精品解析：山东日照实验高级中学2025-2026学年高二下学期第一次阶段性训练数学试题

2024级高二下学期第一次阶段性训练 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在单稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列2，4，6，…的第9项为（ ） A. 20 B. 22 C. 18 D. 26 2. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 4. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 数列的前项和最小 D. 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. (且) C. D. 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 为等比数列 11. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ） A. B. 若为质数，则数列为等比数列 C. 数列的前4项和等于 D. ，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 14. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 17. 在等差数列中，已知，公差为1，在数列中，设前项和为， （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和. 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项 （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值． 19. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明是等差数列； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期第一次阶段性训练 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在单稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列2，4，6，…的第9项为（ ） A. 20 B. 22 C. 18 D. 26 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列 2，4，6，…的首项为2，公差为2，则其通项公式为， 故数列的第9项为. 2. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 3. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 4. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 5. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，，则第层的小球个数 ． 故选：B 6. 已知等比数列，其公比，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，可得且， 又因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7. 在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ） A. 数列为递增数列 B. C. 数列的前项和最小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项. 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，，可得， ，可得，所以，， 所以，，所以，数列为递增数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，，B对； 对于D选项，由A选项可知，，D对； 对于C选项，因为数列为递增数列， 当且时，；当且时，， 所以，数列的前项和最小，C错. 故选：C. 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，求导得， 令，而，解得，此时， 曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. (且) C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，(且)，当时，，故B错误； 对于C，是常数，，故C错误； 对于D，，故D错误. 10. 已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 数列为等差数列 D. 为等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由可递推得的通项公式，一一判定即可. 【详解】由得，两式相减得， ， 又当时，，则，故为首项是1，公差为的等差数列， 即. 显然A、C正确； ，故B正确； 由通项公式易得，，，三者不成等比数列，故D错误． 故选：ABC． 11. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（ ） A. B. 若为质数，则数列为等比数列 C. 数列的前4项和等于 D. ，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用欧拉函数的定义即可求解判断；B选项利用的定义写出，再利用等比数列的定义进行判断即可；C选项利用B选项的结论写出通项公式，进而可求前4项和；D选项利用B选项的结论写出，，和，再代入即可判断. 【详解】对于A项，因为20与均互质，所以，故A正确； 对于B项，设 为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数， 所以互质的数的数目为 ， 所以，所以为常数， 所以若为质数，则数列为等比数列，故B正确； 对于C项，根据选项B可知，， 所以的前4项和为，故C错误； 对于D选项，根据选项B可知，，， 因为4不是质数，， 即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【解析】 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 【答案】12 【解析】 【分析】由已知等式可得或，首先求出数列为等差数列或等比数列时正整数的值，然后再讨论为等差和等比交叉数列，要使的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果. 【详解】由，得或. 当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，即，解得； 当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，即，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，， 若要使最小，则，，， ，，，， ，，，，， 又，要使m最小，则， 此时，故的最小值为12. 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解； （2）先设切点为求出切点处的切线方程，代点求出切点即可求解切线方程. 【小问1详解】 易知，所以切线斜率为 ∴函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由题，∴，设切点为， ∴切线方程为， 又切线过点，∴， 即，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， ∴的方程为，或． 17. 在等差数列中，已知，公差为1，在数列中，设前项和为， （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出，利用“与”的关系求出； （2）可分组求和，分别依据等比数列求和公式与裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，且，，故； 当时，， 当，时，， 所以，. 【小问2详解】 由（1），得， 所以 . 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，是和的等比中项 （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）对于（2）中的，若对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，分别求得，，进而得到数列和的通项公式； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为恒成立，设，结合，得出数列的单调性，求得数列的最小值，进而得到答案. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为， 可得，解得， 所以， 则， 因为是和的等比中项，可得，即，所以， 设等比数列的公比为，则，可得，解得， 所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得， 则，可得， 两式相减，得 ， 所以，即数列的前项和为. 【小问3详解】 解：由（2）知： 因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，可得， 当时，，即； 当时，，即， 所以，所以数列的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值为. 19. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明是等差数列； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）由已知条件变形可得出，令可求得的值，令，由可得，两式作差结合等差中项法可证得结论成立； （3）推导出，利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为，，则且， 所以，数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为， ，. 【小问2详解】 解：对任意的，， 所以，， 当时，，解得； 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，，故， 化简可得，因此，数列为等差数列. 【小问3详解】 解：，所以，， ， 所以，. 因此，对任意的，. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出，再利用数列求和结合不等式进行推导，从而证得结论成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $