期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：23-25章 四边形+平面直角坐标系+一次函数全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：23 ~ 25章（四边形+平面直角坐标系+一次函数全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）一个多边形的内角和为，则该多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握边形内角和． 利用多边形内角和公式进行求解即可． 【详解】解：多边形的边数是， 故选：C． 2．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（    ） A．距离学校处 B．北偏东方向上的处 C．南偏西方向上的处 D．南偏西方向上的处 【答案】C 【详解】解：， ∴小明家相对于学校的位置描述最准确的是南偏西方向上的处． 3．（25-26八年级下·上海金山·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义可知，对于自变量x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．在图象上体现为：作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只有一个交点．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数； B、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数； C、作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，故y是x的函数； D、作垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，故y不是x的函数． 4．（25-26八年级下·上海宝山·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·上海长宁·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 6．（2026·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）一个7边形的内角和是___________ ． 【答案】/900度 【分析】本题考查多边形的内角和，根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：。 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26八年级下·上海长宁·期末）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，掌握平行于轴的直线上点的横坐标相等是解题关键．根据平行于轴的直线上点的横坐标相等，列方程求解． 【详解】解：直线轴， 点和点的横坐标相等， ，， ， 解得， 点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是________． 【答案】6 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 故答案为：6． 11．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别为的中点，， 是的中位线， ． 故答案为：4． 12．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， 它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， 点的坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 13．（2025·上海·模拟预测）甲、乙两辆汽车从地同时出发沿同一线路去地，后，乙汽车停留了，此时甲汽车正好到达地，它们所行的路程之和（单位：）与所用的时间（单位：）的函数关系图象如图所示，则乙汽车行驶的路程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是数形结合．先根据图形求出甲、乙汽车的速度之和、甲汽车的速度，进而求出乙汽车的速度，即可求解． 【详解】解：甲、乙汽车的速度之和为， 甲汽车的速度为， 乙汽车的速度为， 乙汽车行驶的路程为， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：观察图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， 当时，的取值范围是． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【详解】解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 16．（2026·上海宝山·一模）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证明四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，根据正方形的性质得到，，进而得到，计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证四边形是正方形， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴矩形的长与宽的比值为． 17．（25-26八年级上·四川成都·期末）毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了探索坐标的规律、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标，利用勾股定理依次求出点、、的坐标，从中找出规律、根据规律写出点的坐标；根据规律可知点的横坐标是，纵坐标是，在到之间，被开方数中能写成与一个平方数乘积的有个，所以的同类二次根式有个． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， ，， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， 四边形是长方形， ，， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 即点的坐标为； 由图可知： 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为， ， 在到的所有横坐标中，有、、、、，共个的同类二次根式； 故答案为：，. 18．（2025·上海静安·一模）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．其中有一对数据记录错误，请排除后利用正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为________斤． x（厘米） 1 3 4 6 y（斤） 0.8 1.2 1.6 1.8 【答案】3 【分析】熟练掌握数据用比例查错纠错，函数的三种表示方法，由表格数据求函数解析式，是解决此类问题的关键．根据，，发现1.6记录错误，更正为1.4，设，将代入，求得，得到，把代入， 得到结果． 【详解】解：∵，， ∴1.6记录错误，应为1.4． 设，将代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∴当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为3斤． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海松江·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【答案】10 【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，， ∴和是的中位线， ∴，，，． ∴四边形的周长为． 20．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）这是一个动物园游览示意图． (1)试以南门为原点建立平面直角坐标系，在图中画出来； (2)分别写出图中5个景点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)南门，马，狮子，飞禽，两栖动物 【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系即可； （2）根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由平面直角坐标系可知，南门，马，狮子，飞禽，两栖动物． 21．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4.8 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，过E作于H，根据等面积法求出，再根据平行线间的距离的定义求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 过E作于H， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴与所在直线之间的距离为4.8． 22．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析，； (3)． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用勾股定理求出，再利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）如图，即为所求， （3）∵， ∴由勾股定理，得． ∴． ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 23．（25-26八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 【答案】(1)，画图见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及画一次函数的图象是关键． （1）先用待定系数法求一次函数的解析式，再经过，两点作直线即可； （2）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再计算三角形的面积即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 经过，两点作直线，如图所示： （2）解：令，则， 解得， ， ， ， ， 在中，的面积为． 24．（2025·上海长宁·模拟预测）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是40元，是乙食材每千克进价的2倍．该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 (1)问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ (2)已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】(1)每日购进甲食材400千克，乙食材100千克 (2)当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元． 【分析】（1）设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据 根据总购进费用和营养品含铁量信息列出方程组解答即可； （2）设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【详解】（1）解：∵甲食材每千克的进价是40元，是乙食材每千克进价的2倍， ∴乙食材每千克进价是20元， 设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意得，解得， 答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克； （2）解：设A为m包，则B为包， 记总利润为W元，则 ， ∵A的数量不低于B的数量， ∴且， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W的最大值为2800元． 答：当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元． 25．（2025·上海松江·模拟预测）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)， (3)，，理由见解析 【分析】（1）延长和交于点，连接、，根据正方形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，通过证明，得到，，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （2）延长和交于点，同理（1）的方法证明，得到，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （3）延长交于点，连接、，同理（1）的方法证明以及，进而推出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图1，延长和交于点，连接、， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （2）解：如图2，延长和交于点， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （3）解：，，理由如下： 如图3，延长交于点，连接、， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：23 ~ 25章（四边形+平面直角坐标系+一次函数全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）一个多边形的内角和为，则该多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，小明家相对于学校的位置下列描述最准确的是（    ） A．距离学校处 B．北偏东方向上的处 C．南偏西方向上的处 D．南偏西方向上的处 3．（25-26八年级下·上海金山·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海宝山·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 5．（25-26八年级下·上海长宁·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．随的增大而减小 D．当时， 6．（2026·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）一个7边形的内角和是___________ ． 8．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 9．（25-26八年级下·上海长宁·期末）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为_____． 10．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是________． 11．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，D、E分别为的中点，若，则_____________． 12．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为______． 13．（2025·上海·模拟预测）甲、乙两辆汽车从地同时出发沿同一线路去地，后，乙汽车停留了，此时甲汽车正好到达地，它们所行的路程之和（单位：）与所用的时间（单位：）的函数关系图象如图所示，则乙汽车行驶的路程为__________． 14．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，函数与的图象相交于点，则当时，的取值范围是______． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为__________； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为__________． 16．（2026·上海宝山·一模）动手操作是学习数学的一种好方法．如图，小华同学在一次折纸活动中，将一张纸（长宽比为）沿折叠，使点落在边上的点处，再沿折叠，使点落在边上的点处，则矩形的长与宽的比值为___________． 17．（25-26八年级上·四川成都·期末）毕达哥拉斯学派发现了无理数，通过学习我们知道无理数也可以表示在数轴上．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作正方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，以为半径作圆弧交轴正半轴于点，再作长方形，连接，如此反复操作，我们可以得到的坐标为___________，在到的所有横坐标中，的同类二次根式有___________个． 18．（2025·上海静安·一模）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．其中有一对数据记录错误，请排除后利用正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为________斤． x（厘米） 1 3 4 6 y（斤） 0.8 1.2 1.6 1.8 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海松江·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 20．（25-26八年级下·上海嘉定·期中）这是一个动物园游览示意图． (1)试以南门为原点建立平面直角坐标系，在图中画出来； (2)分别写出图中5个景点的坐标． 21．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）在中，，相交于点O，过点A作于点E，在上取点F，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求与所在直线之间的距离． 22．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 23．（25-26八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与点． (1)求此一次函数的解析式，并在坐标系中画出它的图象； (2)若设点为此一次函数图象与轴的交点，求的面积． 24．（2025·上海长宁·模拟预测）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是40元，是乙食材每千克进价的2倍．该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 (1)问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？ (2)已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 25．（2025·上海松江·模拟预测）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $