7.2 离散型随机变量及其分布列（1）课件 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

回忆一下 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 可重复性 可预知性 随机性 1.随机试验的概念 一般地，一个试验如果满足下列条件： 我们就称这样的试验是一个随机试验. 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 2.样本点与样本空间的概念 展望一下 这里的 𝑋 就叫做随机变量. 它随着比赛结果的变化而变化，但我们能清晰地列出它的所有可能值（有限个或无限个可列举），这就是离散型随机变量. 在一局乒乓球比赛中，我们通常关心运动员的得分情况。假如一名运动员在某一局的得分记为 ，那么在比赛结束前，你能确定  具体是多少吗？ 不能，因为有随机性 虽然不确定具体值，但你能说出 X 所有可能取的值吗？ 0, 1, 2, 3, 4, ... 直到获胜分数，如11分或更多 如何完整地描述  取每一个值的可能性大小呢？这就需要我们今天的主角——分布列. 7.2 离散型随机变量及其分布列 自主研读 P56~P58，梳理知识，记录疑问 什么是离散型随机变量的分布列？它有哪几种表示方法？ 一个正确的分布列必须满足哪两个基本性质？为什么要有性质2（概率之和为1）？ 关注以下问题： 问题一：有些随机试验的样本点与数值无关，能否用数字来刻画这种随机试验的结果呢？ 对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化． 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性． 如：P56 两个探究 问题二：P56两个探究是如何使样本点与实数建立对应的？  001 000 010 011 100 101 110 111 Ω1 1 0 1 2 1 2 2 3 X 2 1 3 4 Y th h tth ttth t h h t h h Ω2 t t 变量 ：三个元件中的次品数 变量 ：抛掷次数 变量X, Y有哪些共同的特点? 变量特点： (1) 取值依赖于样本点； (2) 所有可能取值是明确的. 随机变量： 离散型随机变量： 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量(random variable)． 像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量(discrete random variable)． 通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X, Y, Z； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x, y, z． 引入随机变量的价值之一：可以方便表示一些随机事件 中学只研究有限个 函数自变量 函数定义域 注意：变量取值集合与样本空间不是一回事 问题三：你认为引入随机变量还有什么价值？ X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 与函数的表示法类似，离散型随机变量的概率分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示. P X 1 0 2 3 4 5 6 右下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X 的概率分布图. 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ‧‧‧ ，xn，我们称X取每一个值xi的概率 为X的概率分布列(list of probability distribution)，简称分布列. 问题四：写离散型随机变量分布列要注意什么？分布列有哪些性质？ X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 作用①用于检验该分布列是否书写正确； ②可以求参数的值. 随机变量所有可能的取值 随机变量每个取值对应概率 为什么要有性质2 反映了样本空间的完备性——即所有可能结果的概率总和必须等于1（必然事件的概率为1） 小试牛刀 C 典例精析 号码和为5 4 14，41，23，32 2，3，4，5，6，7，8，9，10 易错点分析： 概率需结合古典概型 典例精析 例2 某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从中任意选取1人,求所选同学分数X的分布列,以及P(X≥ 4). 解：X可能取值为1,2,3,4,5,且{X=1}=“不及格”,{X=2}=“及格”, {X=3}=“中等”,{X=4）=“良”,{X=5}=“优”. 根据古典概型的知识，可得X的分布列，如下表所示. X 1 2 3 4 5 P P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5) 归纳总结 一个核心概念：离散型随机变量的分布列——描述随机现象概率规律的“表格”. 两条基本性质： (1) (2) （检验正误的标尺） 3. 思想方法： (1)函数思想：分布列是一种特殊的“对应关系”。 (2)规范步骤：求分布列三部曲——定取值 → 求概率 → 列表格。 归纳总结 求离散型随机变量分布列的步骤 第二步：求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)． 第一步：确定随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，…，n)，以及每个值表示的意义． 第三步：按要求表示出分布列（常用表格表示）． X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 随堂小测 P60练习2．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.15 0.45 试说明该同学的计算结果是否正确． 解： 随堂小测 P60练习3．在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间 X 是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？ 若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量，在某项体能检测中，跑1 km时间不超过4 min为优秀，某同学跑1 km所花的时间X是连续的，所以某同学跑1 km所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量； 解： 课后作业 课本P60~P61 习题7.2 1，2，4，5 2．离散型随机变量 的概率分布规律为， 其中 是常数，则 . 1．设离散型随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是（    ） A. B. C. D. 例1．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现 在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X， 则X=5的意义是_________，包含______个样本点，分别是_____________ P(X=5)=__________ X所有可能取值有_________________________ $