专题9.1 因式分解的概念（导图+知识梳理+二大题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共31题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.1 因式分解的概念 【原卷版】 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【易错点拨】 （1） 因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式， 乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 题型一 判断是否是因式分解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西抚州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【变式训练3】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【演练1】（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【演练2】（2024·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【演练3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 7．（25-26九年级上·山东淄博·月考）若多项式可分解为则 ， ． 8．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 培优拔高 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 6．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 10．阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 因式分解的概念 【解析版】 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【易错点拨】 （1） 因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式， 乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 题型一 判断是否是因式分解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西抚州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查分解因式的定义，解题的关键是理解：因式分解就是把一个多项式写成几个整式的乘积的形式．据此分析即可． 【完整解答】解：A．从左边到右边的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．从左边到右边的变形是因式分解，故此选项符合题意； C．等式的左右两边不相等，应改为，故此选项不符合题意； D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义进行判断作答即可． 【完整解答】解：中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； 是单项式，故B不符合题意； 符合因式分解的定义，故C符合题意； 中左右两边不相等，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【完整解答】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、是完全平方公式运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、分解不完全，不符合题意； 故选：． 【变式训练3】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【完整解答】解：、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，分解不完全，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【思路引导】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【完整解答】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 【变式训练2】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【思路引导】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【完整解答】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 【变式训练3】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【思路引导】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【完整解答】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【考点再现】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 【演练1】（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【完整解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【考点再现】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 【演练2】（2024·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【完整解答】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【考点再现】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 【演练3】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的定义解答． 【完整解答】解：中不是整式，故A选项不符合题意； 是整式乘法计算，故B选项不符合题意； 是因式分解，故C选项符合题意； 不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意； 故选：C． 【考点再现】此题考查因式分解的定义：将一个多项式写成几个整式的积的形式叫做将多项式分解因式，熟记定义是解题的关键． 基础夯实 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解是将多项式化为整式的积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【完整解答】解：A．该选项的右边不是积的形式，故该选项错误，不符合题意； B．该选项的变形是整式乘法，故该选项错误，不符合题意； C．的变形是因式分解，故该选项正确，符合题意； D．该选项的变形也是因式分解，但分解不彻底，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【完整解答】解： ， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了分解因式的定义，掌握分解因式的定义是解题的关键． 根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合． 【完整解答】解：根据分解因式的定义，即把一个多项式转化为几个整式的积的形式，可知， A、选项左边为乘积形式，右边为差的形式，是整式乘法，不是分解因式，不符合题目要求； B、选项左边为单项式，不是多项式，不是分解因式，不符合题目要求； C、选项左边为多项式，右边为整式乘积，是分解因式，符合题目要求； D、选项右边含有分式，不是整式乘积，不是分解因式，不符合题目要求． 故选：C． 4．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合即可得到答案． 【完整解答】解：A：右边出现分式，不是整式，不符合因式分解定义，不符合题意； B：右边是，为和的形式，不是积，不符合因式分解定义，不符合题意； C：右边是，为整式的积，符合因式分解定义，符合题意； D：右边是，为多项式，不是积的形式，是整式乘法，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【完整解答】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 6．（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【思路引导】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【完整解答】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 7．（25-26九年级上·山东淄博·月考）若多项式可分解为则 ， ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【完整解答】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 8．关于x的二次三项式因式分解的结果是，则b的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解的定义等知识点，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后进行比较得到a与b的值即可解答． 【完整解答】解：， ∵关于x的二次三项式因式分解的结果是， ∴。 故答案为：。 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【思路引导】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【完整解答】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为，由题意，得： 则 ，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为． 提出问题： (1)已知：二次三项式有一个因式是，求p的值． (2)已知：二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式为，k的值为 【思路引导】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，多项式乘以多项式，正确假设出另一个因式是解题关键． (1)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案； (2)利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【完整解答】（1）解：(1)设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，p的值为6； （2）设另一个因式为，由题意，得： 则 ， ∴， 解得， ∴另一个因式为，k的值为． 培优拔高 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，负整数指数幂，利用多项式乘以多项式的法则将展开，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【完整解答】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【完整解答】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【完整解答】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【完整解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【思路引导】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【完整解答】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 6．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】9 【思路引导】把展开，求出、的值，计算即可． 【完整解答】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【考点再现】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 7．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【完整解答】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【思路引导】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【完整解答】解：（1） ； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【思路引导】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【完整解答】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 10．阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据题目所介绍的方法得到，再将代入，即可求解； （2）根据题意可知是多项式的一个因式，根据题目所介绍的方法得到，将代入，即可求得，将 代入原式即可求解； （3）根据题目所介绍的方法得到，分别将，代入，联立得到二元一次方程组，求解得到，，得到直线的解析式为，根据函数图象经过的象限进行求解即可． 【完整解答】（1）解：设， 若时，则有， 将代入得， 解得． （2）解：∵可化为整式， ∴是多项式的一个因式． 设， 若时，则有，得． ∴， ∴原式． （3）解：∵和是多项式的两个因式， 设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，． ∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得 ∴，解得：． ②当，即时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【考点再现】本题考查了一次函数的性质，因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $