精品解析：2026年四川省绵阳市三台县九年级第一次诊断测试数学试题

2026年春九年级第一次诊断测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，再用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏内． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷 选择题（36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各数一定没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元，问有多少人？设有x人．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 8. 由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（ ） A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1300 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 10. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ） A. B. C. D. 11. O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 因式分解：__________． 14. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 15. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 16. 抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“”，反面向上为“”．现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为1的概率是___________． 17. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 18. 如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算、化简求值 （1）； （2），其中． 20. 在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 21. 如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 22. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为，点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出时，x的取值范围； （3）点P从点A出发沿射线移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 24. 如图，在中，，连接，，过点A作交于点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，当点O，点C，点P三点共线时，若，，求的长； （3）连接，在（2）的条件下，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春九年级第一次诊断测试 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，答题卡共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，再用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏内． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷 选择题（36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意． 故选：C ． 3. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法表示较小数的形式（其中，为正整数），确定与的值即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 4. 下列各数一定没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 5. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从上往下看这个几何体即可解题． 【详解】解：从上往下看这个几何体，可得到俯视图是，一个大矩形的左侧有一个小矩形，故选项A正确． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元，问有多少人？设有x人．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据题意列方程，根据物品价格不变列方程即可． 【详解】设共有人， 每人出8元时，总钱为元，盈3元，故物价为元； 每人出7元时，总钱为元，不足4元，故物价为元. ∵物价相等， ∴， 故选A． 7. 若，则称x是以10为底N的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式把所求式子变形为，再根据和已知等式求解即可． 【详解】解： ． 8. 由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（ ） A. 800 B. 1000 C. 1200 D. 1300 【答案】C 【解析】 【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是，根据总生产天数生产喜洋洋天数生产乐融融天数列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是 由题意得， 解得 经检验是原方程的解，符合题意 ∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若点的对应点为，当时，则线段的长度是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得与的相似比，即可得线段的长度． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵， ∴线段的长度是 10. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 11. O为正方形的边上一点，以O为圆心、为半径作，交于点E，过点E作的切线交于点F，将沿翻折，点D的对应点恰好落在上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，作于，根据等腰三角形的性质、折叠的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，，则，，在中，由勾股定理可解得，即，则，然后计算的值． 【详解】解：连接，作于，如下图， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点D的对应点恰好落在上， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，， 则，， 在中，可得， ∴，解得， ∴，则， ∴． 故选：C． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练运用相关知识，并正确作出辅助线是解题关键． 12. 如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作圆，圆心为，交于点，连接，根据直径定理以及含角的直角三角形的性质得出圆的半径长度，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点 连接， ∵， ∴为直径， ∴点共线， 此时，， ∴， ∴的半径为2， 过点作于点，连接，连接交于点， 此时，的值最小， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即线段的最小值为． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 14. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 15. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 16. 抛掷一枚质地均匀的硬币，记正面向上为“”，反面向上为“”．现同时抛掷三枚同样的硬币，所得结果的积为1的概率是___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，画出树状图，可得一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下： ∴一共有8种等可能结果，其中所得结果的积为1的有4种， ∴所得结果的积为1的概率是． 故答案为： 17. 一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，≌， ， , ， 、是等腰直角三角形， ； 连接、, ≌， ， 连接， ，， ≌， ， ， 又，， ≌，， 连接、， ，， ≌，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 得， ， 解得（舍），， ，，， 又∽， ， ， 故答案是． 【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算、化简求值 （1）； （2），其中． 【答案】（1）10 （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算立方根，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴原式． 20. 在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_________，_________，_________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 21. 如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）2 【解析】 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 22. 2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． （1）求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； （2）该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】（1）“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元 （2）该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得出；由题意可得，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元． 由题意得：，解得：． 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元． 【小问2详解】 解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆， ； 由题意可得， ， ∴W随a的增大而减小， ∴当，W取最大值，最大值，此时，． 答：该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数的图象上有一点A的坐标为，点，反比例函数与一次函数交于A、B两点，连接，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出时，x的取值范围； （3）点P从点A出发沿射线移动，点Q为第三象限双曲线上一点，当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由、，即可求出，则，进而即可求出反比例函数解析式；将、代入一次函数，进而即可求出一次函数解析式； （2）联立，得出、，再结合函数图像，反比例函数图像在一次函数下方时，则可求出的取值范围； （3）设、，分两种情况：与为对角线和与为对角线，由中点公式列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，． ∴， ∴，即， ∵反比例函数过， ∴ 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数过和， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，联立解析式得 解得，， 当时，， ∴点B为， 由图可得，当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足； 当时，反比例函数图像在一次函数下方，满足． ∴x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵点P在射线上，点Q为第三象限双曲线上一点， ∴设，， ∵当点A，O，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时， ∴当与为平行四边形的对角线时， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为； 当与为平行四边形的对角线， ∴ 解得， 解得或（舍去，不符合第三象限）； ∴此时Q的坐标为：， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】第3问通过分类讨论对角线的情况，利用中点公式列方程求解，关键是坐标与几何性质的转化． 24. 如图，在中，，连接，，过点A作交于点D，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接，当点O，点C，点P三点共线时，若，，求的长； （3）连接，在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 假设， 则， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出相等的角，证明，得出，，利用三角形的内角和定理以及角的和差进行证明即可； （2）连接，利用相似三角形性质和勾股定理进行求解； （3）连接并延长，交于点，交于点，连接，得出垂直平分线段，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明和，得出相等的线段，求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴令， ∵为的直径， ∴， ∴由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接并延长，交于点，交于点，连接， ∵， ∴垂直平分线段， ∴，，， 由勾股定理得， ∴， ∴由勾股定理得， ， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点，当取得最大值时，求点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点．若，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，将其代入抛物线的解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的表达式； （2）先求抛物线与轴交点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式，过点作轴交于点，构造相似三角形，将转化为，用含的代数式表示出的长度，将整理为二次函数的顶点式，利用二次函数的最值性质求出点的坐标； （3）由得出为等腰直角三角形，确定射线的平移方向与平移向量，根据二次函数平移规律求出平移后的抛物线的解析式，通过作垂线进行角的转化，将转化为，利用正切函数的等量关系构建含绝对值的方程，分点在轴上方、下方两种情况解方程，结合题意取舍根，得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令抛物线解析式中，得， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 设点的坐标为，过点作轴交于点，则点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时，故点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵， ∴，由平移性质知， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，由得， ①当点在轴下方时，，则， 解得或(，舍去)； ②当点在轴上方时，，则， 解得或(，舍去)． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质、解析式求法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值求解、二次函数的平移规律以及锐角三角函数的应用，关键是利用待定系数法求函数解析式，通过作平行线构造相似三角形将线段比转化为线段长度比求解最值，结合平移方向与距离确定新抛物线解析式，利用角的转化和正切函数的等量关系构建方程求解点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $