7.1.1 条件概率(1)课件 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下 一、古典概型 (1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 回忆一下 事件的关系 含义 符号表示 包 含 并(和)事件 交(积)事件 互斥事件 对立事件 A发生导致B发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A⊆B A∪B或A+B A∩B或AB A∩B=∅，A∪B=∅ A∩B=∅ 二、 事件的关系与运算 加法公式 ：如果事件A与事件B互斥，那么P (A∪B)=P(A)+P(B). 1 乘法公式 ：如果事件与事件相互独立，那么P (AB)=P(A)P(B). 2 回忆一下 三、 概率的加法公式和乘法公式 问题：如果事件A与事件B不相互独立，如何表示积事件AB的概率呢？ 展望一下 已知一个家庭有两个孩子，其中老大是女孩，老二也是女孩的概率是多少？ 已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率是多少？ 两孩悖论（又称为男孩女孩悖论(Boy or Girl Paradox)） 条件概率，贝叶斯公式（选学） 贝叶斯统计方法，在眼下的大数据分析和机器学习中占有极为重要的一席之地 第七章 随机变量及其分布 7.1.1 条件概率 自主研读 P44~P47例1结束，梳理知识，记录疑问 用笔画出条件概率的数学定义，即  的计算公式是什么？ 观察P44页的“班级学生人数表”，体会当“已知选到团员”时，样本空间发生了什么变化？ 思考  与  在含义上有什么根本不同？ 关注以下问题： 问题一：符号P(B | A)指的是什么？ 你能用韦恩图解释吗？  P(B | A)：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率 在古典概型下如何计算？  AB A B Ω 若已知事件A发生，则A成为样本空间（缩小样本空间为A），此时，事件B发生的概率是：AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值 课本问题2 问题二： 有时求P(B | A)时不方便缩小样本空间，更具一般性地， P(B | A)、与P(AB)、 P(A)、P(B)等有何关系？为什么？ （Ω为原来的样本空间） 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作，简称条件概率. 定义公式 样本点个数公式 条件概率： 问题三：怎样判断一个概率问题是条件概率？  条件概率的判断： (1)当题目中出现“在……条件下”等字眼，一般为条件概率; (2)当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率. 如：例1（2） 典例精析 例1：（多选）以下为条件概率的是（ ) A. 从一副扑克中随机抽一张，已知抽到的是红色牌，求抽到是红桃的概率. B.三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生来自高一的概率． C. 抛一枚均匀的硬币两次，求第一次抛得正面且第二次抛得反面的概率． D. 盒子里有3个红球和2个白球，不放回摸球，已知第一次摸到红球，求第二次摸到白球的概率． ABD 问题四： P(B | A)与P(A | B)意义相同吗？为什么？ 关键分清先发生事件和后发生事件 问题五： P(B | A)与P(AB)有什么联系与区别？ 联系：事件A, B都发生了. 区别：(1)在P(B|A)中，事件A, B发生有时间上的差异，A 先 B 后； 在P(AB)中，事件A, B同时发生. (2)样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本空间； 在P(AB)中，样本空间仍为Ω. 因此有P(B|A)≥P(AB). 问题六： P(B | A)与P(B)有什么关系？ 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等. 如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应相互独立. 如：课本问题1，问题2 再读P46证明 条件概率与事件独立性的关系： 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B). 问题七：对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)？ P(AB)=P(A)P(B│A) 概率的乘法公式： (2)已知一个家庭有两个孩子，其中老大是女孩，老二也是女孩的概率是多少？ 例2：(1)已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率是多少？ 典例精析 法一：缩小样本空间. （1）样本空间{男女，女男，女女}，P＝ （2）样本空间{女男，女女}， P＝ (2)已知一个家庭有两个孩子，其中老大是女孩，老二也是女孩的概率是多少？ 例2：(1)已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率是多少？ 典例精析 法二：公式法 （1）Ω＝{男男，男女，女男，女女}，设事件A＝“其中一个是女孩”， B＝“另一个也是女孩”，则P(A)＝ ， P(AB)＝ 所以P(B|A)＝ （2）Ω＝{男男，男女，女男，女女}，设事件A＝“老大是女孩”， B＝“老二是女孩”，则P(A)＝ ， P(AB)＝ 所以P(B|A)＝ 典例精析 例3：现有6个节目,其中4个舞蹈类节目,2个语言类节目,若不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈类节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈类节目的条件下,第2次抽到舞蹈类节目的概率. 解：设Ω =“从6个节目中不放回依次抽2个”，“第1次抽到舞蹈类节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈类节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈类节目”为事件AB. 给事件命名 1 计算样本空间、样本点数 2 代入公式计算概率 3 典例精析 例3：现有6个节目,其中4个舞蹈类节目,2个语言类节目,若不放回地依次抽取2个节目,求: (1)第1次抽到舞蹈类节目的概率; (2)第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率; (3)在第1次抽到舞蹈类节目的条件下,第2次抽到舞蹈类节目的概率. 变式1： 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解：设第1天空气质量为优良为事件A， 第2天空气质量为优良为事件B， 则第1天和第2天空气质量都为优良为事件AB. A 典例精析 典例精析 变式2：今有3箱货物，其中甲厂生产的有2箱，乙厂生产的有1箱.已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品，不合格品有2个；而乙厂生产的每箱中装有90个合格品，不合格品有10个.现从3箱中任取1箱，再从这一箱中任取1件产品，则这件产品是甲厂生产的合格品的概率是_______ 解：记事件A为所取产品是甲厂生产的，事件B为所取产品是合格品. 则P(AB)为所求. 由已知得： 归纳总结 1. 求条件概率有两种方法： ① 是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)； ② 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率. 2. 概率的乘法公式： P(AB)=P(A)P(B│A) 随堂小测 课本P48 1，2 课本P52 习题7.1 1，2 课后作业 课本P52~P53 习题7.1 3，6 课本P48 3 $