期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：6～9章 数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6 ~ 9章（数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2026八年级下·江苏扬州·专题练习）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的节水意识 B．调查一批电视机的使用寿命 C．调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D．调查全班同学入学体考成绩 【答案】D 【分析】根据普查与抽样调查的适用范围判断，普查适合调查对象数量少，范围小，调查无破坏性，结果要求准确的情况，范围过大或调查有破坏性的情况适合抽样调查． 【详解】A．调查全国中学生节水意识，范围广，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； B．调查一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故不符合题意； C．调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查，故不符合题意； D．调查全班同学入学体考成绩，范围小，人数少，结果要求准确，适合全面调查（普查），故符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的“几何概型”应用．利用“椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积． 【详解】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选：D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在矩形中，， ． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需先将原式因式分解到最简形式，再结合给定的字与式子的对应关系匹配密码信息； 【详解】解：∵， ∴提取公因式得：原式， 又∵（平方差公式）， ∴原式， 由题意知：对应“爱”， 对应“宝”，对应“灵”， ∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”； 故选：D； 6．（25-26八年级下·江苏常州·开学考试）如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积问题，平行线间的距离，等底等高的两个三角形面积相等，证明四边形和四边形均为平行四边形，根据平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等解答即可．特别是平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中与阴影部分面积相等的三角形共有共6个， 故选：A． 7．（2026·江苏无锡·一模）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【分析】根据扇形统计图判断人数比例，根据折线统计图判断人均费用变化及计算总费用，根据条形统计图判断理财产品受欢迎程度，逐一分析选项即可． 【详解】解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确； B、设理财总人数为， 则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：； 周岁人群理财总费用为：.，， 周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误； C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确； D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确． 8．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（2025·云南昭通·模拟预测）若实数，满足，，则_______． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 10．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，则的度数是_____ ． 【答案】 /117度 【分析】根据平行四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到_______________________色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 【答案】白 【分析】分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案． 【详解】∵袋子中装有个红球、个白球和个黑球， ∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=， 摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=， 摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=， ∵＞＞， ∴白球出现的可能性大． 故答案为：白 【点睛】本题主要考查了求简单事件发生的可能性，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 12．（25-26八年级下·四川达州·期末）中国量子信息行业的专利申请量保持高位，专利申请不仅数量众多，还涵盖了量子计算、量子通信、量子密码学等多个子领域，显示了技术的多样性和复杂性．为反映最近年中国量子信息专利申请量变化情况，宜采用_______统计图． 【答案】折线 【分析】考查统计图的特点，条形统计图直观反映各个数据的多少，折线统计图直观反映数据增加、减小变化情况，扇形统计图则直观反映各个部分所占整体的百分比．根据各个统计图的特点即可得答案． 【详解】解：∵折线统计图能清晰地显示数据的上升或下降趋势， ∴为反映最近年中国量子信息专利申请量变化情况，宜采用折线统计图． 故答案为：折线 13．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，因此通过观察表格中合格频率的稳定值来估计概率． 【详解】解：从表格数据可知，随着抽查头盔数增大，合格头盔的频率逐渐稳定在附近，当时，频率为，因此估计合格概率为，精确到为． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 【答案】4 【分析】由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案． 【详解】解：连接．    ∵的面积为24，， ∴，， 、分别是、的中点， ，，， ． 16．（25-26八年级上·重庆江津·期末）运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 19．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 21．（2025·河南郑州·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 【答案】见解析（任选两种） 【分析】1、利用两底的中点，将图形分割成两个梯形，它们的上下底分别相等，高也相等，所以面积也相等； 2、连接对角线，利用的中点E，连接，则，，所以四边形和四边形的面积相等； 【详解】解：设梯形上、下底分别为a、b，高为h． 方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E、F， 则； 方案二：如图2，连接，取的中点E，连接， 则图中的四边形的面积=梯形的面积的一半， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积=梯形的面积的一半． 方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底上截取，连接， ∴， ， 则． 【点睛】本题需仔细分析题意，结合图形，利用中点即可解决问题． 22．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠的性质和平行线的性质证得，得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值； （2）根据勾股定理和三角形面积公式可求的边上的高，再乘以2即可得到的长． 【详解】（1）解：由折叠可知，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：即， 解得：， ； （2）解：在中，， 连接，交于， ，关于对称， ，， ， 故的长为． 23．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某市为了解居民获取新闻的手机APP的情况，随机调查了部分居民，发现主要有4个APP（分别用A，B，C，D表示），将调查结果绘制成了如下统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为________，补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“B”所在扇形的圆心角的度数； (3)若该市有30万居民，请你估计日常从C中获取新闻的居民有多少人； (4)从以上调查结果中你能得到什么信息？（写出两条即可） 【答案】(1)1000；补全条形统计图见解析 (2)扇形统计图中“B”所在扇形的圆心角的度数为144° (3)估计日常从C中获取新闻的居民有4.5万人 (4)见解析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，掌握样本容量=部分量÷对应占比，圆心角=占比×，用样本估计总体是解题的关键． （1）利用类的人数和所占百分比，计算样本容量，再求出类人数补全条形图； （2）先求出类人数占样本容量的比例，再用比例乘以得到对应扇形圆心角； （3）用样本中类的占比，去估计全市30万居民中使用类的人数； （4）从条形图或扇形图中提取有效信息，合理即可． 【详解】（1）解：∵类有 150 人，占比， ∴样本容量 补全条形统计图如答图． （2）解：． 答：扇形统计图中“”所在扇形的圆心角的度数为． （3）解：（万人）． 答：估计日常从中获取新闻的居民有万人． （4）解：①该市居民中日常从中获取新闻的人数最多； ②该市居民中有一半以上的人从或中获取新闻．（答案不唯一，言之有理即可） 24．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题． 已知二次三项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， ， ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求的值； (2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． （1）把代入即可求解； （2）把代入即可求解． 【详解】（1）解：设（为整式） 当，即时，． 把代入，得， ． （2）解：设（为整式） 当，即时，， 把代入，得， ． 25．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法与分组分解法，因式分解； （1）根据配方法因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 26．（25-26九年级上·重庆开州·期末）如图，已知点为平行四边形对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在平行四边形内部作，使得，射线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：四边形为平行四边形， ，___①____， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ___③____， 四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，． 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤画图即可； （2）根据所给证明思路，结合全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质完善证明过程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 故答案为：，，． 27．（2026·甘肃平凉·一模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题：如图，在四边形中，，．在、边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接、． 则四边形即为菱形． (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干所给方法作图即可； （2）由题意知四边形为菱形，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：菱形如图所示．（作法不唯一） （2）解：由题意知，四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， ∴四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：6 ~ 9章（数据的收集、整理与描述+认识概率+四边形+因式分解全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（2026八年级下·江苏扬州·专题练习）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的节水意识 B．调查一批电视机的使用寿命 C．调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 D．调查全班同学入学体考成绩 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 6．（25-26八年级下·江苏常州·开学考试）如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．（2026·江苏无锡·一模）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 8．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（2025·云南昭通·模拟预测）若实数，满足，，则_______． 10．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，则的度数是_____ ． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）在一个不透明的袋子中装有个红球、个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，摸到_______________________色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”) 12．（25-26八年级下·四川达州·期末）中国量子信息行业的专利申请量保持高位，专利申请不仅数量众多，还涵盖了量子计算、量子通信、量子密码学等多个子领域，显示了技术的多样性和复杂性．为反映最近年中国量子信息专利申请量变化情况，宜采用_______统计图． 13．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）“头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为________．（结果精确到） 14．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________． 16．（25-26八年级上·重庆江津·期末）运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）因式分解： (1)； (2) ． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 19．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 21．（2025·河南郑州·模拟预测）有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹） 22．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，． (1)求的面积； (2)求的长． 23．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某市为了解居民获取新闻的手机APP的情况，随机调查了部分居民，发现主要有4个APP（分别用A，B，C，D表示），将调查结果绘制成了如下统计图（不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为________，补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“B”所在扇形的圆心角的度数； (3)若该市有30万居民，请你估计日常从C中获取新闻的居民有多少人； (4)从以上调查结果中你能得到什么信息？（写出两条即可） 24．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题． 已知二次三项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， ， ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求的值； (2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值． 25．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读材料1：对于某些二次三项式，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”． 例如： 阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再提取组间公因式，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”． 例如： 根据上述两个材料，按要求完成下列问题： (1)用“配方法”分解因式： (2)用“分组分解法”分解因式： 26．（25-26九年级上·重庆开州·期末）如图，已知点为平行四边形对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在平行四边形内部作，使得，射线交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）． 证明：四边形为平行四边形， ，___①____， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ___③____， 四边形为平行四边形． 27．（2026·甘肃平凉·一模）在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题：如图，在四边形中，，．在、边上分别确定点E、F，使得四边形是菱形．作法如下： ①连接； ②作线段的垂直平分线，交于点F，交于点E； ③连接、． 则四边形即为菱形． (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $