7.1.2全概率公式课件 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下 设A、B为随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P(B|A). (1)求P(B|A)： (2)求P(AB)： ①概率的乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A) ②A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B) 条件概率的公式： 回忆一下 条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； (3)设 和B互为对立事件，则 问题一：从有 a 个红球和 b 个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 第1次摸到红球的概率为_________ 第2次摸到红球的概率是________ 如何计算出这个概率呢？它与条件概率有何关系？  由公平性可知 从破解事件开始！！！  问题二：从有 a 个红球和 b 个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求第2次摸到红球的概率. 上述问题中包含哪些事件？需要引入哪些符号？你能用图例分析吗？ 用Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”， Bi 表示事件“第 i 次摸到蓝球”，i=1, 2 本题：求 P(R2)=？ P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) R2=R1R2∪B1R2（ R1R2与B1R2 互斥） R2 问题二：从有 a 个红球和 b 个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 求第2次摸到红球的概率. 设Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”，Bi 表示事件“第 i 次摸到蓝球”，i=1, 2 则 ，且R1与B1互斥，R2=R1R2∪B1R2，且R1R2与B1R2 互斥 7.1.2 全概率公式 问：为什么叫“全”概率？它“全”在什么地方？ A1 A1B A2 A2B A3B A3 An AnB ... ... Ω B 问题三：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有：B=  全概率公式 “全”在它考虑了导致事件  发生的所有可能原因（即样本空间的一个完备划分 ）. 它告诉我们，要计算一个复杂事件的概率，必须全面考察各种情况，不能有遗漏 全概率公式使用条件： ①A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；　 ③P(Ai)>0，且 . 问：使用全概率公式要注意些什么？ A1 A1B A2 A2B A3B A3 An AnB ... ... Ω B 问题四：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω， 有：B=  全概率公式 典例精析 例1：某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=, 根据题意得 P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2|A1)=0.6, P(A2|B1)=0.8, 由全概率公式,得 P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7 因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7. 设事件 写概率 代公式 A2=A1A2∪B1B2， 且A1A2与B1B2 互斥 典例精析 例2： 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第 i (i＝1，2，3)台车床加工的概率. 解：(1)B=“任取一个零件为次品”， Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3), 则 ,且 互斥, 设事件 分解事件 B 典例精析 例2： 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第 i (i＝1，2，3)台车床加工的概率. 代公式 根据题意得 P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05. 写概率 典例精析 例2： 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第 i (i＝1，2，3)台车床加工的概率. (2)即求在B发生的条件下，事件Ai发生的概率 问题三：P(Ai) ，P(Ai|B) 的实际意义是什么？ 你能梳理出解决第(2)问过程中的关键等式吗？ 问题四：P(Ai) ，P(Ai|B) 的实际意义是什么？ 你能梳理出解决第(2)问过程中的关键等式吗？ P(Ai) ：是试验 之前就已知的概率，称先验概率 推广 贝叶斯公式 P(Ai|B) ：是B这件次品来自于第i台车床加工的可能性大小，通常称后验概率 自主研读 P51~52，梳理知识，记录疑问 贝叶斯公式不作考试要求 课外阅读：P53阅读与思考 典例精析 典例精析 归纳总结 破题思路： (1)明确目标事件为事件B (2)找出条件事件里某一个完备事件组，分别命名为Ai，且Ai两两互斥； (3)代入全概率公式求解. 随堂小测 课本P52 练习 2 课后作业 课本P52 练习 1 课本P53 5，8 课本P91 7 解：(1)设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. 由全概率公式得P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. 例3：同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的 正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5， 混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂 生产的可能性大？ (2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝ ＝＝ ， P(B2|A)＝ ＝＝ ,P(B3|A)＝ ＝ ＝ . 由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大, 由甲厂生产的可能性最小． 例3：同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的 正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5， 混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂 生产的可能性大？ $