第九章图形的相似复习课 导学案 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册 -

该初中数学导学案以“图形的相似”为核心，围绕比例线段、相似三角形判定与性质、位似等概念，设计两课时递进学习路径。第一课时梳理基础概念与判定方法，第二课时聚焦性质应用与位似，通过知识梳理-考点精练-综合测评的任务关联，构建完整知识体系。 亮点在于分层设计与核心素养培养，知识梳理通过填空强化抽象能力，考点精练设置证明题如相似三角形判定，培养推理意识，综合测评融入中考真题提升应用意识。答案解析提供详细思路，助力学生深度学习，为教师单元复习提供系统指导。

第九章图形的相似复习课(1) 【知识梳理】 1．两条线段____的比叫做这两条线段的____．在四条线段a、b、c、d中，若a：b＝c：d，则称a、b、c、d四条线段成_ ___．若a：b＝b：c，则线段b叫做线段a和c的比例___ __． 2.（1）若，则ad＝_______．（2）若，则＝_______． （3）若_______. 3.平行线分线断成比例： （1）定理：两条直线被 ，所得的 . （2）推论： 的直线与其他两边相交，截得的 . 4.相似三角形： （1）定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“ ”来表示，读作“ ”。相似三角形对应边的比叫做 . （2）三角形相似的判定方法： 判定定理1： 的两个三角形相似. 判定定理2： 且 的两个三角形相似. 判定定理3： 的两个三角形相似. 【考点精练】 考点1：比例的性质 1.已知，则的值是 . 2．若，则的值为（　 ） A．1 B． C． D． 3.已知，则的值是 . 4.若，则k= . 5．已知xy = mn，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ） A. B. C. D. 考点2：平行线分线段成比例 1．如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 1题图 2题图 3题图 2．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（　　） A． B． C． D． 考点3：相似三角形判定 1．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 1题图 2题图 3题图 2．如图，在△AOB和△COD中，已知∠AOC＝∠BOD，则添加下列条件能判定△AOB和△COD相似的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠B＝∠BOC C． D． 3．如图：MN⊥NQ，PQ⊥NQ，MN＝3，PQ＝2，NQ＝5，点O在NQ上由点N向点Q方向移动，当△MNO和△PQO相似时NO＝　 　． 4．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB、△EAC相似 【综合测评】 1、 选择题.(每小题4分，共32分). 1．若，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 2题图 3题图 4题图 3．如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD＝AE，则AD：AB的值是（　　） A．：1 B．：1 C． D． 4．如图，△ABC中，点D是边BC上一点，下列条件中，不能判定△ABC与△ABD相似的是（　　） A．AB2＝BD•BC B．∠BDA＝∠BAC C．∠ADC＝∠C+∠B D．AD•BC＝AB•AC 5．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） 6．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 6题图 7题图 7．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（　　） A． B． C． D． 二.填空题：(本题共4小题，共16分.) 9．若，且x+2y+3z＝40，则3x+4y+5z的值为 　 　． 10．如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，则AF：FC＝　 　． 10题图 11题图 12题图 11．如图，AB＝16cm，AC＝12cm，动点P，Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动），当t＝　 　时，△APQ与△ABC相似． 12．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②DP2＝PH⋅PB；③．其中正确的是 　 　．（填序号） 三、解答题（每小题13分，共52分） 13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC． 15．（2022﹒泰安中考）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F． （1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； （2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； （3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度． 16．（2022﹒上海中考）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 第九章图形的相似复习课(2) 【知识梳理】 1．在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果_______=______，那么称线段AB被点C ，____叫做线段AB的黄金分割点，___________的比叫黄金比。，即 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角 ，对应边 . （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 . （3）相似三角形周长的比等于 . （4）相似三角形面积的比等于 . 3.位似图形： 定义：如果两个 每组对应顶点A，A′的 ，且有 ，那么这样的两个多边形叫做 ，点O叫做 .实际上，k就是这两个相似多边形的 . 性质：每组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于 .利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 【考点精练】 考点1：黄金分割 1．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 1题图 2题图 2．已知M是线段AB上的黄金分割点，且AM＞BM．那么下列各项正确的是（　　） A． B． C． D．BM是AM与AB的比例中项 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　） A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D． 4．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（　　） A．0＜＜ B．＜＜ C．＜＜1 D．＞1 4题图 5题图 5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ 　． 考点2：相似三角形性质及应用 1．已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 2．△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（　　） A．54 B．36 C．27 D．21 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　） A． B． C． D． 3题图 4题图 4．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠C等于（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 5．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为　 　． 6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为　 　． 7．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为　 　． 8．如图，若△ADE∽△ACB，且＝，DE＝10，则BC＝　 　． 9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为　 　． 8题图 9题图 考点3：位似 1．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，0）C．（0，1） D．（1，0） 1题图 2题图 3题图 2．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 3．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若 B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（　　） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 4．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　） A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2 5．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 　 　． 【综合测评】 一、选择题.(每小题4分，共32分). 1．若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们对应角的平分线之比为（　　） A． B． C． D． 2．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　） A．18米 B．16米 C．20米 D．15米 3．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝1（AC＞BC），则AC等于（　　） A． B． C． D．或 4．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 4题图 5题图 5．如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是（　　） A．1： B． C． D． 6．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（　　） A． B． C．或4 D．或4 6题图 7题图 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（　　） A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 8．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（　　） A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6 8题图 9题图 10题图 二.填空题：(本题共4小题，共16分.) 9．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　 　m． 10．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是　 　． 11．如图，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则＝　 　． 11题图 12题图 12．如图，△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF．若△AEF与△ABC相似，则AF＝　 　． 三、解答题（每小题13分，共52分） 13．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比． 14．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长． 15．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 16．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF＝32，GE＝8，求BE． 答案： 图形的相似复习课(1)答案解析 【知识梳理】 1. 长度、比、比例、中项 2. bc 、、 3.被一组平行线所截、对应线段成比例、平行于三角形一边、对应线段成比例 4．相等、成比例、∽、相似、相似比 两角分别相等、两边成比例夹角相等、三边成比例 【考点精练】 考点1：比例的性质 1.．2.D 3. 2 4. ． 5.C 考点2：平行线分线段成比例 1.C 2.B 3.A 考点3：相似三角形判定 1.C 2.A 3. 2或3 4.证明：∵AD•AC＝AB•AE ∴＝，∵∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC． 【综合测评】 一．选择题.(每小题4分，共32分) 1.C 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.C 8.A 二.填空题：(本题共4小题，共16分.) 9. 76． 10. 1：2． 11. 或7 12. ①② 三.解答题（每小题13分，共52分） 13.证明：如图所示∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠ADE＝45°， ∴∠2+∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE． 14. 证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED， ∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC． 15.（1）证明：如图， 在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°， ∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2， 又∵BE平分∠DBC， ∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°， ∴BF⊥AC； （2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下： ∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2， 又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF； （3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BAF． ∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF． ∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9， ∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴， ∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②， 联立①②，可得BF＝1±（负值舍去）， ∴DE＝BE＝2+1+＝3+． 16.证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF， 即CE＝BF，在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF； （2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF， ∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，∴＝， ∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF， ∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE， ∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝， 即CF•FQ＝AF•BQ． 图形的相似复习课(2)答案解析 【知识梳理】 3. 、黄金分割、点C、AC与AB 4. 相等、成比例、相似比、相似比、相似比的平方 5. 相似多边形、连线都经过同一个点O,OA′=KOA(K≠0)、位似多边形、位似中心、相似比、相似比 【考点精练】 考点1：黄金分割 1.D 2.A 3. C 4.C 5. 3﹣　． 考点2：相似三角形的性质及应用 1. A 2.C 3.B 4.C 5. 4：1、6. 2：3、 7. 9：1、 8. 15 、 9. 3或． 考点3:位似 1.A 2.A 3.D 4.A 5.（4，2）或（﹣4，﹣2）． 【综合测评】 一．选择题.(每小题4分，共32分) 1. A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.C 二.填空题：(本题共4小题，共16分.) 9. 2.7． 10.或2． 11. 12. 2或4.5 三.解答题（每小题13分，共52分） 13解：∵△ADE∽△ACB， ∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC， ∴∠AGD＝∠AFC，∴△AGD∽△AFC， ∴＝＝，∴AG：GF＝2：1． 14. 解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1， ∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm． 设DP＝x cm，则BP＝（7﹣x）cm． ∵∠B＝∠D＝90°， ∴存在两种情况． ①当△CDP∽△ABP时，＝， 即＝， ∴x＝； ②当△PDC∽△ABP时，＝， 即＝， 整理，得：x2﹣7x+6＝0， 解得：x1＝1，x2＝6． ∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm． 15. 解：设运动了ts， 根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm， 则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm）， 当△APQ∽△ABC时，， 即，解得：t＝； 当△APQ∽△ACB时，， 即， 解得：t＝4； 故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s． 16. 解：∵AD∥BC ∴△AFE∽△CBE，∴＝＝， ∵GC∥AB，∴△CGE∽△ABE，∴＝，∴＝， ∴BE2＝EF•GE＝32×8＝256， 解得：BE＝±16（负数舍去）， 故BE＝16． 2 学科网（北京）股份有限公司 $