2026年九年级中考数学复习 实数和二次根式

新初三复习（实数和二次根式） 一．选择题（共6小题） 1．的算术平方根是（　　） A． B．﹣ C． D．± 2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　） A． B． C． D． 6．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 二．填空题（共6小题） 7．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　 　． 8．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　 　米． 9．若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为 　 　． 10．实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝　 　，b＝　 　． 11．计算的结果等于 　 　． 12．已知某三角形三条边的长分别为cm，cm，cm，则它的周长为 　 　cm． 三．解答题（共8小题） 13．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1﹣的值． 14．已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根． 15．已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值． 16．观察下列各式：；；…， 请你猜想： （1）＝　 　，＝　 　． （2）计算（请写出推导过程）： （3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来 　 　． 17．先化简再求值：已知a＝，b＝，求． 18．如果最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+． 19．若实数x，y满足y＝++2，求的值． 20．如图，在数轴上点O，B，C所表示的数分别为0，1，，点B到点C的距离与点O到点A的距离相等．设点A所表示的实数为x， （1）求出实数x的值； （2）求的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．的算术平方根是（　　） A． B．﹣ C． D．± 【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案． 【解答】解：＝的算术平方根是：． 故选：C． 【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键． 2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（　　） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝7， ∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7， ∴AC×BC＝14， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64， ∴AC+BC＝8（负值舍去）， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14， 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项． 【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣， ∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误； a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误； ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键． 4．把x根号外的因数移到根号内，结果是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【分析】由x得出x＜0，再利用二次根式的性质来化简求解． 【解答】解：由x可知x＜0， 所以x＝﹣＝﹣， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内． 5．下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案． 【解答】解：A、3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误； B、6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误； C、2x﹣6≥0，解得x≥3，故此选项正确； D、x﹣3＞0，解得x＞3，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数． 6．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使代数式有意义， 则x﹣3≠0，x≥0， 解得，x≥0且x≠3， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 7．如图，长方形ABCD中，AB在数轴上，AB＝3，BC＝1，若以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M的表示的数为 　﹣1　． 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝1， ∴AC＝＝， ∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M， AM＝AC＝， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示的数为：﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，利用勾股定理得到AC的长是解题关键． 8．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　24　米． 【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米． 【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米， 根据勾股定理得BC＝＝15米， 于是折断前树的高度是15+9＝24米． 故答案为：24． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单． 9．若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为 　10或2　． 【分析】分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是＝2． 【解答】解：①当6和8为直角边时， 第三边长为＝10； ②当8为斜边，6为直角边时， 第三边长为＝2． 故答案为：10或2． 【点评】一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑． 10．实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝　﹣4　，b＝　8　． 【分析】由于平方、绝对值及二次根式都具有非负性，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0，得出关于a、b的方程组，再根据二次根式的性质和分式的意义，确定a的取值范围，从而求出a、b的值． 【解答】解：由题意，得， 解得． 故a＝﹣4，b＝8． 【点评】解决此题的关键： （1）掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0； （2）几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 11．计算的结果等于 　3　． 【分析】利用平方差公式求解． 【解答】解：原式＝7﹣4＝3． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 12．已知某三角形三条边的长分别为cm，cm，cm，则它的周长为 　9　cm． 【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【解答】解：++， ＝3+2+4， ＝9， 答：则它的周长为9cm． 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次根式的应用，把各个二次根式化为最简二次根式是关键． 三．解答题（共8小题） 13．我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1﹣的值． 【分析】1、用2与﹣2来验证即可． 2、根据题的结论计算． 【解答】解：（1）∵2+（﹣2）＝0， 而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8﹣8＝0， ∴结论成立； ∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的． （2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5＝0， ∴x＝4， ∴1﹣＝1﹣2＝﹣1． 【点评】本题主要考查了立方根的定义，是开放题，根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”答题． 14．已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根． 【分析】直接利用平方根以及算术平方根的定义得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵2b+1的平方根为±3， ∴2b+1＝9， 解得：b＝4， ∵3a+2b﹣1的算术平方根为4， ∴3a+2b﹣1＝16， 则3a+8﹣1＝16， 解得：a＝3， 则a+2b＝11， 故a+2b的平方根是：±． 【点评】此题主要考查了平方根以及算术平方根，正确得出a，b的值是解题关键． 15．已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值． 【分析】先分母有理化，再代入根据平方差公式和简便计算求值即可． 【解答】解：x＝＝，y＝＝， ∴（x+2）（y+2） ＝xy+2（x+y）+4 ＝+2+4 ＝4+2 【点评】考查了分母有理化和代数式求值，注意公式和整体思想的运用可以简化计算． 16．观察下列各式：；；…， 请你猜想： （1）＝　5　，＝　6　． （2）计算（请写出推导过程）： （3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来 　　． 【分析】认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积． 【解答】解：（1），； （2）； （3）（n≥1）． 【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律． 17．先化简再求值：已知a＝，b＝，求． 【分析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体的方法计算． 【解答】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2， ∴a+b＝2，ab＝1， ∴＝＝＝＝4． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 18．如果最简二次根式与是同类二次根式． （1）求出a的值； （2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+． 【分析】（1）根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案． （2）根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a a＝3 （2）∵a＝3， ∴3≤x≤6 ∴x﹣2≥1，x﹣6≤0 原式＝|x﹣2|+|x﹣6| ＝x﹣2﹣（x﹣6） ＝4 【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型． 19．若实数x，y满足y＝++2，求的值． 【分析】根据被开方数是非负数，可得x，y的值，根据代数式求值，可得答案． 【解答】解：由题意，得1﹣x≥0，x﹣1≥0， 解得x＝1， 当x＝1时，y＝2． 当x＝1，y＝2时，＝． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出x，y的值是解题关键． 20．如图，在数轴上点O，B，C所表示的数分别为0，1，，点B到点C的距离与点O到点A的距离相等．设点A所表示的实数为x， （1）求出实数x的值； （2）求的值． 【分析】（1）直接利用BC＝OA，结合A，B，C的位置得出答案； （2）直接把x的值代入进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：BC＝AO＝﹣1， 则x＝﹣1； （2） ＝（﹣1﹣）2+（﹣1+1）2 ＝1+3 ＝4． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确表示出线段长是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/11 18:58:32；用户：朱紫轩；邮箱：18954759860；学号：39392167 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $