期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：6～9章 数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6 ~ 9章（数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）不透明袋子中有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，从袋子中随机摸出个球，下列事件中是必然发生的事件是（　　） A．个白球个黑球 B．个黑球个白球 C．至少有个黑球 D．个都是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据白球两个，摸出三个球必然有一个黑球即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵白球总数为个，摸出个球， ∴不可能摸出个白球， 、摸出个白球个黑球，是随机事件，不符合题意； 、摸出个黑球个白球，是随机事件，不符合题意； 、至少摸出个黑球是必然事件，符合题意； 、摸出个都是黑球，是随机事件，不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 3．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A．当时，四边形是矩形，不一定是菱形，原说法错误； B．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误； C．当时，四边形是菱形，不一定是矩形，原说法错误； D．当时，四边形是矩形，说法正确． 4．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）为了解全班同学对体育课的喜欢程度，我们按下面的程序进行调查，其中“每人在自己选定的选项代号上画“√”前面的空白长方形中的内容是（   ） — 有多少人（多大比例） 设计调查选项 — 喜欢、比较喜欢、一般、不喜欢 — 全班同学 设计调查方法 — 以不记名的方式填写调查问卷 — 每人在自己选定的选项代号上画“√” 汇总调查数据 — 用画“正”字的方式统计选择不同选项的人数 — 用表格和统计图表示调查结果 A．明确调查问题 B．确定调查范围 C．实施调查 D．表示调查结果 【答案】C 【分析】按照调查流程的顺序：明确调查问题→确定调查范围→设计调查选项→设计调查方法→实施调查→汇总调查数据→表示调查结果，对应判断空白处的步骤名称即可． 【详解】解：∵每人在自己选定的选项代号上画“√”属于调查的实际执行环节，位于设计调查方法之后，汇总调查数据之前． ∴该环节对应的步骤名称为实施调查． 5．（25-26八年级下·河北衡水·开学考试）两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 【答案】D 【分析】设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，由图得，，，分别计算，即可求解． 【详解】解：设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，则矩形B的长为， 由图得，，， 解得，，， ， 故A结论正确，不符合题意； ， 故B结论正确，不符合题意； ， 故C结论正确，不符合题意； ， 故D结论错误，符合题意． 6．（2026·江苏镇江·一模）如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】设，根据正方形和矩形的性质可得，可证明，，则，再由可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道四边形的面积． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 【答案】C 【分析】根据条形统计图和折线统计图里的数据解答即可． 【详解】解：A、5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论正确，不符合题意； B、第1~3期测试中，李明始终比王华跑得快，故本项结论正确，不符合题意； C、计算每期两人成绩的差值：第1期：秒；第2期：秒；第3期：秒；第4期：秒；第5期：秒；第5期差值最小，故本项结论错误，符合题意； D、，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，不符合题意． 8．（2025·重庆·二模）已知整式C：，，其中为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式C共有8个； ②若，，则满足条件的整式C共有12个； ③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个． 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式，新定义，利用分类讨论的思想逐一判断即可，解题关键是熟练掌握根据已知条件求出整式C的情况． 【详解】解：由题意可得， 当时，得，此时符合条件整式C为，有1个； 当时，得， ，且为整数， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，，此时整式C为， 当时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，可得， 当，时，，此时整式C为， 当，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 当，时，，此时整式C为， 时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有3个； 当时，得， 当，，时，，此时整式C为， ，时，不符合题意题中条件， 故时，符合条件整式C有1个， 所以符合条件的整式C为个，故①正确； 由题意可得， ， 的值为或或， 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，，，有3个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，有2个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 当，时，，则，此时整式C有，有1个； 所以满足条件的整式C共有12个，故②正确； 时，无法被整除，不成立； 当时，被整除， 的最大值为2， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，被整除，那么，此时整式为成立， 时，与上面两种情况重复， 故时，满足条件的整式C有个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即， 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是两个数字，则有2种组合，即符合条件的整式C有2个； 当时，， 只能是数字，则有1种组合，即符合条件的整式C有1个； 当时，， 只能是两个数字，则有1种组合，即符合条件的整式C有1个； 故时，满足条件的整式C有4个， 当时，被整除， 设商为， ， ，即， 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 有或三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 当时，， 只能是三个数字，则有种组合，即符合条件的整式C有6个； 故时，满足条件的整式C有个， 所以符合条件的整式C有，故③错误， 则正确的个数有2个， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 【答案】 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率频数数据总数计算第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为： ， 第5组的频率为：． 10．（24-25八年级下·江苏南京·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 11．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广西南宁·期末）某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 _________ （结果精确到0.01）． 试验次数n 20 40 60 80 100 1000 “指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251 “指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251 【答案】 【分析】由表格数据的变化情况即可得出答案． 本题考查了频率与概率的关系，牢记频率与概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数的增加，“指针落在灰色区域内”的频率逐渐趋于固定的数， 因此可用此频率估计该事件的概率，所以“指针落在灰色区域内”的概率约为． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 【答案】，，， 【分析】根据“平行线之间的距离处处相等”以及“同底等高的两个三角形面积相等”即可解答． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴满足的点为，，，． 14．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了七巧板，熟练掌握七巧板的特征是解题的关键． 先通过正方形⑤的面积得到，进而得到各线段的长度，根据勾股定理可求出，进而证明四边形是菱形，然后根据可得到，即可证明四边形是正方形，从而求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ，， ， 又∵， ， ∴四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·月考）如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 【答案】 【分析】设运动时间为秒，用含的式子表示和，再根据矩形对边相等的性质列方程求解得到时间． 【详解】解：设经过后，四边形为矩形， 四边形为矩形，， ， 点与点的速度分别为和， ，， ， ，解得． 16．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：． (1)填空：______， (2)若一个两位数，一个三位数(其中，，且均为整数)，交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“荫蔽荫庇数对”，则所有“荫蔽荫庇数对”中的最大值为______． 【答案】 162 456 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）根据定义求解； （2），，，由所得可求与s个位数字的2倍的和为：，则是整数，是整数，由x、y的范围可求：可能是4，8，12；当时，，则则，当时，则，则，当时，，则，即可求最大值． 【详解】解：（1）， （2）∵， ∴， ∵， ∴与s个位数字的2倍的和为：， ∵它被12除余1， ∴能被12整除， ∴是整数， ∴是整数， ∵， ∴， ∴可能是4，8，12， 当时， ，则， 则， 当时， ，则， ，则， 当时， ，则， 综上所述：的最大值为456． 故答案为：162；456． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 18．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）测得某天的最高气温为100℃，是不可能事件； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品，是随机事件； （3）如果m、n是实数，那么，是必然事件； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件． 所以（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 19．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 20．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，根据题意过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为，得到两船距离最近时，由此列方程解答． 【详解】解：如图，过点分别作南岸，北岸的垂线，垂足分别为． 设出发后，甲船运动到点，乙船运动到点时，两船距离最近， 即时，两船距离最近． 根据题意，得， 解得． ． 故两船距离最近时的时刻为． 21．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 【答案】(1) (2) (3)12；5 【分析】本题考查了用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率总在某个固定值附近摆动，这个固定值就是概率，理解这一核心思想是解题的关键． （1）根据频率等于频数与试验总次数的比，即可求得k的值； （2）根据不同试验次数的频率，除了试验次数为50次的除外，其余的频率都在及以上，基本稳定在，按精度要求为，即可求解； （3）由于有12种不同的生肖，要有12个大小形状一样且编有号码的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次实验，不断重复这样的试验即可进行模拟． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：试验次数为50次时频率为0，其余的频率都在及以上，基本稳定在， 而； 故答案为：； （3）解： 12种不同的生肖，对应12个大小形状一样且有编号的球，每个人的生肖都对应着一个号码，每次取一个球，记下号码后再放入，共取5次即为一次试验，多次重复此试验即可进行模拟；因此要准备12个球，一次模拟记录5个球； 故答案为：12；5． 22．（2026八年级下·重庆·专题练习）如图，点E在正方形的边上，连接，完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线l，垂足为点F，连接，在正方形外侧分别作．（只保留作图痕迹） 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴四边形为 ① ， ∵四边形是正方形， ∴ ② ，， 连接，∵l垂直平分，垂足为点F， ∴F为的中点， ∴， ∴ ③ ， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【答案】作图见解析；平行四边形；； 【分析】利用基本作图，作垂直平分线及相等线段即可；先证四边形为平行四边形，再证，得到，继而可得四边形是菱形． 【详解】解：如图， 证明：∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是正方形， ∴，， 连接， ∵l垂直平分，垂足为点F， ∴F为的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23．（25-26八年级下·河南开封·月考）对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：．请分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式加1再减去1，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (3)当为何值时，四边形为平行四边形？ (4)当为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，， (2) (3)运动时，四边形是平行四边形 (4)运动时，四边形是平行四边形 【分析】（1）根据条件求解即可； （2）设点A到的距离为，根据题意表示出四边形的面积和面积，求解即可； （3）当时，四边形是平行四边形，求解即可； （4）当时，四边形是平行四边形，求解即可． 【详解】（1）解∵点以的速度由A向运动， ∴， ∵ ∴， ∵点以的速度由向运动，， ∴， ∴； （2）解：设点A到的距离为， 四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴，即， ， ； （3）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ； 运动时，四边形是平行四边形 （4）解：， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ∴运动时，四边形是平行四边形； 【点睛】本题考查动点问题，涉及到平行四边的性质等，灵活运用所学知识是关键． 25．（2025八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是正确寻找全等三角形． 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 【答案】（1）D，（2）且，（3） 【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）记、的中点分别为E、F，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． 本题是四边形综合题，考查了三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2），．理由如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，． （3）如图，记、的中点分别为E、F，    ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴ 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．    【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：．    探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________．    【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】探究二：（1）；（2）；；（3）；【拓展应用】252 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案； （2）根据长方体的体积公式即可得； （3）根据（1）和（2）的结论，再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案； （4）先利用完全平方公式求出，再根据（3）的结论即可得． 【详解】探究二：（1）； （2）；；     （3） 故答案为：（1）；（2）；；（3）； 【拓展应用】∵，，， ∴， ∴．     ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6 ~ 9章（数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）不透明袋子中有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，从袋子中随机摸出个球，下列事件中是必然发生的事件是（　　） A．个白球个黑球 B．个黑球个白球 C．至少有个黑球 D．个都是黑球 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 4．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）为了解全班同学对体育课的喜欢程度，我们按下面的程序进行调查，其中“每人在自己选定的选项代号上画“√”前面的空白长方形中的内容是（   ） — 有多少人（多大比例） 设计调查选项 — 喜欢、比较喜欢、一般、不喜欢 — 全班同学 设计调查方法 — 以不记名的方式填写调查问卷 — 每人在自己选定的选项代号上画“√” 汇总调查数据 — 用画“正”字的方式统计选择不同选项的人数 — 用表格和统计图表示调查结果 A．明确调查问题 B．确定调查范围 C．实施调查 D．表示调查结果 5．（25-26八年级下·河北衡水·开学考试）两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 6．（2026·江苏镇江·一模）如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 8．（2025·重庆·二模）已知整式C：，，其中为整数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式C共有8个； ②若，，则满足条件的整式C共有12个； ③若整式C（）能被整除，的最大值为2，其中互不相等，则满足条件的整式C共有37个． 其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 10．（24-25八年级下·江苏南京·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 11．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 12．（25-26九年级上·广西南宁·期末）某试验小组做了可转动转盘（如图），想求当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率，试验数据如下表：根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率约是 _________ （结果精确到0.01）． 试验次数n 20 40 60 80 100 1000 “指针落在灰色区域内”的次数m 6 11 15 21 25 251 “指针落在灰色区域内”的频率 0.3 0.275 0.25 0.2625 0.25 0.251 13．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）如图，是练习书法的书画毡，点，，，均为格点上的点，其中满足的点为__________． 14．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）七巧板是中国传统的智力玩具，利用七巧板可以拼出很多有趣的图案．如图①所示的七巧板可以拼成图②中的风车形状，若，则________． 15．（25-26八年级下·宁夏银川·月考）如图，在矩形中，，点在边上由点向点运动，点在边上由点向点运动，两点同时运动同时停止，若点与点的速度分别为和，则经过_____后，四边形成为矩形． 16．（24-25八年级下·重庆渝北·开学考试）对于各位数字都不为0的两位数和三位数，将中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将中的任意一个数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：． (1)填空：______， (2)若一个两位数，一个三位数(其中，，且均为整数)，交换三位数的百位数字和个位数字得到新数，当与的个位数字的2倍的和被12除余1时，称这样的两个数和为“荫蔽荫庇数对”，则所有“荫蔽荫庇数对”中的最大值为______． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)． 18．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 19．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 20．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为．已知两船均于出发，两岸平行，水面宽为，求两船距离最近时的时刻． 21．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）阅读下列材料：模拟试验是利用替代物模拟实际事物而进行的试验．例如我们在估计6个人中有2个人生肖相同的概率时，可以用12个编有号码、大小相同的球代替12种不同的生肖，这样每个人的生肖都对应着一个球，6个人中有2个人生肖相同，就意味着6个球中有2个球的号码相同．因此可在口袋中放入这样的12个球，从中摸出1个球，记下它的号码，放回去；再从中摸出1个球，记下它的号码，放回去，……，直至摸到第6个球，记下第6个号码，到此为一次模拟试验．重复多次这样的试验，即可估计6人中2人生肖相同的概率……； 小明所在的数学兴趣小组按照材料中所述的方法进行了模拟试验，他们重复了多次这样的模拟实验，根据实验结果制成的统计表如下： 实验总次数 50 100 200 300 500 1000 1500 “有2个小球号码相同”的次数 38 75 160 234 395 810 1185 “有2个小球号码相同”的频率 0 0.75 0.80 0.78 0.79 k (1)表格中的值为_____． (2)根据表格中的数据可估算6个人中有2个人生肖相同的概率大约是______．（精确到0.1） (3)若要估计“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模拟试验方法，则需要准备__________个球，一次模拟试验需要记录__________个号码． 22．（2026八年级下·重庆·专题练习）如图，点E在正方形的边上，连接，完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线l，垂足为点F，连接，在正方形外侧分别作．（只保留作图痕迹） 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴四边形为 ① ， ∵四边形是正方形， ∴ ② ，， 连接，∵l垂直平分，垂足为点F， ∴F为的中点， ∴， ∴ ③ ， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23．（25-26八年级下·河南开封·月考）对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：．请分解因式：． 24．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)______，______，______，（分别用含有的式子表示）； (2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (3)当为何值时，四边形为平行四边形？ (4)当为何值时，四边形为平行四边形？ 25．（2025八年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 26．（25-26九年级上·山西太原·月考）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ． A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形 【性质探究】： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，则：四边形的对角线的关系为 ； 【问题解决】： （3）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． 则：与的数量关系为 ． 27．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．用不同方式表示几何图形的面积可以得到一些等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．    【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为的正方形探索平方差公式： （1）从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，剩下的部分（阴影部分）的面积为； （2）若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积，长方形②的面积； （3）由，可以得到等式，将其右边提公因式，得用来分解因式的平方差公式：．    探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： （1）在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，剩下的几何体的体积___________； （2）将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积；长方体②的体积___________；长方体③的体积___________； （3）由可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为___________．    【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $