9.2提公因式法讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦提公因式法这一核心知识点，从因式分解概念切入，通过课前预习铺垫基础，知识探秘环节系统探究公因式确定方法（系数最大公约数、相同字母最低次幂）及提公因式步骤（找、提、写、验证），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料设计亮点突出，如“找公因式·速记口诀”助学生直观理解公因式确定规则，培养抽象能力；经典例题结合实际情境（如核电算法、校园植树），体现数学语言的应用价值；分层练习（基础过关、强化提优）兼顾不同学生需求，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第二节提公因式法》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解公因式的概念，能准确找出一个多项式各项的最大公因式；熟练运用提公因式法进行因式分解。 2.   通过类比整式乘法与因式分解的关系，体会 “ 互逆变形 ” 的数学思想，培养观察、归纳和运算能力。 3.   能运用提公因式法解决简单的代数计算与化简问题，并能解决部分实际应用问题。 4.   在探究因式分解方法的过程中，体验数学的简洁美，养成严谨细致的运算习惯。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点：熟练掌握提公因式法分解因式的步骤和方法。 （ 二 ） 难点： 1.   确定公因式：如何正确找出多项式各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积作为公因式。 2.   符号处理：当多项式第一项为负，或括号内各项符号需要调整时，正确添加括号和变号。 3.   彻底性：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 ) 三．课前预习 1.把一个多项式化为几个整式的____的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 2.多项式 ma + mb + cm 中，各项都含有一个公共的因式 m，我们把这个公共的因式叫做这个多项式各项的_______。 3.提公因式法的基本依据是乘法的___________，即 ma + mb + mc = m(a + b + c)。 4.因式分解与整式乘法是_______运算。 四．知识探秘 【问题】如何把多项式ab十ac十ad分解因式? 从左往右看，可以得到：a(b+c+d)=ab+ac +ad 从右往左看，可以得到：ab+ac +ad=a(b+c+d). 从左到右的变形是多项式ab十ac十ad的因式分解. 多项式ab十ac十ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式(common factor) 【尝试】找出下列多项式各项的公因式。 (1) a2b+ab2; (2)3x2-6x3; (3)9abc -6a2b2 +12abc2 探究一：如何找公因式？ 1、什么是因式？ 几个整式相乘得到一个多项式，那这几个相乘的整式，就叫做这个多项式的因式。 简单记：积里的乘数，就是因式。 例：m(a+b)=ma+mb；m、(a+b) 都是 ma+mb 的因式 2、什么是公因式？ 一个多项式里，每一项都共同拥有的因式，叫做各项的公因式。通俗说：大家都有的公共乘数，就是公因式。 例：6x2y-9xy2 第一项：6x2y=2·3·x·x·y 第二项：9xy2=3·3·x·y·y 共同都有的：3xy → 就是公因式 3、一句话理解精髓 （1）因式：拆开相乘的小式子 （2）公因式：每一项都一模一样、共用的式子 （3）提公因式：把公共部分提出来，反过来用乘法分配律 4、找公因式： （1）系数：取各项最大公因数。 （2）字母：取都有的相同字母。 （3）次数：字母取最低次方。 【议一议】 （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么? （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?与同伴交流. 例1.（1）求多项式 4a2b - 6ab2 + 8ab 的公因式： （2）求多项式 3(x-1) + 5(x-1)2 的公因式： （3）求多项式 -2x3y + 4x2y2 - 6xy3 的公因式： 首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数 x^1y^1 → 公因式为 -2xy。 5.易错点提醒 （1）公因式可以是单项式，也可以是多项式。 （2）提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得 1，不能省略（如 2x2 - 6x + 2 = 2(x2- 3x + 1)，最后一项的 1 必须保留）。 （3）遇到互为相反数的因式（如 (x-y) 与 (y-x)），先变形：(y-x) = -(x-y)，再提取公因式。 【找公因式·速记口诀】 系数先看最大公，约尽系数就成功； 相同字母留下它，不同字母直接扔； 相同字母低次幂，指数取小要记清。 探究二：提公因式法的步骤 【尝试】分解因式：4x3 - 6x2 找出公因式：系数最大公约数是2，相同字母是x，最低次幂是x2，所以公因式是 2x2。 提取公因式：用原式除以公因式，得到另一个因式。 4x3 - 6x2 = 2x2(2x - 3) 1.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例2.把下列各式因式分解: (1)3x+x3; (2)7x3-21x2; (3)8a3b2-12ab2c+ab; (4)-24x3+12x2-28x. 2.提公因式法的分解步骤 （1）第一步“找”：找出公因式为； （2）第二步“提”：将各项除以公因式，得到另一个因式； （3）第三步“写”：将多项式表示为公因式与另一个因式的乘积； （4）验证：用整式乘法展开结果，看是否与原多项式相等。 “一找、二提、三写、四验证”，提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得1，1不能省略。 五．经典例题 例1. 多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（　　 ） A. 5mn B. 5m2n2 C. 5m2n D. 5mn2 例2. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 例3. 把多项式－x2＋x提取公因式－x后，余下的部分是( ) A. X B. x－1 C. x＋1 D. x2 例4. －9a2b＋3ac2－6abc各项的公因式是_______； 例5. 中各项的公因式是_____. 例6. 因式分解：x2﹣3x=_____． 例7. 题图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：_____________． 例8. 计算：17×3.14＋61×3.14＋22×3.14； 六．基础过关 （一）．选择题 1. 多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ） A. xmyn B. xmyn-1 C. 4xmyn D. 4xmyn-1 2. 把多项式-4a3+4a2-16a分解因式( ) A. -a（4a2-4a+16） B. a（-4a2+4a-16） C. -4（a3-a2+4a） D. -4a（a2-a+4） 3. 如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（ ） A. B. C. D. 4. 用提公因式法分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式公因式是a的是（ ） A. ax＋ay＋5 B. 3ma－6ma2 C. 4a2＋10ab D. a2－2a＋ma 6. -6xyz+3xy2-9x2y的公因式是（　　） A. -3x B. 3xz C. 3yz D. -3xy 7. 把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( ) A. 8（7a-8b）（a-b） B. 2（7a-8b）2 C. 8（7a-8b）（b-a） D. -2（7a-8b） 8. 把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ） A. （x－y）（x－y－1） B. （y－x）（x－y－1） C. （y－x）（y－x－1） D. （y－x）（y－x＋1） 9.下列各个分解因式中正确的是（ ） A. 10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B. （a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1） C. x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1） D. （a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a） 10. 观察下列各式：①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2．其中有公因式的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ （二）．填空题 11.2026年海南“玲龙一号”冷态试验成功，其设备管路长度可表示为代数式，因式分解：-10x2y + 15xy2 = ________。 12.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________． 13.八年级班级筹备2026年新春联欢会，购买糖果花费5x2z + 10xyz元，因式分解该代数式得________。 14.2026年中国核电智能化升级，用到的AI巡检机器人算法中，因式分解：8a3b2 - 12a2b3 = ________。 15.史青《应诏赋得除夜》“寒随一夜去”描写岁末迎新，因式分解：-6m3n2 + 9m2n3 = ________。 16.学生计算2025年校园植树棵数，得到代数式7x2y - 14xy2，因式分解得________。 17．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为________. 18．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为________. 19．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于　　 ． 20．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2030的值等于 　 　 ． （三）．解答题 21.请把下列各式分解因式 （1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2 （3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y) （5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6） （7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）（8）6a(b－1)2＋2(1－b)． 22. 满足下列等式的x的值． （1）5x2-15x=0 （2）5x(x-2)-4(2-x)=0 23. 按要求答题 （1）已知a=-5,a+b+c=-5.2，求代数式a2(-b-c)-3.2a(c+b)的值． 24．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共应用了 　　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2026，则需应用上述方法 　 　 次，结果是 　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 25．阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式． 解法一：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 解法二：am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（m+n）（a+b） 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n； （2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，试判断△ABC的形状． 七．知识清单 1.多项式中，各项都含有的______，叫做这个多项式的公因式。 2.确定多项式公因式的方法： （1）系数：取各项系数的______； （2）字母：取各项都含有的______； （3）指数：取相同字母（或因式）的______。 3.若多项式的首项系数为负数，提取公因式时，公因式的系数应取______，同时多项式各项都要______。 4.提公因式法：如果一个多项式的各项含有______，那么就可以把这个______提取出来，将多项式化成______与另一个______的______的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 5.提公因式法因式分解的依据是______（填运算律）。 6.用提公因式法分解因式的步骤： （1）：准确找出多项式各项的公因式； （2）：将多项式各项除以公因式，得到各项余下的因式； （3）______：将公因式与各项余下的因式写成______的形式。 7.多项式ma+mb+mc分解因式的结果是______。 8.提取公因式后，括号内的多项式项数与原多项式的项数______（填“相同”或“不同”）。 9.提公因式时，若某一项与公因式完全相同，提取后该项余下的因式是______，不能遗漏。 10.因式分解的结果必须是几个______的______的形式，且分解要______。 八．强化提优 （一）选择题 1. 多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） A. -6ab2c B. -ab2 C. -6ab2 D. -6a3b2c 2. 下列各式成立的是（ ） A. －x－y＝－（x－y） B. y－x＝x－y C. （x－y）2＝（y－x）2 D. （x－y）3＝（y－x）3 3. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ） A. B. C. D. 4. 利用提公因式法分解多项式可以得到（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个多项式可以分解因式得，那么M等于( ) A. B. C. D. 7. 下列各多项式因式分解错误的是（ ） A.( a-b) ³-(b-a)2=（a-b)2(a-b-1) B. x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y) C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q) D. (a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b) 8. 把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( ) A. 8（7a-8b）（a-b） B. 2（7a-8b）2 C. 8（7a-8b）（b-a） D. -2（7a-8b） 9. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( ) A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2 10．已知x2+x﹣1＝0，求2025x3+2024x2﹣2026x+1的值是（　　） A．2026 B．2027 C．1 D．0 （二）填空题 11. 分解因式3x(x-2)-(2-x)=__________ 12. 利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32=__________ 13. 分解因式：（x+y)²-x-y=__________ 14. 已知，，则=_____________ 15. 若xm=5 xn=6 叫xm- xm+2n=__________ 16. 将分解因式，应提取的公因式是___________ 17. 分解因式___________ 18. ______ 19．已知实数a，b，x，y满足，，则 . 20.若，，则 ． （三）解答题 21．把下列各式分解因式： (1)5xy－10x； (2)． 22. 用简便方法计算： (1)1.992＋1.99×0.01； (2)20262＋2026－20272. 23.(1)因式分解: (2)设，是否存在，使得(1)中式子的化简结果为?若存在，求出所有满足条件的的值;若不存在，请说明理由. 24. 先因式分解，再求值： (1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102； (2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值． 25.阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是　　　　　　,共应用了　　　　次.  (2)请用上述方法分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)5. 26．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第二节提公因式法》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解公因式的概念，能准确找出一个多项式各项的最大公因式；熟练运用提公因式法进行因式分解。 2.   通过类比整式乘法与因式分解的关系，体会 “ 互逆变形 ” 的数学思想，培养观察、归纳和运算能力。 3.   能运用提公因式法解决简单的代数计算与化简问题，并能解决部分实际应用问题。 4.   在探究因式分解方法的过程中，体验数学的简洁美，养成严谨细致的运算习惯。 ) 二．重点难点 ( （ 一 ） 重点：熟练掌握提公因式法分解因式的步骤和方法。 （ 二 ） 难点： 1.   确定公因式：如何正确找出多项式各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积作为公因式。 2.   符号处理：当多项式第一项为负，或括号内各项符号需要调整时，正确添加括号和变号。 3.   彻底性：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 ) 三．课前预习 1.把一个多项式化为几个整式的____的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。 2.多项式 ma + mb + cm 中，各项都含有一个公共的因式 m，我们把这个公共的因式叫做这个多项式各项的_______。 3.提公因式法的基本依据是乘法的___________，即 ma + mb + mc = m(a + b + c)。 4.因式分解与整式乘法是_______运算。 【答案】 1.积 2.公因式 3.分配律 4.互逆 四．知识探秘 【问题】如何把多项式ab十ac十ad分解因式? 从左往右看，可以得到：a(b+c+d)=ab+ac +ad 从右往左看，可以得到：ab+ac +ad=a(b+c+d). 从左到右的变形是多项式ab十ac十ad的因式分解. 多项式ab十ac十ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式(common factor) 【尝试】找出下列多项式各项的公因式。 (1) a2b+ab2; (2)3x2-6x3; (3)9abc -6a2b2 +12abc2 【解析】(1) 系数：两项系数都是1，最大公约数是1；字母：两项都含字母a、b；次数：a的最低次幂是1，b的最低次幂是1；公因式：ab (2) 系数：3和-6的最大公约数是3；字母：两项都含字母x；次数：x的最低次幂是2；公因式：3x2 (3) 系数：9、-6、12的最大公约数是3；字母：三项都含字母a、b；次数：a的最低次幂是1，b的最低次幂是1，c不是三项都有，不纳入公因式；公因式：3ab 探究一：如何找公因式？ 1、什么是因式？ 几个整式相乘得到一个多项式，那这几个相乘的整式，就叫做这个多项式的因式。 简单记：积里的乘数，就是因式。 例：m(a+b)=ma+mb；m、(a+b) 都是 ma+mb 的因式 2、什么是公因式？ 一个多项式里，每一项都共同拥有的因式，叫做各项的公因式。通俗说：大家都有的公共乘数，就是公因式。 例：6x2y-9xy2 第一项：6x2y=2·3·x·x·y 第二项：9xy2=3·3·x·y·y 共同都有的：3xy → 就是公因式 3、一句话理解精髓 （1）因式：拆开相乘的小式子 （2）公因式：每一项都一模一样、共用的式子 （3）提公因式：把公共部分提出来，反过来用乘法分配律 4、找公因式： （1）系数：取各项最大公因数。 （2）字母：取都有的相同字母。 （3）次数：字母取最低次方。 【议一议】 （1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么? 【解析】系数：2 和 6 的最大公因数是 2。字母：两项都含有 x，取最低次幂 x2。公因式：2x2。 （2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?与同伴交流. 【解析】2x2+6x3 = 2x2(1 + 3x) 例1.（1）求多项式 4a2b - 6ab2 + 8ab 的公因式： （2）求多项式 3(x-1) + 5(x-1)2 的公因式： （3）求多项式 -2x3y + 4x2y2 - 6xy3 的公因式： 首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数 x^1y^1 → 公因式为 -2xy。 【解析】（1）系数最大公因数是 2，相同字母是 a,b，最低指数都是1 → 公因式为 2ab。 （2）相同多项式因式是 (x-1)，系数最大公因数是 1 → 公因式为 (x-1)。 （3）首项为负，系数最大公因数是 2，相同字母 x,y，最低指数都是 1 → 公因式为 -2xy。 5.易错点提醒 （1）公因式可以是单项式，也可以是多项式。 （2）提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得 1，不能省略（如 2x2 - 6x + 2 = 2(x2- 3x + 1)，最后一项的 1 必须保留）。 （3）遇到互为相反数的因式（如 (x-y) 与 (y-x)），先变形：(y-x) = -(x-y)，再提取公因式。 【找公因式·速记口诀】 系数先看最大公，约尽系数就成功； 相同字母留下它，不同字母直接扔； 相同字母低次幂，指数取小要记清。 探究二：提公因式法的步骤 【尝试】分解因式：4x3 - 6x2 找出公因式：系数最大公约数是2，相同字母是x，最低次幂是x2，所以公因式是 2x2。 提取公因式：用原式除以公因式，得到另一个因式。 4x3 - 6x2 = 2x2(2x - 3) 1.提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 例2.把下列各式因式分解: (1)3x+x3; (2)7x3-21x2; (3)8a3b2-12ab2c+ab; (4)-24x3+12x2-28x. 解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2); (2)7x3-21x2=7x2·x-7x ·3=7x2(x-3); (3)8a3b2-12ab2c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1); (4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7). 2.提公因式法的分解步骤 （1）第一步“找”：找出公因式为； （2）第二步“提”：将各项除以公因式，得到另一个因式； （3）第三步“写”：将多项式表示为公因式与另一个因式的乘积； （4）验证：用整式乘法展开结果，看是否与原多项式相等。 “一找、二提、三写、四验证”，提取公因式后，另一个因式的项数与原多项式一致，若某项除以公因式得1，1不能省略。 五．经典例题 例1. 多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（　　 ） A. 5mn B. 5m2n2 C. 5m2n D. 5mn2 【答案】C 【解析】多项式15n²+5m²n−20m² 中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以它的公因式是5m²n.故选C. 例2. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是（ ） A. a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 )2 －4 【答案】A 【解析】a2－4a=a（a－4）． 故选：A． 例3. 把多项式－x2＋x提取公因式－x后，余下的部分是( ) A. X B. x－1 C. x＋1 D. x2 【答案】B 【解析】根据因式分解的提公因式，提取公因式-x，可得－x2＋x=-x（x-1），所以剩余部分为x-1.故选B。 例4. －9a2b＋3ac2－6abc各项的公因式是_______； 【答案】－3a 【解析】根据提公因式法因式分解，可知其是首项为“﹣”的多项式，因此可知其公因式为-3a.故答案为-3a. 例5. 中各项的公因式是_____. 【答案】 【解析】根据题意，，∴公因式为，故答案为：. 例6. 因式分解：x2﹣3x=_____． 【答案】x（x﹣3） 【解析】提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）． 例7. 题图中四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：_____________． 【答案】m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）． 【解析】从整体来计算矩形的面积：m(a+b+c)，从部分来计算矩形的面积：ma+mb+mc， 所以m(a+b+c)=ma+mb+mc故答案为m(a+b+c)=ma+mb+mc． 例8. 计算：17×3.14＋61×3.14＋22×3.14； 【答案】314 【解析】：17×3.14＋61×3.14＋22×3.14=3.14×（17+61+22）=3.14×100=314 六．基础过关 （一）．选择题 1. 多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ） A. xmyn B. xmyn-1 C. 4xmyn D. 4xmyn-1 【答案】D 【解析】由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D 2. 把多项式-4a3+4a2-16a分解因式( ) A. -a（4a2-4a+16） B. a（-4a2+4a-16） C. -4（a3-a2+4a） D. -4a（a2-a+4） 【答案】D 【解析】把多项式-4a3+4a2-16a运用提取公因式法因式分解，可得-4a3+4a2-16a=-4a（a2-a+4）． 故选D． 3. 如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】：，故另一个因式为， 故选：A． 4. 用提公因式法分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误； B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误； C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确； D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．故选：C． 5. 下列各式公因式是a的是（ ） A. ax＋ay＋5 B. 3ma－6ma2 C. 4a2＋10ab D. a2－2a＋ma 【答案】D 【解析】根据公因式的定义依次分析各项即可判断.A．ax＋ay＋5没有公因式，B．3ma－6ma2公因式是3ma，C．4a2＋10ab公因式是2a，故错误；D．a2－2a＋ma公因式是a，本选项正确. 6. -6xyz+3xy2-9x2y的公因式是（　　） A. -3x B. 3xz C. 3yz D. -3xy 【答案】D 【解析】通过观察可知原式的公因式为-3xy，直接提取即可． 7. 把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( ) A. 8（7a-8b）（a-b） B. 2（7a-8b）2 C. 8（7a-8b）（b-a） D. -2（7a-8b） 【答案】C 【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C. 8. 把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ） A. （x－y）（x－y－1） B. （y－x）（x－y－1） C. （y－x）（y－x－1） D. （y－x）（y－x＋1） 【答案】C 【解析】（x-y）2-（y-x）=（y－x）2－（y－x）=（y－x）（y－x－1）故选C． 9.下列各个分解因式中正确的是（ ） A. 10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c） B. （a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1） C. x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1） D. （a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a） 【答案】D 【解析】根据因式分解的方法依次分析各项即可判断.A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c+1），故错误；B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）3－（a－b）2＝（a－b）2（a－b－1），故错误；C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝x（b＋c－a）+y（b＋c－a）－（a－b＋c），无法因式分解，故错误；D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（3a＋b）－5（a－2b）2＝（a－2b）（3a＋b－5a+10b）＝（a－2b）（11b－2a），本选项正确. 10. 观察下列各式：①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2．其中有公因式的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】：①2a＋b和a＋b，④x2－y2和x2+y2，没有公因式；②5m（a－b）和－a＋b=－（a－b），公因式为a－b，③3（a＋b）和－a－b=－（a＋b），公因式为a+b，故选B. （二）．填空题 11.2026年海南“玲龙一号”冷态试验成功，其设备管路长度可表示为代数式，因式分解：-10x2y + 15xy2 = ________。 【答案】：-5xy(2x - 3y) 【解析】：首项符号为负，公因式取-5xy（系数10和15的最大公约数5，带负号），各项除以公因式得2x - 3y，故结果为-5xy(2x - 3y)。 12.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________． 【答案】4x10y3 【解析】运用公因式的概念，系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是x10y3，可得公因式为4x10y3．故答案为4x10y3. 13.八年级班级筹备2026年新春联欢会，购买糖果花费5x2z + 10xyz元，因式分解该代数式得________。 【答案】：5xz(x + 2y) 【解析】：公因式为5xz（系数5和10的最大公约数5，字母x、z的最低次幂x、z），提取后括号内为x + 2y，因此5x2z + 10xyz = 5xz(x + 2y)。 14.2026年中国核电智能化升级，用到的AI巡检机器人算法中，因式分解：8a3b2 - 12a2b3 = ________。 【答案】：4a2b2(2a - 3b) 【解析】：系数8和12的最大公约数是4，字母a、b的最低次幂分别为a2、b2，公因式为4a2b2，提取后得2a - 3b，故分解结果为42ab(22a - 3b)。 15.史青《应诏赋得除夜》“寒随一夜去”描写岁末迎新，因式分解：-6m3n2 + 9m2n3 = ________。 【答案】：-3m2n2(2m - 3n) 【解析】：公因式取-3m2n2（系数6和9的最大公约数3，首项为负带负号，字母取最低次幂），各项除以公因式得2m - 3n，即结果为-3m2n2(2m - 3n)。 16.学生计算2025年校园植树棵数，得到代数式7x2y - 14xy2，因式分解得________。 【答案】：7xy(x - 2y) 【解析】：公因式为7xy（系数7和14的最大公约数7，字母x、y的最低次幂x、y），提取后括号内为x - 2y，因此7x2y - 14xy2 = 7xy(x - 2y)。 17．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为________. 【答案】12 【解析】∵a＝2，a﹣2b＝3，∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12． 18．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为________. 【答案】5xy 【解析】5xy2-25x2y系数最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，故其公因式是5xy. 19．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于　　 ． 【答案】13 【解析】（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）] ＝（7x﹣3）（8x﹣9）∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）＝（ax+b）（8x﹣c）， 20．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2030的值等于 　　 ． 【答案】2026 【解析】由x2﹣2x﹣1＝0得：x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，原式＝3x（2x+1）﹣10x2+5x+2030 ＝6x2+3x﹣10x2+5x+2030＝﹣4x2+8x+2030＝﹣4（x2﹣2x）+2030＝﹣4×1+2030＝2026． 故答案为：6． （三）．解答题 21.请把下列各式分解因式 （1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2 （3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y) （5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6） （7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）（8）6a(b－1)2＋2(1－b)． 解：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y) （2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2 （3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m) （4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab) （5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）； （6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）； （7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n） （8）6a(b－1)2＋2(1－b)＝6a(1－b)2＋2(1－b)＝2(1－b)[3a·(1－b)＋1]＝2(1－b)(3a－3ab＋1)． 22. 满足下列等式的x的值． （1）5x2-15x=0 （2）5x(x-2)-4(2-x)=0 解：（1）5x2-15x=5x(x-3)=0，则5x=0或x-3=0，∴x=0或x=3 （2）(x-2)(5x+4)=0，则x-2=0或5x+4=0，∴x=2或x=-. 23. 按要求答题 （1）已知a=-5,a+b+c=-5.2，求代数式a2(-b-c)-3.2a(c+b)的值． 解∵a=-5,a+b+c=-5.2,∴b+c=-0.2∴a2(-b-c)-3.2a(c+b)=-a2(b+c)-3.2a·(b+c) =(b+c)(-a2-3.2a)=-a(b+c)(a+3.2)=5×(-0.2)×(-1.8)=1.8. （2）如果a+b=﹣4，ab=2，求式子4a2b+4ab2﹣4a﹣4b的值． 解：∵a+b=−4，ab=2， 答：式子的值为−16. 24．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是 　 　 ，共应用了 　　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2026，则需应用上述方法 　 　 次，结果是 　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 解：（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；故答案为：提公因式法，2； （2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+xx（x+1）2026，则需应用上述方法2026次，结果是（1+x）2027； 故答案为：2026，（1+x）202； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n＝（1+x）n+1． 25．阅读理解：把多项式am+an+bm+bn分解因式． 解法一：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 解法二：am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（m+n）（a+b） 观察上述因式分解的过程，回答下列问题： （1）分解因式：m2x﹣3m+mnx﹣3n； （2）已知：a，b，c为△ABC的三边，且a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，试判断△ABC的形状． 解：（1）m2x﹣3m+mnx﹣3n＝m（mx﹣3）+n（mx﹣3）＝（mx﹣3）（m+n）； （2）∵a3﹣a2b+5ac﹣5bc＝0，∴a2（a﹣b）+5c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a2+5c）＝0， ∵a，b，c为△ABC的三边，∴a2+5c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形． 七．知识清单 1.多项式中，各项都含有的______，叫做这个多项式的公因式。 2.确定多项式公因式的方法： （1）系数：取各项系数的______； （2）字母：取各项都含有的______； （3）指数：取相同字母（或因式）的______。 3.若多项式的首项系数为负数，提取公因式时，公因式的系数应取______，同时多项式各项都要______。 4.提公因式法：如果一个多项式的各项含有______，那么就可以把这个______提取出来，将多项式化成______与另一个______的______的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 5.提公因式法因式分解的依据是______（填运算律）。 6.用提公因式法分解因式的步骤： （1）：准确找出多项式各项的公因式； （2）：将多项式各项除以公因式，得到各项余下的因式； （3）______：将公因式与各项余下的因式写成______的形式。 7.多项式ma+mb+mc分解因式的结果是______。 8.提取公因式后，括号内的多项式项数与原多项式的项数______（填“相同”或“不同”）。 9.提公因式时，若某一项与公因式完全相同，提取后该项余下的因式是______，不能遗漏。 10.因式分解的结果必须是几个______的______的形式，且分解要______。 【答案】 1.公共因式 2.（1）最大公约数；（2）相同字母（或相同因式）；（3）最低次幂 3.负数；变号 4.公因式；公因式；公因式；多项式；乘积 5.乘法分配律 6.（1）找公因式；（2）提公因式；（3）写结果；乘积 7.m(a+b+c) 8.相同 9.1 10.整式；乘积；彻底 八．强化提优 （一）选择题 1. 多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） A. -6ab2c B. -ab2 C. -6ab2 D. -6a3b2c 【答案】C 【解析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c中，系数的最大公约数是-6，相同字母的最低指数次幂是ab2，因此公因式是-6ab2，故选C. 2. 下列各式成立的是（ ） A. －x－y＝－（x－y） B. y－x＝x－y C. （x－y）2＝（y－x）2 D. （x－y）3＝（y－x）3 【答案】C 【解析】根据添括号法则，可知-x-y=-（x+y），故不正确；根据x-y与y-x互为相反数，故不正确；根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）2＝（y－x）2，故正确；根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）3＝-（y－x）3，故不正确.故选C. 3. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用因式分解是整式乘法的逆运算，可知=.故选C. 4. 利用提公因式法分解多项式可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据因式分解法—提公因式，可由公因式的确定方法：多项式的公因式是，所以提取公因式分解为.故选B. 5. 把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据因式分解法—提公因式，可由a-2与2-a互为相反数，先变形，再提公因式a-2可得：= = .故选B. 6. 如果一个多项式可以分解因式得，那么M等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴．故选：B． 7. 下列各多项式因式分解错误的是（ ） A.( a-b) ³-(b-a)2=（a-b)2(a-b-1) B. x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y) C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q) D. (a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b) 【答案】D 【解析】A. ∵( a-b) ³-(b-a)2= ( a-b) ³-(a-b)2= （a-b)2(a-b-1) , 故正确； B. x(a-b-c)-y(b+c-a)= x(a-b-c)+y(a-b-c)= (a-b-c)(x+y), 故正确；C. p(m-n)3-pq(n-m)3= P(m-n)3+pq(m-n)3=p(m-n)3(1+q) , 故正确； D. (a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2= (a-2b)(7a+b)-2(a-2b)2 =(a-2b)(5a+5b)=5 (a-2b)(a+b), 故不正确；故选D. 8. 把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( ) A. 8（7a-8b）（a-b） B. 2（7a-8b）2 C. 8（7a-8b）（b-a） D. -2（7a-8b） 【答案】C 【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C. 9. 把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是( ) A. m+1 B. 2m C. 2 D. m+2 【答案】D 【解析】（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），=（m﹣1）（m+1+1），=（m﹣1）（m+2）．故选D． 10．已知x2+x﹣1＝0，求2025x3+2024x2﹣2026x+1的值是（　　） A．2026 B．2027 C．1 D．0 【答案】D 【解析】：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴2025x3+2024x2﹣2026x+1＝2025x3+2025x2﹣x2﹣2026x+1＝2025x（x2+x）﹣x2﹣2026x+1＝2025x﹣x2﹣2026x+1＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x2+1）+1 ＝﹣1+1＝0，故选：D． （二）填空题 11. 分解因式3x(x-2)-(2-x)=__________ 【答案】(x-2)(3x+1) 【解析】3x(x-2)-(2-x)= 3x(x-2)+(x-2)= (x-2)(3x+1). 12. 利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32=__________ 【答案】31.4 【解析】3.68×15.7-31.4+15.7×0.32=3.68×15.7-15.7×2+15.7×0.32=15.7×（3.68-2+0.32）=15.7×2=31.4 13. 分解因式：（x+y)²-x-y=__________ 【答案】(x+y)(x+y-1) 【解析】（x+y)²-x-y=（x+y)²-(x+y)=(x+y)(x+y-1) 14. 已知，，则=_____________ 【答案】63 【解析】∵a+b=9，ab=7， ∴原式=ab（a+b）=79=63故答案为63. 15. 若xm=5 xn=6 叫xm- xm+2n=__________ 【答案】-175 【解析】∵xm=5 ,xn=6 ，∴(xn)2=62，∴ x2n=36 ∴xm- xm+2n= xm(1- x2n)=5×（1-36）=-175 16. 将分解因式，应提取的公因式是___________ 【答案】 【解析】由x-y与y-x互为相反数，变形后提公因式3（x-y），可得=3（x-y）（a-3b）.故答案为3（x-y）. 17. 分解因式___________ 【答案】 【解析】根据提公因式法分解因式，可得=. 故答案为. 18. ______ 【答案】 【解析】根据提公因式法分解因式，可得=x（）.故答案为. 19．已知实数a，b，x，y满足，，则 . 【答案】20 【解析】∵，∴，∵，∴， ，故答案为：20． 20.若，，则 ． 【答案】15 【解析】∵，，∴ ．故答案为：15． （三）解答题 21．把下列各式分解因式： (1)5xy－10x； (2)． 解：（1）原式． （2）原式． 22. 用简便方法计算： (1)1.992＋1.99×0.01； (2)20262＋2026－20272. 解：（1）原式=1.99（1.99+0.01）=1.99×2=3.98 （2）原式=2026（2026+1）-20272=2026×2027-20272=2027（2026-2027）=－2027 23.(1)因式分解: (2)设，是否存在，使得(1)中式子的化简结果为?若存在，求出所有满足条件的的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在，使得将代入上式得令即解得或 24. 先因式分解，再求值： (1)5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102； (2)已知b－a＝6，ab＝7，求a2b－ab2的值． 解：(1)原式＝x(a－2)×(5－4)＝x(a－2)，当x＝0.4，a＝102时，原式＝0.4×(102－2)＝40 (2)原式＝ab(a－b)＝－ab(b－a)＝－7×6＝－42 25.阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题: 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是　　　　　　,共应用了　　　　次.  (2)请用上述方法分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)5. 解:(1)提公因式法　2 (2)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)4]=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)3] =(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2]=(1+x)4[1+x+x(x+1)]=(1+x)5(1+x)=(1+x)6. 26．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． 解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x2+x+2025＝1+2025＝2026；故答案为：2026； （2）∵a+b＝3，∴2（a+b）﹣a﹣b+21＝2（a+b）﹣（a+b）+21＝（a+b）+21＝3+21＝24； （3）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，∴a2+b2+4ab＝（a2+2ab）+（b2+2ab）＝20+8＝28；故答案为：28； （4）当x＝1时，ax5+bx3+cx﹣5＝a+b+c﹣5＝m，∴a+b+c＝m+5，∴当x＝﹣1时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣a﹣b﹣c﹣5＝﹣（a+b+c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣10． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $