述运算都是将几个整式的积转化为多项式（和差形式），属于整式乘法。如果反过来，把多项式转化为整式积的形式，该如何定义这种变形？ 探究小结：整式乘法的运算方向是积→和差，是整式的运算过程；与之相反的变形，是将和差→积，这就是我们要学习的因式分解。 探究二：归纳因式分解的概念 1.观察下列等式： （1）am+bm+cm=m(a+b+c) （2）x2+6x+9=(x+3)2 （3）4y2-1=(2y-1)(2y+1) 2.对比分析： （1）等式左边：都是多项式）； （2）等式右边：都是整式积形式； （3）变形前后：代数式的值不变，属于恒等变形。 3.概念提炼： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解（分解因式）。 探究三：辨析因式分解的核心要素 1.左边是多项式，单项式不能进行因式分解，例如：6x=2×3x不是因式分解。 2.右边是几个整式的积，结果不能是和差、分式形式，例如：x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x不是因式分解。 3.变形是恒等变形，左右两边式子的值完全相等，可通过整式乘法验证。 探究四：因式分解与整式乘法的关系 1.观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式. 2.因式分解与整式乘法的比较 五．经典例题 例1.2026年AI眼镜成为消费电子新热点，某品牌AI眼镜的性能参数对应的多项式变形为(a + 3)(a - 3) = a2 - 9，下列说法正确的是（ ） A. 是因式分解，因为右边是多项式 B. 是整式乘法，因为是“积化和差” C. 既是因式分解也是整式乘法 D. 既不是因式分解也不是整式乘法 例2. 下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是 ( ) A. x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x B. (x+5)(x-2)＝x2+3x-10 C. x2-8x+16＝(x-4)2 D. (x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2) 例3. 观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( ) A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200 B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200 C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200 D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200 例4. 一个多项式因式分解后是，那么这个多项式是（　　） A. B. C. D. 例5. 用简单方法计算16.9×+15.1× 例6．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形（1）15x2y=；（2）(x+y)(x-y)=x2-y2； （3）x2-6x+9=(x-3)2；（4）x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.下列式子能分解因式的是 ( )． A． B． C． D． 4. 下列各式的因式分解中正确的是（ ） A. -m2+mn-m=-m(m+n-1) B. 9abc-6a2b2=3abc(3-2ab) C. 3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) D. ab2+a2b=ab(a+b) 5. 已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. -3 6. (-2)2026+(-2)2027等于（ ） A. -22026 B. -22027 C. 22026 D. -2 7.对于式子:①12m3n4=3m3·4n4;②a+1=a（1+）.从左到右的变形的判断,正确的是(　　) A.①是整式乘法 B.②是因式分解 C.①②均是因式分解 D.①②均不是因式分解 8.下列哪个多项式能分解成（ ） A． B． C． D． 9.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形中，表述正确的是　(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 10.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为(　　) A.2，3 B.－2，－3 C.－2，3 D.2，－3 （二）．填空题 11. 古诗词《劝学》中“博学而笃志”倡导勤学，若学生错题本中某多项式变形为x2 - 6x + 9 = (x-3)2，此变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 12.2026年AI驱动的生物标志物检测技术兴起，某检测模型中多项式x2+5x + 6经正确因式分解后得(x+2)(x+m)，则m的值为______。 13．若多项式可分解为，则的值为 ． 14.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 15．已知二次三项式含有一个因式，则的值是 ． 16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=_______ 17．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 18．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 19．若可分解为，则的值为 ． 20．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． （三）．解答题 21．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是请说明理由． (1)． (2)． (3)． 22．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 25.仔细阅读下面的例题： 例：已知二次多项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值。 解：设另一个因式为x＋n。 由题意，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n， ∴解得 ∴另一个因式为x－7，m的值为－21。 请仿照上述方法解答下列问题： (1)若x2＋bx＋c＝(x－2)(x＋4)，则b＝　　，c＝　　。  (2)已知二次多项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值。 26.仔细阅读下面的例题,并解答问题. 例　已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为x+n, 则x2+5x+m=(x+2)(x+n), 所以x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n, 所以n+2=5,2n=m,解得n=3,m=6, 所以另一个因式为x+3,m=6. (1)若二次三项式x2-x-12可分解为(x+3)(x-a),则a=　　　　;  (2)若二次三项式2x2-bx-6可分解为(2x+3)·(x-2),则b=　　　　;  (3)已知二次三项式6x2-7x-k有一个因式是3x-2,则另一个因式为　　　　,k的值为　　　　.  七．知识清单 1.把一个________化成几个________的________的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2.因式分解的对象是________，结果形式是________。 3.因式分解与整式乘法是________的变形过程。整式乘法是把几个整式相乘，化为一个________；因式分解是把一个多项式化为几个________相乘。 4.判断式子变形是否为因式分解，关键看左边是不是________，右边是不是________。 5.因式分解分解到每个多项式因式不能________为止。 6.因式分解结果中，每个因式必须是________，且次数都________原多项式次数。 7.相同因式分解结果要写成________形式。 8.整式乘法：积→________；因式分解：多项式→________。 9.式子x(x-1)=x2-x属于________运算；式子x2-x=x(x-1)属于________。 10.分解因式时，右边不能出现加减运算，只能是________形式。 八．强化提优 （一）选择题 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.2026年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a^2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 5.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6．已知多项式分解因式为，则，的值分别是（ ） A．， B．，4 C．， D．， 7．将分解因式后有一个因式是，则的值是（  ） A．6 B． C．4 D． 8．若将多项式因式分解，得，则的值为（  ） A． B． C． D． 9．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 10．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 11.若多项式变形“a2 - 2ab + b 2= (a-b)2”，该变形______（填“是”或“不是”）因式分解。 12.学生完成课后作业时遇到：“若(x+1)(x-2) = x2+ px + q，则p+q的值为______”， 答案为______。 13.如果x2+mx-2可因式分解为(x+1)(x-2),那么m=________. 14.已知x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)，则3m－n＋a＝　　。  15.若x2+ax-14=(x+2)(x-b),则ab=　　　　.  16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　． 17.找规律： 1×3＋1＝4＝22； 2×4＋1＝9＝32； 3×5＋1＝16＝42； 4×6＋1＝25＝52； … 请你把找出的规律用式子表示出来：　　 。  18.(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果． 19.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 20.如图1，某工人师傅在一个边长为a的正方形的四个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个大长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式：　 　。  图1　　 图2 （三）解答题 21．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 22．下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了． 2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）． （1）求被墨水污染的一次式； （2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围． 23.（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系； （2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值； （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 24.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 25.方法探究:已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式,发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),则x2-4x-21=(x+3)(x+k),所以有x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是相等的,所以k+3=-4,解得k=-7,因此x2-4x-21=(x+3)·(x-7).我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式x2-4,我们把x=　　　　代入该式,会发现x2-4=0成立;  (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式,发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),试求a,b的值; (3)对于多项式x3+4x2-3x-18,用“试根法”分解因式. 26．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第一节因式分解概念》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解因式分解的核心概念，能准确判断一个代数式的变形是否属于因式分解，明晰因式分解的对象与结果特征。 2.   掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，能通过整式乘法验证因式分解的正确性，体会数学中的逆向思维。 3.   学会辨析因式分解的常见易错形式，提升对代数式变形的判断能力，为后续学习因式分解方法奠定基础。 4.   经历观察、归纳、辨析的学习过程，培养数学抽象思维和逻辑推理能力。 ) 二．重点难点 ( （ 一）重点 1.   因式分解的概念：精准掌握 “ 把一个多项式化成几个整式的积的形式 ” 这一核心定义，明确因式分解的本质是代数式的恒等变形，仅改变代数式形式，不改变其值。 2.   因式分解与整式乘法的区别与联系：清晰区分两者的运算方向，整式乘法是 “ 积化和差 ” ，因式分解是 “ 和差化积 ” ，理解二者互为逆运算的关系。 3.   因式分解变形的判断：能依据概念，快速判断给出的代数式变形是否符合因式分解要求，抓住 “ 多项式 → 整式积 ” 这一核心特征。 （二）难点 1.   深入理解因式分解的本质：区分因式分解与整式加法、整式乘法的差异，避免将 “ 多项式的部分变形、单项式拆分 ” 误认为是因式分解。 2.   易错形式的辨析：精准识别 “ 结果不是整式积、结果含分式、左边是单项式、变形后式子值改变 ” 等错误变形，突破概念理解误区。 3.   互逆关系的灵活运用：熟练借助整式乘法反向检验因式分解是否正确，建立正向定义、反向验证的解题思维。 ) 三．课前预习 请同学们预习教材对应内容，完成下列填空题： 1.整式乘法是把几个整式的______化成多项式的形式，例如：(x+2)(x-2)=______。 2.把一个多项式化成几个______的______的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做______。 3.因式分解的对象必须是______，结果必须是______的形式。 4.因式分解与整式乘法是______的变形，可利用______检验因式分解是否正确。 5.判断：x2-4=(x+2)(x-2)属于______；(x+2)(x-2)=x2-4属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 【答案】 1.积；x2-4 2.整式；积；分解因式 3.多项式；几个整式的积 4.方向相反；整式乘法 5.因式分解；整式乘法 四．知识探秘 【问题】 我们曾经学习过数的整除问题，7+72能被8整除吗? 99＋992能被100整除吗? 若a是正整数，a+a2能被a+1整除吗? 根据a(a+1)=a+a2，可得a+a2=a(a+1)，所以a+a2能被a+1整除 在解决问题时，我们常需要把一个多项式化成几个整式的乘积。 探究一：回顾整式乘法，感知逆向变形 1. 计算下列整式乘法算式： (a+b)(m+n)=______ (x+3)2=______ (2y-1)(2y+1)=______ 【解析】(1)(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （2）(x+3)2=x2+6x+9 （3）(2y-1)(2y+1)=4y2-1 2. 观察思考：上述运算都是将几个整式的积转化为多项式（和差形式），属于整式乘法。如果反过来，把多项式转化为整式积的形式，该如何定义这种变形？ 【解析】概念定义：把多项式转化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 探究小结：整式乘法的运算方向是积→和差，是整式的运算过程；与之相反的变形，是将和差→积，这就是我们要学习的因式分解。 探究二：归纳因式分解的概念 1.观察下列等式： （1）am+bm+cm=m(a+b+c) （2）x2+6x+9=(x+3)2 （3）4y2-1=(2y-1)(2y+1) 2.对比分析： （1）等式左边：都是多项式）； （2）等式右边：都是整式积形式； （3）变形前后：代数式的值不变，属于恒等变形。 3.概念提炼： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解（分解因式）。 探究三：辨析因式分解的核心要素 1.左边是多项式，单项式不能进行因式分解，例如：6x=2×3x不是因式分解。 2.右边是几个整式的积，结果不能是和差、分式形式，例如：x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x不是因式分解。 3.变形是恒等变形，左右两边式子的值完全相等，可通过整式乘法验证。 探究四：因式分解与整式乘法的关系 1.观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式. 【解析】左边的大正方形边长为 a + b，面积为 (a + b)2。右边的四个小图形分别是边长为 a 的正方形（面积 a2）、长为 a 宽为 b 的长方形（面积 ab）、长为 b 宽为 a 的长方形（面积 ab）、边长为 b 的正方形（面积 b2）。 因此对应的等式为：(a + b)2= a2 + 2ab + b2 2.因式分解与整式乘法的比较 对比项目 整式乘法 因式分解 运算方向 几个整式的积→多项式（和差形式） 多项式（和差形式→几个整式的积 运算本质 展开：把积展开成和差 分解：把和差化成积的形式 运算关系 互逆运算（与因式分解相反） 互逆运算（与整式乘法相反） 运算结果 结果是多项式（和、差形式） 结果是整式的乘积形式 典型例子 a(a+1)=a+a2 a+a2=a(a+1) 核心目的 化简求值、计算面积/体积等 简化运算、解方程、分式化简等 易错点 漏乘项、符号处理错误 分解不彻底、形式混淆（结果非积） 五．经典例题 例1.2026年AI眼镜成为消费电子新热点，某品牌AI眼镜的性能参数对应的多项式变形为(a + 3)(a - 3) = a2 - 9，下列说法正确的是（ ） A. 是因式分解，因为右边是多项式 B. 是整式乘法，因为是“积化和差” C. 既是因式分解也是整式乘法 D. 既不是因式分解也不是整式乘法 【答案】：B 【解析】：因式分解的核心是“和差化积”，而该变形是将两个整式的乘积化为多项式，属于“积化和差”，符合整式乘法的定义，因此不是因式分解，答案为B。 例2. 下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是 ( ) A. x2-9+6x＝(x+3)(x-3)+6x B. (x+5)(x-2)＝x2+3x-10 C. x2-8x+16＝(x-4)2 D. (x-2)(x+3)＝(x+3)(x-2) 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得，只有选项C符合因式分解的形式，故选C. 例3. 观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( ) A. 962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200 B. 962×95+962×5＝962×5×(19+1)＝962×(5×20) ＝96200 C. 962×95+962×5＝5×(962×19+962)＝5×(18278+962)＝96200 D. 962×95+962×5＝91390+4810＝96200 【答案】A 【解析】计算962×95+962×5的值，最简单的方法先提取公因式962，即962×95+962×5＝962×(95+5)＝962×100＝96200，故选A. 例4. 一个多项式因式分解后是，那么这个多项式是（　　） A. B. C. D. 【答案】：C 【解析】：因式分解和整式的乘法是互逆的运算，我们把乘开可以得到C选项 例5. 用简单方法计算16.9×+15.1× 解：原式=×（16.9+15.1）=×32=4 例6．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，∴，解得a＝2，p＝1．故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴，解得n＝﹣1，k＝5，∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 六．基础过关 （一）．选择题 1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，只有符合该定义，故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形（1）15x2y=；（2）(x+y)(x-y)=x2-y2； （3）x2-6x+9=(x-3)2；（4）x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.根据因式分解的定义可得只有（3）符合要求，故选A. 3.下列式子能分解因式的是 ( )． A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：解答：只有一个多项式才能分解因式，并且分解成几个式子相乘的形式，故答案是B选项 4. 下列各式的因式分解中正确的是（ ） A. -m2+mn-m=-m(m+n-1) B. 9abc-6a2b2=3abc(3-2ab) C. 3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) D. ab2+a2b=ab(a+b) 【答案】D 【解析】选项A，原式=-m(m-n+1)；选项B，原式=3abc(3c-2ab)；选项C，原式=3x(a2-2b+1)；选项D，原式=ab(a+b)；故选D. 5. 已知不论x为何值，x2-kx-15=（x+5）（x-3），则k值为（ ） A. 2 B. -2 C. 5 D. -3 【答案】B 【解析】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15，∴k=-2.故选B. 6. (-2)2026+(-2)2027等于（ ） A. -22026 B. -22027 C. 22026 D. -2 【答案】C 【解析】(-2)2026+(-2)2027=(-2)2026×(1-2)=22026，故选C. 7.对于式子:①12m3n4=3m3·4n4;②a+1=a（1+）.从左到右的变形的判断,正确的是(　　) A.①是整式乘法 B.②是因式分解 C.①②均是因式分解 D.①②均不是因式分解 【答案】D　 【解析】观察可知式子12m3n4=3m3·4n4和a+1=a（1+）都不是因式分解,且式子12m3n4=3m3·4n4也不是整式乘法.故选D. 8.下列哪个多项式能分解成（ ） A． B． C． D． 【答案】：B 【解析】：根据整式的乘法可以得到B选项 9.对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形中，表述正确的是　(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】①：x - 3xy = x(1 - 3y)左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义。②：(x + 3)(x - 1) = x2 + 2x - 3，左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，符合整式乘法的定义。所以①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C 10.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为(　　) A.2，3 B.－2，－3 C.－2，3 D.2，－3 【答案】：B 【解析】： (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，∴a＝－2，b＝－3。 （二）．填空题 11. 古诗词《劝学》中“博学而笃志”倡导勤学，若学生错题本中某多项式变形为x2 - 6x + 9 = (x-3)2，此变形属于______（填“因式分解”或“整式乘法”）。 【答案】：因式分解 【解析】：变形将多项式化为两个相同整式的乘积形式，满足因式分解“把多项式化为整式积”的核心定义。 12.2026年AI驱动的生物标志物检测技术兴起，某检测模型中多项式x2+5x + 6经正确因式分解后得(x+2)(x+m)，则m的值为______。 【答案】：3 【解析】：根据整式乘法与因式分解的互逆关系，展开(x+2)(x+m) = x^2 + (2+m)x + 2m，与原多项式对比，2+m=5且2m=6，解得m=3。 13．若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】3 【解析】由得，与多项式比较系数，得： ，解得：，∴；故答案为3． 14.下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________. ①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9) 【答案】②③⑥ 【解析】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解. 15．已知二次三项式含有一个因式，则的值是 ． 【答案】 【解析】∵有因式，设， 故，，求得，，故答案为：． 16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=_______ 【答案】15 【解析】（x+2）（x+4）=x2+6x+8，根据甲看错了b，则a是正确的，即a=6；（x+1）（x+9）=x2+10x+9，根据乙看错了a，则b是正确的，即b=9，则a+b=6+9=15. 17．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 【答案】7 【解析】∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，∴﹣k＝﹣7，k＝7．故应填7． 18．当k＝　　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 【答案】7 【解析】∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12，∴﹣k＝﹣7，k＝7．故应填7． 19．若可分解为，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵，∴， ∴，；解得，；∴；故答案为： 20．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2） 【解析】四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． （三）．解答题 21．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？若是，请指出它的因式；若不是请说明理由． (1)． (2)． (3)． 解：（1）不是因式分解．理由：从左到右的变形不是化成几个多项式的乘积形式，故不是因式分解． （2）是因式分解．因式分别为，和． （3）不是因式分解．理由：因为不是整式，故该变形不是因式分解，故不是因式分解． 22．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1； （3）（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）＝xm+1﹣1．故答案为x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x5+x4+x3+x2+x+1）＝xm+1﹣1；（4）x8﹣1＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 解：（1）∵，∴，，∴， 故答案为：6． （2）设另一个因式为，则， ∴，解得：，，∴另一个因式是． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 解：(1)题图④中大长方形的长为a+2b,宽为a+b,∴面积为(a+b)(a+2b);大长方形的面积还等于各部分面积的和,即大长方形的面积=a2+3ab+2b2. (2)由(1)得a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). 25.仔细阅读下面的例题： 例：已知二次多项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值。 解：设另一个因式为x＋n。 由题意，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n， ∴解得 ∴另一个因式为x－7，m的值为－21。 请仿照上述方法解答下列问题： (1)若x2＋bx＋c＝(x－2)(x＋4)，则b＝　　，c＝　　。  (2)已知二次多项式2x2＋5x＋k有一个因式为2x－3，求另一个因式以及k的值。 解：(1)∵(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝x2＋bx＋c，∴b＝2，c＝－8。 (2)设另一个因式为x＋p。由题意，得2x2＋5x＋k＝(x＋p)·(2x－3)，即2x2＋5x＋k＝2x2＋(2p－3)x－3p，∴解得∴另一个因式为x＋4，k的值为－12。 26.仔细阅读下面的例题,并解答问题. 例　已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2,求另一个因式以及m的值. 解:设另一个因式为x+n, 则x2+5x+m=(x+2)(x+n), 所以x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n, 所以n+2=5,2n=m,解得n=3,m=6, 所以另一个因式为x+3,m=6. (1)若二次三项式x2-x-12可分解为(x+3)(x-a),则a=　　　　;  (2)若二次三项式2x2-bx-6可分解为(2x+3)·(x-2),则b=　　　　;  (3)已知二次三项式6x2-7x-k有一个因式是3x-2,则另一个因式为　　　　,k的值为　　　　.  解：(1)由题意得x2-x-12=(x+3)(x-a),所以x2-x-12=x2+(3-a)x-3a,所以-3a=-12,解得a=4,故答案为4. (2)由题意得2x2-bx-6=(2x+3)(x-2),所以2x2-bx-6=2x2-x-6,所以b=1,故答案为1. (3)设另一个因式为2x+c,则6x2-7x-k=(2x+c)(3x-2),所以6x2-7x-k=6x2+(3c-4)x-2c,所以3c-4=-7,-k=-2c,解得c=-1,k=-2,所以另一个因式是2x-1,k的值为-2.故答案为2x-1;-2. 七．知识清单 1.把一个________化成几个________的________的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 2.因式分解的对象是________，结果形式是________。 3.因式分解与整式乘法是________的变形过程。整式乘法是把几个整式相乘，化为一个________；因式分解是把一个多项式化为几个________相乘。 4.判断式子变形是否为因式分解，关键看左边是不是________，右边是不是________。 5.因式分解分解到每个多项式因式不能________为止。 6.因式分解结果中，每个因式必须是________，且次数都________原多项式次数。 7.相同因式分解结果要写成________形式。 8.整式乘法：积→________；因式分解：多项式→________。 9.式子x(x-1)=x2-x属于________运算；式子x2-x=x(x-1)属于________。 10.分解因式时，右边不能出现加减运算，只能是________形式。 【答案】1.多项式；整式；积 2.多项式；整式积 3.互逆；多项式；整式 4.多项式；整式积 5.再分解 6.整式；低于 7.乘方 8.多项式；整式积 9.整式乘法；因式分解 10.整式相乘 八．强化提优 （一）选择题 1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；B、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D、是因式分解，符合题意；故选D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 【答案】D 【解析】对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法．对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解．①是整式的乘法，②是因式分解，故选：D． 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】是单项式的变形，不是因式分解；中等号右边不是积的形式，不是因式分解；是乘法运算，不是因式分解；，符合提取公因式法，是因式分解；符合因式分解的定义，是因式分解；综上所述，因式分解有2个．故选：B 4.2026年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a^2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 【答案】：C 【解析】：(a - 1)2= a2- 2a + 1是“积化和差”，属于整式乘法；a2- 2a + 1 = (a - 1)2是“和差化积”，属于因式分解，两者运算方向相反，是互逆变形，答案为C。 5.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】∵113－11=11×，∴113－11不能被13整除.故选A. 6．已知多项式分解因式为，则，的值分别是    （       ） A．， B．，4 C．， D．， 【答案】C 【解析】由，∴， ∴， ，故选：． 7．将分解因式后有一个因式是，则的值是（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】∵分解因式后有一个因式是，∴ 当时，多项式的值为零，即，∴ ，∴，故选：B． 8．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，，解得；∴ ．故选：B． 9．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【解析】，比较系数，得 ，，、 为整数，且 ，所有整数对 为：，； ，；，；，；，；，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ．选项不在可能值中，故不可能． 10．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵多项式分解因式为，∴，则， ∵a，m，n为整数，∴当时，则，即；∴当时，则，即；∴当时，则，即； ∴当时，则，即；则a的取值有4个，故选：D． （二）填空题 11.若多项式变形“a2 - 2ab + b 2= (a-b)2”，该变形______（填“是”或“不是”）因式分解。 【答案】：是 【解析】：变形将三项多项式化为两个相同整式的乘积，满足“多项式→整式积”的因式分解核心要求。 12.学生完成课后作业时遇到：“若(x+1)(x-2) = x2+ px + q，则p+q的值为______”， 答案为______。 【答案】：-3 【解析】：先通过整式乘法展开左边得x2- x - 2，与右边对比得p=-1、q=-2，因此p+q=-1+(-2)=-3，核心运用了整式乘法与因式分解的互逆关系。 13.如果x2+mx-2可因式分解为(x+1)(x-2),那么m=________. 【答案】-1　 【解析】∵(x+1)(x-2)=x2-x-2=x2+mx-2,∴m=-1. 14.已知x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)，则3m－n＋a＝　　。  【答案】22 【解析】 由x2＋mx＋n＝(x－3)(ax＋5)＝ax2＋(5－3a)x－15， 得a＝1，m＝2，n＝－15， ∴3m－n＋a＝3×2＋15＋1＝22。 15.若x2+ax-14=(x+2)(x-b),则ab=　　　　.  【答案】-35 【解析】∵x2+ax-14=(x+2)(x-b),∴x2+ax-14=x2-bx+2x-2b,∴x2+ax-14=x2+(2-b)x-2b,∴a=2-b,-14=-2b,∴a=-5,b=7,∴ab=7×(-5)=-35.故答案为-35. 16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝　 　． 【答案】：15 【解析】：甲看错b，但a正确：展开 (x+2)(x+4)=x2+6x+8，所以 a=6。乙看错a，但b正确：展开 (x+1)(x+9)=x2+10x+9，所以 b=9。因此 a+b=6+9=15。 17.找规律： 1×3＋1＝4＝22； 2×4＋1＝9＝32； 3×5＋1＝16＝42； 4×6＋1＝25＝52； … 请你把找出的规律用式子表示出来：　　 。  【答案】n(n＋2)＋1＝(n＋1)2 【解析】左边的乘法部分：第一个数是n，第二个数是n+2，再加上1，即n(n+2)+1。 右边的平方部分：底数是n+1，即(n+1)2。我们可以通过代数运算验证：n(n+2)+1 = n2 + 2n + 1 = (n+1)2 18.(x＋3)(2x－1)是多项式__________因式分解的结果． 【答案】2x2＋5x－3 【解析】∵(x＋3)(2x－1)=2x2＋5x－3∴(x＋3)(2x－1)是多项式2x2＋5x－3因式分解的结果． 19.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 【答案】：5 【解析】：该式能分解因式，说明 a2-9bn 需为平方差形式，即 9bn 必须是完全平方，因此 n 需为偶数。小于10的自然数中，偶数为 0,2,4,6,8，共5种。 20.如图1，某工人师傅在一个边长为a的正方形的四个角截去了4个边长为b的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2所示的一个大长方形。试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式：　 　。  图1　　 图2 【答案】a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) 【解析】 图1中阴影部分的面积为a2－4b2，图2中①，②是两个相同的小长方形，长为(a－2b)，宽为b，因此图2中的大长方形的长为(a＋2b)，宽为(a－2b)，故图2中阴影部分的面积为(a＋2b)(a－2b)。又∵图1与图2中阴影部分的面积相等，∴a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。 （三）解答题 21．小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）． 她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+3x3﹣3x2+2x2﹣2x＝x4+2x3﹣x2﹣2x； （2）（x2+□x+2）（x2﹣x）＝x4﹣x3+□x3﹣□x2+2x2﹣2x， ∵这个题目的正确答案是不含三次项，∴﹣1+□＝0，∴□＝1， ∴原题中被遮住的一次项系数是1． 22．下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了． 2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）． （1）求被墨水污染的一次式； （2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围． 解：（1）被墨水污染的一次式为 （x﹣2）（2x+5）﹣（2x2+3x﹣6）＝2x2+5x﹣4x﹣10﹣2x2﹣3x+6＝﹣2x﹣4； （2）根据题意得：﹣2x﹣4≥2，解得：x≤﹣3，即x的取值范围是x≤﹣3． 23.（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s、t的值取值有无关系； （2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值； （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． ∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t＝s2+s， ∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． （2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2）＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b，∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4，∴a＝﹣1，b＝2．ab＝1． （3）设另一个因式为（x+m）．根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k，x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k，x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k，∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m，∴m＝4，k＝20，∴另一个因式：（x+4），k是20． 24.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 解：(1)大长方形的长为2m+n,宽为m+2n,∴2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n). 故答案为(2m+n)(m+2n). (2)∵每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,∴mn=12,2m2+2n2=80,∴m2+n2=40,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=40+12×2=64,∴m+n=8,∴题图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为6m+6n=6(m+n)=48. 25.方法探究:已知二次多项式x2-4x-21,我们把x=-3代入多项式,发现x2-4x-21=0,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),则x2-4x-21=(x+3)(x+k),所以有x2-4x-21=x2+(k+3)x+3k,因为对应项的系数是相等的,所以k+3=-4,解得k=-7,因此x2-4x-21=(x+3)·(x-7).我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式x2-4,我们把x=　　　　代入该式,会发现x2-4=0成立;  (2)对于三次多项式x3-x2-3x+3,我们把x=1代入多项式,发现x3-x2-3x+3=0,由此可以推断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),试求a,b的值; (3)对于多项式x3+4x2-3x-18,用“试根法”分解因式. 解：(1)当x=±2时,x2-4=0,故答案为±2. (2)∵x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b),∴x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,∴1-a=1,b=-3,∴a=0. （3）当x=2时,x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0,∴多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2+mx+n),∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+mx+n),∴x3+4x2-3x-18=x3+(m-2)x2-(2m-n)x-2n,∴m-2=4,2n=18,∴m=6,n=9,∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)=(x-2)(x+3)2. 26．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 解：（1）∵是多项式的一个因式，∴当时，得， 解得：； （2）∵和是多项式的两个因式，∴可有，整理可得，解得， 即的值为，的值为； （3）由（2）可知，的值为，的值为，∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1，∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为，∴， 解得：，∴． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $